2021-2022学年湖北省十堰市竹山县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省十堰市竹山县九年级（上）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖北省十堰市竹山县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程2x2+1＝6x化成一般形式后，一次项和常数项分别是（　　）
A．2x2、1 B．2、6 C．﹣6x、1 D．﹣6、1
2．（3分）下列食品图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）解方程x2﹣6x+3＝0，可用配方法将其变形为（　　）
A．（x+3）2＝3 B．（x﹣6）2＝3 C．（x﹣3）2＝3 D．（x﹣3）2＝6
4．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣2，9）关于原点对称的点坐标是（　　）
A．（﹣9，2） B．（2，﹣9） C．（2，9） D．（﹣2，﹣9）
5．（3分）关于x的一元二次方程2x2+5x﹣1＝0根的说法，正确的是（　　）
A．方程没有实数根
B．方程有两个相等实数根
C．方程有两个不相等实数根
D．方程有一个实数根
6．（3分）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A． B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
7．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4
8．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4
C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+5
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝bx+c在同一坐标系中的大致图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.
11．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx+2＝0的根，则m＝　 　．
12．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0的根是　 　．
13．（3分）在平面直角坐标系中，以点（2，0）为旋转中心，将点（1，3）顺时针旋转90°所得到的点坐标为　 　．
14．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是 　 　．
15．（3分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+6）2+k＝0的解为　 　．
16．（3分）已知菱形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，A（1，1），B（6，1），AC＝4，点P是对角线AC上的一个动点，E（0，3），当△EPD周长最小时，点P的坐标为　 　．

三、解答题（共9小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0．
（2）x（x﹣3）＝2x﹣6．
18．（5分）已知：a是方程x2+2014x﹣1＝0的一个根，求代数式a（a+1）（a﹣1）+2014a2+1的值．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（﹣6，﹣1），C（﹣2，﹣1）．
（1）把△ABC向左平移2个单位，再向上平移4个单位得△A1B1C1，试画出图形，并直接写出点C1的坐标；
（2）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，试画出图形，并直接写出点C2的坐标；
（3）若（2）中的△A2B2C2可以看作由（1）中的△A1B1C1绕坐标平面内某一点P旋转得到，试在图中标出点P的位置，并直接写出旋转中心P的坐标．

20．（6分）如图为二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象，试观察图象回答下列问题：
（1）求出方程﹣x2﹣x+2＝0的解；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围；
（3）当﹣3＜x＜0时，直接写出y的取值范围．

21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．
22．（6分）湖北省预计将于今年年底实现全省贫困人口全部脱贫．2018年，湖北省精准脱贫专项资金合计约30亿元，据扶贫办报告，2020年湖北省政府将合计拨款43.2亿元用于脱贫攻坚最后一战．根据以上信息，请你计算在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为多少？
23．（9分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/kg）
7
8
9
y（kg）
4300
4200
4100
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
24．（10分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠DAB．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，∠B＝90°，探究AD、AB与对角线AC三者之间的数量关系，写出结论，不必证明．
（2）如图2若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否还成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若∠DAB＝90°，试探究AD、AB与对角线AC三者之间的数量关系，写出结论，不必证明．

25．（12分）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．


2021-2022学年湖北省十堰市竹山县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）一元二次方程2x2+1＝6x化成一般形式后，一次项和常数项分别是（　　）
A．2x2、1 B．2、6 C．﹣6x、1 D．﹣6、1
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．
【解答】解：2x2+1＝6x，
2x2﹣6x+1＝0，
所以一次项和常数项分别是﹣6x，1，
故选：C．
2．（3分）下列食品图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）解方程x2﹣6x+3＝0，可用配方法将其变形为（　　）
A．（x+3）2＝3 B．（x﹣6）2＝3 C．（x﹣3）2＝3 D．（x﹣3）2＝6
【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2﹣6x+3＝0，
移项得：x2﹣6x＝﹣3，
平方得：x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6．
故选：D．
4．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣2，9）关于原点对称的点坐标是（　　）
A．（﹣9，2） B．（2，﹣9） C．（2，9） D．（﹣2，﹣9）
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：点（﹣2，9）关于原点对称的点坐标是（2，﹣9），
故选：B．
5．（3分）关于x的一元二次方程2x2+5x﹣1＝0根的说法，正确的是（　　）
A．方程没有实数根
B．方程有两个相等实数根
C．方程有两个不相等实数根
D．方程有一个实数根
【分析】计算方程根的判别式，求其符号进行判断即可．
【解答】解：∵2x2+5x﹣1＝0，
∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝25+8＝33＞0，
∴该方程有两个不相等实数根．
故选：C．
6．（3分）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（　　）
A． B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
故选：D．
7．（3分）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣4
【分析】根据题目中的抛物线，利用对称轴公式x＝﹣，可以求得该抛物线的对称轴．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x﹣8，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝2，
故选：A．
8．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4
C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+5
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1个单位，再向上移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x﹣2）2+5．
故选：D．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝bx+c在同一坐标系中的大致图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中b和c的正负情况和二次函数图象中a、b、c的正负情况，注意a＞0，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故选项A不符合题意；
选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项B符合题意；
选项C中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据题意可知一元二次方程的根应为整数ax2+bx+c＝p（p＞0），通过抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点为（2，0）．可以画出大致图象判断出直线y＝p（0＜p≤﹣9a），观察图象当0＜y≤﹣9a时，抛物线始终与x轴相交于（﹣4，0）于（2，0）．故自变量x的取值范围为﹣4＜x＜2．所以x可以取得整数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，共5个．由于x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于对称轴直线x＝﹣1对称，所以于x＝﹣3与x＝1对应一条平行于x轴的直线，x＝﹣2与x＝1对应一条平行于x轴的直线，x＝﹣1时对应一条平行于x轴且过抛物线顶点的直线，从而确定y＝p时，p的值应有3个．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝﹣1
∴﹣＝﹣1，解得b＝2a．
又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．
把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝4a+4a+c
解得，c＝﹣8a．
∴y＝ax2+2ax﹣8a（a＜0）
对称轴h＝﹣1，最大值k＝＝﹣9a
如图所示，

顶点坐标为（﹣1，﹣9a）
令ax2+2ax﹣8a＝0
即x2+2x﹣8＝0
解得x＝﹣4或x＝2
∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（﹣4，0）与（2，0）
∴ax2+bx+c＝p
即常函数直线y＝p，由p＞0
∴0＜y≤﹣9a
由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1
∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）的整数解有5个．
又∵x＝﹣3与x＝1，x＝﹣2与x＝0关于直线x＝﹣1轴对称
当x＝﹣1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有3个．
解法二：利用图像法，可以直接得出结论，

故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.
11．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx+2＝0的根，则m＝　3　．
【分析】将x＝2代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
【解答】解：∵x＝2是方程x2﹣mx+2＝0的一个根，
∴22﹣2m+2＝0，
解得 m＝3，
故答案为：3．
12．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0的根是　x1＝2，x2＝﹣3　．
【分析】利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3，
故答案为x1＝2，x2＝﹣3．
13．（3分）在平面直角坐标系中，以点（2，0）为旋转中心，将点（1，3）顺时针旋转90°所得到的点坐标为　（5，1）　．
【分析】利用图象法，画出图形解决问题即可．
【解答】解：如图，观察图象可知E（1，3）绕点A（2，0），顺时针旋转90°所得到的点F的坐标为（5，1）．

故答案为：（5，1）．
14．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最大值为﹣5，则c的值是 　﹣6　．
【分析】首先把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在﹣3≤x≤2内有最大值，得到﹣1+2+c＝﹣5，解得即可．
【解答】解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，
故当x＝﹣1时，二次函数有最大值为﹣5，
故﹣1+2+c＝﹣5，
故c＝﹣6．
故答案为：﹣6．
15．（3分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+6）2+k＝0的解为　x1＝﹣8，x2＝﹣3　．
【分析】将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移6个单位得到y＝a（x﹣h+6）2+k，然后根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，可以得到a（x﹣h+6）2+k＝0的解．
【解答】解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移6个单位长度后的函数解析式为y＝a（x﹣h+6）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，
∴当a（x﹣h+6）2+k＝0，对应的解是x1＝﹣8，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝﹣8，x2＝﹣3．
16．（3分）已知菱形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，A（1，1），B（6，1），AC＝4，点P是对角线AC上的一个动点，E（0，3），当△EPD周长最小时，点P的坐标为　（3，2）　．

【分析】点D关于AC的对称点是点B，连接EB，交AC于点P，再得出EB即为EP+DP最短，解答即可．
【解答】解：连接ED，如图，

∵点D关于AC的对称点是点B，
∴DP＝BP，
∴EB即为EP+DP最短，
即此时△EPD周长最小，
连接BD交AC于M，
过M作MF⊥AB于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AM＝AC＝，AC⊥BD，
∴BM＝＝，
∴MF＝，
∴AF＝，
∵A（1，1），B（6，1），
∴AB∥x轴，
∴直线AB与x轴间的距离是1，
∴M点的纵坐标为2+1＝3，
∴M（5，3），
∴直线AC的解析式为：，
∵E（0，3），B（6，1），
∴直线BE的解析式为：y＝，
解得，
所以点P的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）
三、解答题（共9小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0．
（2）x（x﹣3）＝2x﹣6．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）∵2x2﹣3x+1＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝0.5；
（2）∵x（x﹣3）＝2x﹣6，
∴x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝3，x2＝2．
18．（5分）已知：a是方程x2+2014x﹣1＝0的一个根，求代数式a（a+1）（a﹣1）+2014a2+1的值．
【分析】将x＝a代人方程，得到a2+2014a＝1，然后整体代人即可．
【解答】解：∵a是方程x2+2014x﹣1＝0的一个实数根，
∴a2+2014a＝1，
∴原式＝a3+2014a2﹣a+1
＝a（a2+2014a）﹣a+1
＝a﹣a+1
＝1．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（﹣6，﹣1），C（﹣2，﹣1）．
（1）把△ABC向左平移2个单位，再向上平移4个单位得△A1B1C1，试画出图形，并直接写出点C1的坐标；
（2）把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，试画出图形，并直接写出点C2的坐标；
（3）若（2）中的△A2B2C2可以看作由（1）中的△A1B1C1绕坐标平面内某一点P旋转得到，试在图中标出点P的位置，并直接写出旋转中心P的坐标．

【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）作C1C2和A1A2的垂直平分线，它们的交点为旋转中心P点．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；点C1的坐标为（﹣4，3）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；点C2的坐标为（1，﹣2）；

（3）如图，点P为所作，旋转中心P点坐标为（1，3）．
20．（6分）如图为二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象，试观察图象回答下列问题：
（1）求出方程﹣x2﹣x+2＝0的解；
（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围；
（3）当﹣3＜x＜0时，直接写出y的取值范围．

【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）写出函数图象在x轴所对应的自变量的范围即可；
（3）先利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣，则求出y的最大值为，x＝﹣3时的函数值为﹣4，然后利用二次函数的性质确定y的取值范围．
【解答】解：（1）﹣x2﹣x+2＝0，
x2+x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣2；
（2）当y＞0时，x的取值范围为﹣2＜x＜1；
（3）∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
当x＝﹣时，y有最大值为﹣++2＝，
当x＝﹣3时，y＝﹣9+3+2＝﹣4，
∴当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4＜y≤．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．
【分析】（1）根据方程有实数根得出Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣8k+5≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣4k+13≥0，
解得k≤．

（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2﹣3）＝2k2﹣4k+7，
∵x12+x22＝23，
∴2k2﹣4k+7＝23，解得k＝4，或k＝﹣2，
∵k≤，
∴k＝4舍去，
∴k＝﹣2．
22．（6分）湖北省预计将于今年年底实现全省贫困人口全部脱贫．2018年，湖北省精准脱贫专项资金合计约30亿元，据扶贫办报告，2020年湖北省政府将合计拨款43.2亿元用于脱贫攻坚最后一战．根据以上信息，请你计算在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为多少？
【分析】设在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为x，根据2018年及2020年湖北省政府投入精准脱贫专项资金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为x，
依题意，得：30（1+x）2＝43.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为20%．
23．（9分）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/kg）
7
8
9
y（kg）
4300
4200
4100
（1）请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？
【分析】（1）用待定系数法求解即可‘
（2）由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣100x+5000；
（2）由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∴当x＝28时，w有最大值为48400元．
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x1＝20，x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
24．（10分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠DAB．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，∠B＝90°，探究AD、AB与对角线AC三者之间的数量关系，写出结论，不必证明．
（2）如图2若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否还成立？并证明你的结论；
（3）如图3，若∠DAB＝90°，试探究AD、AB与对角线AC三者之间的数量关系，写出结论，不必证明．

【分析】（1）结论：AC＝AD+AB，只要证明AD＝AC，AB＝AC即可解决问题；
（2）（1）中的结论成立．以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△DAC≌△BEC即可解决问题；
（3）结论：AD+AB＝AC．过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△DAC≌△BEC即可解决问题；
【解答】解：（1）AC＝AD+AB．
理由如下：如图1中，

在四边形ABCD中，∠D+∠B＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵∠B＝90°，
∴AB＝AC，同理AD＝AC．
∴AC＝AD+AB．

（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，

∵∠BAC＝60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，
∴∠DCB＝60°，
∴∠DCA＝∠BCE，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，
∴∠D＝∠CBE，∵CA＝CE，
∴△DAC≌△BEC，
∴AD＝BE，
∴AC＝AD+AB．

（3）结论：AD+AB＝AC．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B＝180°，∠DAB＝90°，

∴DCB＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCA＝∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝45°，
∴∠E＝45°．
∴AC＝CE．
又∵∠D+∠ABC＝180°，∠D＝∠CBE，
∴△CDA≌△CBE，
∴AD＝BE，
∴AD+AB＝AE．
在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，
∴AE＝＝AC，
∴AD+AB＝AC．
25．（12分）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．

【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（1，m），则CM＝，AC＝＝，AM＝，分∠AMC＝90°、∠ACM＝90°和∠CAM＝90°三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，如图1所示．
当y＝0时，有﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y＝kx+d中，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
∵当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）．
（3）设点M的坐标为（1，m），
则CM＝，AC＝＝，AM＝．
分三种情况考虑：
①当∠AMC＝90°时，有AC2＝AM2+CM2，即10＝1+（m﹣3）2+4+m2，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）；
②当∠ACM＝90°时，有AM2＝AC2+CM2，即4+m2＝10+1+（m﹣3）2，
解得：m＝，
∴点M的坐标为（1，）；
③当∠CAM＝90°时，有CM2＝AM2+AC2，即1+（m﹣3）2＝4+m2+10，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为（1，﹣）．
综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，﹣）．