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2021-2022学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷，共24页。
2021-2022学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3份，共30分）
1．（3分）在3、0、﹣4、﹣2四个数中最小的数是（ ）
A．3 B．0 C．﹣4 D．2
2．（3分）已知点P（1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O半径的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠OAC＝（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
8．（3分）已知点（﹣1，y1），（﹣3，y2），（3，y3）在函数y＝﹣的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9．（3分）如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的（ ）
A．∠BAC＝α B．∠DAE＝α C．AB∥DE D．∠DFC＝a
10．（3分）有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人射击10次的平均成绩都是9.2环，方差分别是S甲2＝0.76，S乙2＝0.71，S丙2＝0.69，则三人中成绩最稳定的是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”）
12．（3分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，当V＝40m3时，ρ＝ kg/m3．
13．（3分）如图，△OAB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为 ．
14．（3分）如图，已知⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，连接BC，若∠ABC＝25°，点Q在劣弧BC上一个动点，当△BAQ≌△ABC时，则弧CQ的长度是 ．
15．（3分）已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的周长为 ．
16．（3分）如图，A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，P为y轴正半轴上一点，将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线另一点B，则点B的坐标为 ．
三．解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+（）﹣1﹣（π+2）0+|1﹣|．
18．（6分）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．
19．（6分）解不等式组：并写出该不等式组的整数解．
20．（8分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．舞蹈社团；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80＜x＜90的总人数；
（2）该年级每名学生选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
21．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②直接写出点C2的坐标为 ．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中．直线y＝﹣2x﹣3与双曲线y＝交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点．且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标．
23．（6分）如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．
24．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“X函数”，其图象上关于原点对称的不同两点叫做一对“X点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“X函数”y＝的图象上的一对“X点”，则r＝ ，s＝ ，t＝ （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0）是“X函数”，其中A（m，﹣m）、B两点为一对“X点”，其中m＞0．
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标的最小值为﹣5a，求此二次函数解析式．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．
2021-2022学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3份，共30分）
1．（3分）在3、0、﹣4、﹣2四个数中最小的数是（ ）
A．3 B．0 C．﹣4 D．2
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣4＜﹣2＜0＜3，
∴在﹣、0、﹣4、﹣2四个数中，最小的数为﹣4．
故选：C．
2．（3分）已知点P（1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】把点P（1，﹣3）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【解答】解：∵点P（1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴﹣3＝，解得k＝﹣3．
故选：B．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标之间的关系，即纵横坐标均互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标为（﹣3，1），
故选：C．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
5．（3分）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①圆中最长的弦是直径，正确，符合题意；
②圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确，符合题意；
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确，符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O半径的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE＝BE＝3，根据勾股定理得出关于r是方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，
∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝32+（r﹣1）2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径是5，
故选：C．
7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠OAC＝（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，∵∠B＝32°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×32°＝64°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝（180°﹣64°）＝58°，
故选：B．
8．（3分）已知点（﹣1，y1），（﹣3，y2），（3，y3）在函数y＝﹣的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据判断出此函数所在的象限及在每一象限内的增减性，再根据三点的坐标及函数的增减性即可判断
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵3＞0＞﹣1＞﹣3，
∴A、B在第二象限，点C位于第四象限，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
9．（3分）如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的（ ）
A．∠BAC＝α B．∠DAE＝α C．AB∥DE D．∠DFC＝a
【分析】由△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α所得，找出正确的旋转角即可判断A、B，再结合三角形的内角和定理可判断D，根据内错角∠D不一定等于∠BAC，即可判断C．
【解答】解：由△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α所得知∠BAC＝∠DAE＝α，故A、B选项正确；
∵∠B＝∠D，∠BCA＝∠DCF，
则根据三角形内角和定理有∠DFC＝∠BAC＝α，故D选项正确；
∵∠D不一定等于∠BAC，故AB不一定平行于DE，故C选项错误．
故选：C．
10．（3分）有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【分析】根据11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，即可得到11个正整数为1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，35．
【解答】解：∵11个正整数，平均数是10，
∴和为110，
∵中位数是9，众数只有一个8，
∴当11个正整数为1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，35时，最大的正整数最大为35．
故选：C．
二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人射击10次的平均成绩都是9.2环，方差分别是S甲2＝0.76，S乙2＝0.71，S丙2＝0.69，则三人中成绩最稳定的是 丙 ．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝0.76，S乙2＝0.71，S丙2＝0.69，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2，
∴三人中成绩最稳定的是丙．
故答案为：丙．
12．（3分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，当V＝40m3时，ρ＝ 0.68 kg/m3．
【分析】根据题意可知一定质量的氧气，它的密度ρ是它的体积V的反比例函数，且已知当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，故p与V的函数关系式是ρ＝，把V＝40m3代入解析式求解即可求得ρ的值．
【解答】解：设ρ与V的函数关系式为ρ＝，
当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，
∴1.36＝，
∴k＝1.36×20＝27.2，
∴ρ与V的函数关系式是ρ＝；
当V＝40m3时，ρ＝＝0.68（kg/m3）．
故答案为：0.68．
13．（3分）如图，△OAB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为 12 ．
【分析】过A点作AH⊥OB于H，如图，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOH＝6，然后根据等边三角形的性质得到S△AOB＝2S△AOH．
【解答】解：过A点作AH⊥OB于H，如图，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOH＝×|12|＝6，
∵△OAB是等边三角形，AH⊥OB，
∴OH＝BH，
∴S△AOB＝2S△AOH＝2×6＝12．
故答案为12．
14．（3分）如图，已知⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，连接BC，若∠ABC＝25°，点Q在劣弧BC上一个动点，当△BAQ≌△ABC时，则弧CQ的长度是 π ．
【分析】根据全等三角形的性质和弧长的计算公式，可以计算出弧CQ的长度．
【解答】解：∵△BAQ≌△ABC，点Q在劣弧BC上一个动点，
∴∠ABC＝∠BAQ，
∵∠ABC＝25°，
∴∠ABC＝∠BAQ＝25°，
∴∠AOC＝∠BOQ＝50°，
∴∠COQ＝80°，
∵⊙O的直径AB＝6，
∴OC＝OQ＝3，
∴弧CQ的长度是＝π，
故答案为：π．
15．（3分）已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的周长为 6 ．
【分析】首先由题意画出图形，易证得△OAB是等边三角形，又由正六边形的边心距为，利用三角函数的知识即可求得OA的长，即可得AB的长，继而求得它的周长．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH＝60°，
∵OH⊥AB，OH＝，
∴OA＝＝1，
∴AB＝OA＝1，
∴它的周长是：1×6＝6．
故答案为：6．
16．（3分）如图，A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，P为y轴正半轴上一点，将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线另一点B，则点B的坐标为 （﹣3，2）或（﹣2，3） ．
【分析】先把A（﹣1，6）代入反比例函数y＝（x＜0）求出k的值，分别过A、B两点作x轴的垂线AC，BD，由旋转的性质证明△APC≌△PBD，再设P（0，m），即可得出B的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求m的值，确定P点坐标．
【解答】解：分别过A、B两点作AC⊥y轴，BD⊥y轴，垂足为C、D，
∵A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
又∠APC+∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠BPD，
在△APC和△PBD中，
，
∴△APC≌△PBD（AAS），
∴CP＝BD，AC＝PD＝1，
设P（0，m），
∴OP＝m，
∴PC＝6﹣m
∴B（m﹣6，m﹣1），
∵点B在双曲线上，
∴m﹣1＝，解得m＝3或m＝4，
∴B（﹣3，2）或（﹣2，3）．
故答案为：（﹣3，2）或（﹣2，3）．
三．解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+（）﹣1﹣（π+2）0+|1﹣|．
【分析】首先利用绝对值以及负指数的性质以及零指数幂的性质化简求出即可．
【解答】解：+（）﹣1﹣（π+2）0+|1﹣|
＝2+2﹣1+﹣1
＝3．
18．（6分）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．
【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣25﹣（x2﹣4x+4）+x2+x﹣2
＝x2﹣25﹣x2+4x﹣4+x2+x﹣2
＝x2+5x﹣31，
当x＝3时，原式＝32+5×3﹣31＝﹣7．
19．（6分）解不等式组：并写出该不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1．
20．（8分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．舞蹈社团；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80＜x＜90的总人数；
（2）该年级每名学生选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
【分析】（1）先找出抽取的30名学生成绩在80＜x＜90范围内的人数，再由选择了A课程的学生总人数乘以所占比例即可；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，其中小明和小华第二次同时选择课程A或课程B的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在80＜x＜90范围内的共有9人，所占比例为，
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80＜x＜90范围内的总人数为：100×＝30（人）；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小华第二次同时选择课程A或课程B的结果有2种，
∴小明和小华第二次同时选择课程A或课程B的概率为．
21．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②直接写出点C2的坐标为 （﹣3，1） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
②利用所画图形写出C2点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）①画如图，△A2B2C2为所作；
②点C2的坐标为（﹣3，1）．
故答案为（﹣3，1）．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中．直线y＝﹣2x﹣3与双曲线y＝交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点．且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把M、N两点的坐标分别代入直线的解析式，求得a、b的值，再把N点坐标代入反比例函数解析式求出k的值；
（2）设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C，把x＝0代入y＝﹣2x﹣3求出y的值，确定出C点坐标，根据S△MPN＝S△MPC+S△CPN，由已知的面积求出PC的长，进而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），
∴﹣2a﹣3＝2，b＝﹣2﹣3，
∴a＝﹣2.5，b＝﹣5．
∵双曲线y＝过点N（1，﹣5），
∴k＝﹣5；
（2）如图，设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C．
∵y＝﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
即C（0，﹣3），OC＝3．
根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPN
＝PC×2.5+PC×1＝7，
解得：PC＝4，
∵C（0，﹣3），
∴P（0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P（0，1）或（0，﹣7）．
故答案为（0，1）或（0，﹣7）．
23．（6分）如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；
（2）根据菱形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质和对角线的长列方程求解．
【解答】解：（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC＝∠ONC＝90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵OC＝OC，
∴△OMC≌△ONC，
∴ON＝OM，
∴CD与⊙O相切；
（2）∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝60°，AC＝1，
设半径为r．则OC＝1﹣r，OM＝r，
∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°，
∴∠COM＝30°，MC＝，
∴
解得r＝＝2﹣3．
24．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“X函数”，其图象上关于原点对称的不同两点叫做一对“X点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“X函数”y＝的图象上的一对“X点”，则r＝ ﹣4 ，s＝ ﹣1 ，t＝ ﹣4 （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0）是“X函数”，其中A（m，﹣m）、B两点为一对“X点”，其中m＞0．
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标的最小值为﹣5a，求此二次函数解析式．
【分析】（1）由A，B关于原点对称求出r，s，由“X函数”的定义求出t；
（2）①先根据原点对称得点B的坐标，分别将A，B两点的坐标代入二次函数的解析式中并化简，可得结论题目；
②先根据对称轴公式确定抛物线的对称轴，由点A的横坐标为2分情况讨论：对称轴在2的左边和右边两种情况，列式可得结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，r）与点B（s，4）关于原点对称，
∴s＝﹣1，r＝﹣4，
∴A的坐标为（1，﹣4），
把A（1，﹣4）代入是关于x的“X函数”中，得：t＝﹣4，
故答案为：﹣4，﹣1，﹣4；
（2）①二次函数图象上点A（m，﹣m）关于原点对称的点B为（﹣m，m），
把点A（m，﹣m）代入二次函数解析式得：am2+bm﹣4a＝﹣m（Ⅰ），
把点B为（﹣m，m）代入二次函数解析式得：am2﹣bm﹣4a＝m（Ⅱ），
（Ⅰ）式﹣（Ⅱ）式得：2bm＝﹣2m，
∵m＞0，
∴b＝﹣1，
把b＝﹣1代入（Ⅰ）得：am2﹣m﹣4a＝﹣m，
∴am2﹣4a＝0，
∵a＞0，m＞0，
∴m＝2；
②由①知二次函数解析式为：y＝ax2﹣x﹣4a，
∴二次函数图象对称轴为x＝（a＞0），
当0≤2时，因为a＞0，所以点C的纵坐标的最小值为＝﹣5a，
解得a＝，此时二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2；
当＞2时，因为a＞0，所以A点的纵坐标即为点C的纵坐标的最小值，
即﹣5a＝﹣2，解得a＝，
此时，＜1，不合题意，舍去，
综上所述，二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，由圆的性质求出AM＝5，DM＝4，由勾股定理求出AD＝BD＝3，可求出答案；
（2）求出E点坐标，证得MA2+AE2＝AE2，则MA⊥AE，可得出结论；
（3）连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，证明Rt△FPQ≌Rt△FPN（HL），得出PQ＝PN，证明Rt△AFQ≌Rt△BFN（HL），得出AQ＝BN，则可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，
∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是（5，4），
∴CM⊥y轴，即C（0，4），⊙M的半径为5，
∴AM＝5，DM＝4，
∴AD＝DB＝＝＝3，
∴OA＝5﹣3＝2，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：将A（2，0）代入中，可得，
∴E（5，），
∴DE＝，
∴ME＝DE+MD＝＝，
则，，，
∴MA2+AE2＝ME2，
∴MA⊥AE，
又∵MA为半径，
∴直线EA与⊙M相切；
（3）为定值，
理由如下：
连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，
∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，
∴∠FPN＝∠FAB，
又∵MF⊥AB，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝∠FPA，
∴∠FPN＝∠FPA，
∵FQ⊥AP，FN⊥PN，
∴FQ＝FN，
又∵FP＝FP，
∴Rt△FPQ≌Rt△FPN（HL），
∴PQ＝PN，
又∵AF＝BF，FQ＝FN，
∴Rt△AFQ≌Rt△BFN（HL），
∴AQ＝BN，
∴．
2021-2022学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3份，共30分）
1．（3分）在3、0、﹣4、﹣2四个数中最小的数是（ ）
A．3 B．0 C．﹣4 D．2
2．（3分）已知点P（1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O半径的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠OAC＝（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
8．（3分）已知点（﹣1，y1），（﹣3，y2），（3，y3）在函数y＝﹣的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9．（3分）如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的（ ）
A．∠BAC＝α B．∠DAE＝α C．AB∥DE D．∠DFC＝a
10．（3分）有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人射击10次的平均成绩都是9.2环，方差分别是S甲2＝0.76，S乙2＝0.71，S丙2＝0.69，则三人中成绩最稳定的是 ．（填“甲”或“乙”或“丙”）
12．（3分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，当V＝40m3时，ρ＝ kg/m3．
13．（3分）如图，△OAB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为 ．
14．（3分）如图，已知⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，连接BC，若∠ABC＝25°，点Q在劣弧BC上一个动点，当△BAQ≌△ABC时，则弧CQ的长度是 ．
15．（3分）已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的周长为 ．
16．（3分）如图，A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，P为y轴正半轴上一点，将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线另一点B，则点B的坐标为 ．
三．解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+（）﹣1﹣（π+2）0+|1﹣|．
18．（6分）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．
19．（6分）解不等式组：并写出该不等式组的整数解．
20．（8分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．舞蹈社团；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80＜x＜90的总人数；
（2）该年级每名学生选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
21．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②直接写出点C2的坐标为 ．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中．直线y＝﹣2x﹣3与双曲线y＝交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点．且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标．
23．（6分）如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．
24．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“X函数”，其图象上关于原点对称的不同两点叫做一对“X点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“X函数”y＝的图象上的一对“X点”，则r＝ ，s＝ ，t＝ （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0）是“X函数”，其中A（m，﹣m）、B两点为一对“X点”，其中m＞0．
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标的最小值为﹣5a，求此二次函数解析式．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．
2021-2022学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3份，共30分）
1．（3分）在3、0、﹣4、﹣2四个数中最小的数是（ ）
A．3 B．0 C．﹣4 D．2
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣4＜﹣2＜0＜3，
∴在﹣、0、﹣4、﹣2四个数中，最小的数为﹣4．
故选：C．
2．（3分）已知点P（1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】把点P（1，﹣3）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【解答】解：∵点P（1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴﹣3＝，解得k＝﹣3．
故选：B．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣1，3）
【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标之间的关系，即纵横坐标均互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P（3，﹣1）关于坐标原点中心对称的点P′的坐标为（﹣3，1），
故选：C．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
5．（3分）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且只有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①圆中最长的弦是直径，正确，符合题意；
②圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确，符合题意；
③任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确，符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝6，则⊙O半径的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AE＝BE＝3，根据勾股定理得出关于r是方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，
∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，AB＝6，
∴AE＝BE＝3，∠AEO＝90°，
由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝32+（r﹣1）2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径是5，
故选：C．
7．（3分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠OAC＝（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，∵∠B＝32°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×32°＝64°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝（180°﹣64°）＝58°，
故选：B．
8．（3分）已知点（﹣1，y1），（﹣3，y2），（3，y3）在函数y＝﹣的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据判断出此函数所在的象限及在每一象限内的增减性，再根据三点的坐标及函数的增减性即可判断
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵3＞0＞﹣1＞﹣3，
∴A、B在第二象限，点C位于第四象限，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
9．（3分）如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的（ ）
A．∠BAC＝α B．∠DAE＝α C．AB∥DE D．∠DFC＝a
【分析】由△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α所得，找出正确的旋转角即可判断A、B，再结合三角形的内角和定理可判断D，根据内错角∠D不一定等于∠BAC，即可判断C．
【解答】解：由△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α所得知∠BAC＝∠DAE＝α，故A、B选项正确；
∵∠B＝∠D，∠BCA＝∠DCF，
则根据三角形内角和定理有∠DFC＝∠BAC＝α，故D选项正确；
∵∠D不一定等于∠BAC，故AB不一定平行于DE，故C选项错误．
故选：C．
10．（3分）有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【分析】根据11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，即可得到11个正整数为1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，35．
【解答】解：∵11个正整数，平均数是10，
∴和为110，
∵中位数是9，众数只有一个8，
∴当11个正整数为1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，35时，最大的正整数最大为35．
故选：C．
二．填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）甲、乙、丙三人进行射击测试，每人射击10次的平均成绩都是9.2环，方差分别是S甲2＝0.76，S乙2＝0.71，S丙2＝0.69，则三人中成绩最稳定的是 丙 ．（填“甲”或“乙”或“丙”）
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
【解答】解：∵S甲2＝0.76，S乙2＝0.71，S丙2＝0.69，
∴S甲2＞S乙2＞S丙2，
∴三人中成绩最稳定的是丙．
故答案为：丙．
12．（3分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，当V＝40m3时，ρ＝ 0.68 kg/m3．
【分析】根据题意可知一定质量的氧气，它的密度ρ是它的体积V的反比例函数，且已知当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，故p与V的函数关系式是ρ＝，把V＝40m3代入解析式求解即可求得ρ的值．
【解答】解：设ρ与V的函数关系式为ρ＝，
当V＝20m3时，ρ＝1.36kg/m3，
∴1.36＝，
∴k＝1.36×20＝27.2，
∴ρ与V的函数关系式是ρ＝；
当V＝40m3时，ρ＝＝0.68（kg/m3）．
故答案为：0.68．
13．（3分）如图，△OAB是等边三角形，点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为 12 ．
【分析】过A点作AH⊥OB于H，如图，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOH＝6，然后根据等边三角形的性质得到S△AOB＝2S△AOH．
【解答】解：过A点作AH⊥OB于H，如图，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOH＝×|12|＝6，
∵△OAB是等边三角形，AH⊥OB，
∴OH＝BH，
∴S△AOB＝2S△AOH＝2×6＝12．
故答案为12．
14．（3分）如图，已知⊙O的直径AB＝6，AC是⊙O的弦，连接BC，若∠ABC＝25°，点Q在劣弧BC上一个动点，当△BAQ≌△ABC时，则弧CQ的长度是 π ．
【分析】根据全等三角形的性质和弧长的计算公式，可以计算出弧CQ的长度．
【解答】解：∵△BAQ≌△ABC，点Q在劣弧BC上一个动点，
∴∠ABC＝∠BAQ，
∵∠ABC＝25°，
∴∠ABC＝∠BAQ＝25°，
∴∠AOC＝∠BOQ＝50°，
∴∠COQ＝80°，
∵⊙O的直径AB＝6，
∴OC＝OQ＝3，
∴弧CQ的长度是＝π，
故答案为：π．
15．（3分）已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的周长为 6 ．
【分析】首先由题意画出图形，易证得△OAB是等边三角形，又由正六边形的边心距为，利用三角函数的知识即可求得OA的长，即可得AB的长，继而求得它的周长．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝×360°＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH＝60°，
∵OH⊥AB，OH＝，
∴OA＝＝1，
∴AB＝OA＝1，
∴它的周长是：1×6＝6．
故答案为：6．
16．（3分）如图，A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，P为y轴正半轴上一点，将A点绕P点逆时针旋转90°，恰好落在双曲线另一点B，则点B的坐标为 （﹣3，2）或（﹣2，3） ．
【分析】先把A（﹣1，6）代入反比例函数y＝（x＜0）求出k的值，分别过A、B两点作x轴的垂线AC，BD，由旋转的性质证明△APC≌△PBD，再设P（0，m），即可得出B的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求m的值，确定P点坐标．
【解答】解：分别过A、B两点作AC⊥y轴，BD⊥y轴，垂足为C、D，
∵A（﹣1，6）是双曲线y＝（x＜0）上一点，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵∠APB＝90°，
∴∠APC+∠BPD＝90°，
又∠APC+∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠BPD，
在△APC和△PBD中，
，
∴△APC≌△PBD（AAS），
∴CP＝BD，AC＝PD＝1，
设P（0，m），
∴OP＝m，
∴PC＝6﹣m
∴B（m﹣6，m﹣1），
∵点B在双曲线上，
∴m﹣1＝，解得m＝3或m＝4，
∴B（﹣3，2）或（﹣2，3）．
故答案为：（﹣3，2）或（﹣2，3）．
三．解答题（本大题共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+（）﹣1﹣（π+2）0+|1﹣|．
【分析】首先利用绝对值以及负指数的性质以及零指数幂的性质化简求出即可．
【解答】解：+（）﹣1﹣（π+2）0+|1﹣|
＝2+2﹣1+﹣1
＝3．
18．（6分）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3．
【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣25﹣（x2﹣4x+4）+x2+x﹣2
＝x2﹣25﹣x2+4x﹣4+x2+x﹣2
＝x2+5x﹣31，
当x＝3时，原式＝32+5×3﹣31＝﹣7．
19．（6分）解不等式组：并写出该不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
∴不等式组的整数解为﹣2、﹣1、0、1．
20．（8分）为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．舞蹈社团；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80＜x＜90的总人数；
（2）该年级每名学生选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
【分析】（1）先找出抽取的30名学生成绩在80＜x＜90范围内的人数，再由选择了A课程的学生总人数乘以所占比例即可；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，其中小明和小华第二次同时选择课程A或课程B的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）观察频数分布直方图，抽取的30名学生成绩在80＜x＜90范围内的共有9人，所占比例为，
则估计该年级100名选择A课程的学生中成绩在80＜x＜90范围内的总人数为：100×＝30（人）；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小华第二次同时选择课程A或课程B的结果有2种，
∴小明和小华第二次同时选择课程A或课程B的概率为．
21．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
（2）①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②直接写出点C2的坐标为 （﹣3，1） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
②利用所画图形写出C2点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）①画如图，△A2B2C2为所作；
②点C2的坐标为（﹣3，1）．
故答案为（﹣3，1）．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中．直线y＝﹣2x﹣3与双曲线y＝交于M（a，2），N（1，b）两点．
（1）求k，a，b的值；
（2）若P是y轴上一点．且△MPN的面积是7，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把M、N两点的坐标分别代入直线的解析式，求得a、b的值，再把N点坐标代入反比例函数解析式求出k的值；
（2）设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C，把x＝0代入y＝﹣2x﹣3求出y的值，确定出C点坐标，根据S△MPN＝S△MPC+S△CPN，由已知的面积求出PC的长，进而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x﹣3过点M（a，2），N（1，b），
∴﹣2a﹣3＝2，b＝﹣2﹣3，
∴a＝﹣2.5，b＝﹣5．
∵双曲线y＝过点N（1，﹣5），
∴k＝﹣5；
（2）如图，设直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于点C．
∵y＝﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
即C（0，﹣3），OC＝3．
根据题意得：S△MPN＝S△MPC+S△CPN
＝PC×2.5+PC×1＝7，
解得：PC＝4，
∵C（0，﹣3），
∴P（0，﹣3+4）或（0，﹣3﹣4），即P（0，1）或（0，﹣7）．
故答案为（0，1）或（0，﹣7）．
23．（6分）如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据菱形的性质得到AC是角平分线，再根据角平分线的性质进行证明；
（2）根据菱形的边长可以求得其对角线的长，根据等腰直角三角形的性质和对角线的长列方程求解．
【解答】解：（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC＝∠ONC＝90°，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵OC＝OC，
∴△OMC≌△ONC，
∴ON＝OM，
∴CD与⊙O相切；
（2）∵ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝60°，AC＝1，
设半径为r．则OC＝1﹣r，OM＝r，
∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°，
∴∠COM＝30°，MC＝，
∴
解得r＝＝2﹣3．
24．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“X函数”，其图象上关于原点对称的不同两点叫做一对“X点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“X函数”y＝的图象上的一对“X点”，则r＝ ﹣4 ，s＝ ﹣1 ，t＝ ﹣4 （将正确答案填在相应的横线上）；
（2）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0）是“X函数”，其中A（m，﹣m）、B两点为一对“X点”，其中m＞0．
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标的最小值为﹣5a，求此二次函数解析式．
【分析】（1）由A，B关于原点对称求出r，s，由“X函数”的定义求出t；
（2）①先根据原点对称得点B的坐标，分别将A，B两点的坐标代入二次函数的解析式中并化简，可得结论题目；
②先根据对称轴公式确定抛物线的对称轴，由点A的横坐标为2分情况讨论：对称轴在2的左边和右边两种情况，列式可得结论．
【解答】解：（1）∵点A（1，r）与点B（s，4）关于原点对称，
∴s＝﹣1，r＝﹣4，
∴A的坐标为（1，﹣4），
把A（1，﹣4）代入是关于x的“X函数”中，得：t＝﹣4，
故答案为：﹣4，﹣1，﹣4；
（2）①二次函数图象上点A（m，﹣m）关于原点对称的点B为（﹣m，m），
把点A（m，﹣m）代入二次函数解析式得：am2+bm﹣4a＝﹣m（Ⅰ），
把点B为（﹣m，m）代入二次函数解析式得：am2﹣bm﹣4a＝m（Ⅱ），
（Ⅰ）式﹣（Ⅱ）式得：2bm＝﹣2m，
∵m＞0，
∴b＝﹣1，
把b＝﹣1代入（Ⅰ）得：am2﹣m﹣4a＝﹣m，
∴am2﹣4a＝0，
∵a＞0，m＞0，
∴m＝2；
②由①知二次函数解析式为：y＝ax2﹣x﹣4a，
∴二次函数图象对称轴为x＝（a＞0），
当0≤2时，因为a＞0，所以点C的纵坐标的最小值为＝﹣5a，
解得a＝，此时二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2；
当＞2时，因为a＞0，所以A点的纵坐标即为点C的纵坐标的最小值，
即﹣5a＝﹣2，解得a＝，
此时，＜1，不合题意，舍去，
综上所述，二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）分别求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；
（3）如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点（不与B、F重合），连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．
【分析】（1）连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，由圆的性质求出AM＝5，DM＝4，由勾股定理求出AD＝BD＝3，可求出答案；
（2）求出E点坐标，证得MA2+AE2＝AE2，则MA⊥AE，可得出结论；
（3）连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，证明Rt△FPQ≌Rt△FPN（HL），得出PQ＝PN，证明Rt△AFQ≌Rt△BFN（HL），得出AQ＝BN，则可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，
∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是（5，4），
∴CM⊥y轴，即C（0，4），⊙M的半径为5，
∴AM＝5，DM＝4，
∴AD＝DB＝＝＝3，
∴OA＝5﹣3＝2，
∴A（2，0），B（8，0）；
（2）证明：将A（2，0）代入中，可得，
∴E（5，），
∴DE＝，
∴ME＝DE+MD＝＝，
则，，，
∴MA2+AE2＝ME2，
∴MA⊥AE，
又∵MA为半径，
∴直线EA与⊙M相切；
（3）为定值，
理由如下：
连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，
∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，
∴∠FPN＝∠FAB，
又∵MF⊥AB，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA＝∠FPA，
∴∠FPN＝∠FPA，
∵FQ⊥AP，FN⊥PN，
∴FQ＝FN，
又∵FP＝FP，
∴Rt△FPQ≌Rt△FPN（HL），
∴PQ＝PN，
又∵AF＝BF，FQ＝FN，
∴Rt△AFQ≌Rt△BFN（HL），
∴AQ＝BN，
∴．
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