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2021-2022学年浙江省杭州市部分中学九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省杭州市部分中学九年级（上）期中数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市部分中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18 C． D．
2．（3分）抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．x轴 D．y轴
3．（3分）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得二次函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣2）2﹣1 D．y＝2（x﹣2）2+1
4．（3分）若P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，若AP＝4﹣4，则线段AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（3分）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（3分）设（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．（3分）如图，直角坐标系中以坐标原点为圆心，1为半径作⊙O，则此坐标系中点（，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．无法确定
8．（3分）①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为；从上述4个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（3分）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝，∠CBA＝15°，则AB的长是（ ）
A． B．4 C． D．
10．（3分）抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）若＝，则＝ ．
12．（4分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为 ．
13．（4分）如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是 度．
14．（4分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 ．
16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）
17．在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的概率．
18．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
（1）求证：＝；
（2）求证：AM＝DM．
19．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
20．如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的长．
21．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
22．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，
①求n关于m的函数关系式；
②若函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴无交点，求n的取值范围．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年浙江省杭州市部分中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18 C． D．
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．
【解答】解：A、1×4≠2×3，不成比例线段；
B、3×18＝6×9，成比例线段；
C、1×≠2×，不成比例线段；
D、1×3≠4×，不成比例线段；
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．x轴 D．y轴
【分析】根据抛物线的顶点式即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
故选：D．
3．（3分）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得二次函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣2）2﹣1 D．y＝2（x﹣2）2+1
【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可．
【解答】解：y＝2x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+2）2﹣1．
故选：A．
4．（3分）若P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，若AP＝4﹣4，则线段AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】先根据黄金分割的定义得＝，列式求解即可．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AP＝4﹣4，
∴＝，
∴AB＝＝＝8，
故选：D．
5．（3分）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．
【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
6．（3分）设（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2+3上的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+3的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，B（0，y2）离直线x＝﹣1最近，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
7．（3分）如图，直角坐标系中以坐标原点为圆心，1为半径作⊙O，则此坐标系中点（，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．无法确定
【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：设点P的坐标是（，），
∴OP＝＝，
而⊙O的半径为1，
∴OP小于圆的半径，
∴点P在在圆内．
故选：A．
8．（3分）①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为；从上述4个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题；
②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题；
③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题；
④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为，所以④错误，是假命题．
其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：，
故选：D．
9．（3分）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝，∠CBA＝15°，则AB的长是（ ）
A． B．4 C． D．
【分析】连接DA、DB，作DE⊥BC于E，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，∠ABD＝∠BCD＝45°，则可判断△ABD和△CDE都为等腰直角三角形，解直角三角形即可得解．
【解答】解：连接DA、DB，作DE⊥BC于E，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴△ABD和△CDE都为等腰直角三角形，
∴DE＝CD＝，
∵∠CBA＝15°，
∴∠DBC＝60°，
∴BD＝＝2，
∴AB＝BD＝4，
故选：B．
10．（3分）抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，
∴
解得6≤c≤14，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值．
【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．
故答案为：．
12．（4分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为 π+1 ．
【分析】根据弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1，
∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1，
故答案为：π+1．
13．（4分）如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是 50 度．
【分析】连接AD，由AB为直径可得出AD⊥BC，由AB＝AC利用等腰三角形的三线合一即可得出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°，再根据圆周角定理即可得出的度数．
【解答】解：连接AD，如图所示．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°．
∴的度数＝2∠EAD＝50°．
故答案为：50．
14．（4分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为 114° ．
【分析】连接BD，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝∠CAB＝24°，即可得到∠ADC的度数．
【解答】解：连接BD，如图：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝24°+90°＝114°．
故答案为：114°．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 ﹣2 ．
【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y＝ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．
【解答】解：设正方形的对角线OA长为2m，
则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：
c＝2m①，am2+c＝m②，
①代入②得：m2a+2m＝m，解得：a＝﹣，
则ac＝﹣•2m＝﹣2．
16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为 ．
【分析】连接BD．首先证明△BDF≌△BCE（ASA），即可得出S四边形DEBF＝S△DBC＝3，进一步证得△BEF是等边三角形，由S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝3﹣S△BEF可知，当S△BEF取得最小值时，S△BEF的值最大，根据垂线段最短即可求得△BFE的面积的最小值，从而求得△FDE的最大面积．
【解答】解：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠BDF＝∠C＝∠DBC＝60°，BD＝BC，
∵AF+DF＝DE+CE＝2，
∴DE＝AF，
在△BDF和△BCE中，
，
∴△BDF≌△BCE（ASA），
∴BE＝BF，∠DBF＝∠CBE，
∴∠EBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴S四边形DEBF＝S△DBC＝＝3，
∴S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝3﹣S△BEF，
∴当S△BEF取得最小值时，S△BEF的值最大，
根据垂线段最短可知，当BE⊥AD时，BE的长最短，此时△BFE的面积最小，
BE的最小值＝×2＝3，
∴△FDE的面积的最大值＝3﹣＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）
17．在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的概率．
【分析】（1）画出树状图，即可求解；
（2）共有6种等可能的结果，点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，点P所有可能的坐标为（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的结果有2种，
∴点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的概率为＝．
18．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
（1）求证：＝；
（2）求证：AM＝DM．
【分析】（1）由在⊙O中，AB＝CD，根据弦与弧的关系，可证得＝，继而可证得＝；
（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM＝DM．
【解答】证明：（1）∵在⊙O中，AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（2）连接AC，BD，
∵＝，
∴AC＝BD，
在△ACM和△DBM中，
，
∴△ACM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM．
19．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【分析】（1）先设所求函数解析式是y＝a（x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a，进而可得函数解析式；
（2）令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；
（3）△ABC的面积等于AB×OC的一半．
【解答】解：（1）设y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a＝1，
∴函数解析式y＝（x+1）2﹣4或y＝x2+2x﹣3；
（2）∵x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），
∴△ABC的面积＝．
20．如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的长．
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，易得＝，求出BE，即可求得DC的值；
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴＝，
BE＝＝5（cm），
AB＝AE﹣BE＝8﹣5＝3（cm），
∴DC＝AB＝3（cm）．
21．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥F′E′于H，则OH＝CE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝＝16，
∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
22．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，
①求n关于m的函数关系式；
②若函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴无交点，求n的取值范围．
【分析】（1）将（﹣2，4）代入函数解析式求解．
（2）①由顶点坐标公式可得m＝﹣，n＝，将c＝2b代入求解．②根据图象开口方向和顶点纵坐标为n求解．
【解答】解：（1）把（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c得4＝4﹣2b+c，
∴c＝2b．
（2）①∵y＝x2+bx+c图象顶点坐标为（m，n），
∴m＝﹣，n＝，
∵c＝2b，
∴n＝＝，b＝﹣2m，
∴n＝＝﹣m2﹣4m．
②∵抛物线y＝x2+bx+c开口向上，顶点坐标为（m，n），
∴n＞0时，抛物线与x轴无交点．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由顶点坐标公式直接求出b、c的值，再令y＝0、x＝0即可求得A、B、C三点的坐标；
（2）根据三角形外心为三边中垂线交点即可求得⊙M的圆心M和半径；
（3）先算出AB、AC，再求出直线BC解析式，设出Q的坐标，表示出BQ，分两种情况：①则△ACB∽△PQB；②△ACB∽△QPB．再根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴，解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M（1，m），
∵MB＝MC，
∴＝，
解得m＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝＝，
∴⊙M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；
（3）由（1）知，AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，BC＝＝3，
设直线BC：y＝kx+3，
将B（3，0）代入得0＝3k+3，
解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+3，
设Q（t，﹣t+3），
则BQ＝＝（t﹣3），
∵P（7，0），
∴BP＝4，
∵B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似，∠ABC＝∠PBQ，
∴＝或，
①当＝时，
∴，
∴BQ2＝3，
∴t﹣3＝3，
解得t＝6；
①当时，
∴，
∴BQ1＝，
∴t﹣3＝，
解得t＝，
∴点Q的坐标为（6，﹣3）或（，﹣）．
2021-2022学年浙江省杭州市部分中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18 C． D．
2．（3分）抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．x轴 D．y轴
3．（3分）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得二次函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣2）2﹣1 D．y＝2（x﹣2）2+1
4．（3分）若P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，若AP＝4﹣4，则线段AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（3分）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（3分）设（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
7．（3分）如图，直角坐标系中以坐标原点为圆心，1为半径作⊙O，则此坐标系中点（，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．无法确定
8．（3分）①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为；从上述4个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
9．（3分）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝，∠CBA＝15°，则AB的长是（ ）
A． B．4 C． D．
10．（3分）抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）若＝，则＝ ．
12．（4分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为 ．
13．（4分）如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是 度．
14．（4分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 ．
16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）
17．在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的概率．
18．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
（1）求证：＝；
（2）求证：AM＝DM．
19．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
20．如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的长．
21．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
22．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，
①求n关于m的函数关系式；
②若函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴无交点，求n的取值范围．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年浙江省杭州市部分中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．3，6，9，18 C． D．
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．
【解答】解：A、1×4≠2×3，不成比例线段；
B、3×18＝6×9，成比例线段；
C、1×≠2×，不成比例线段；
D、1×3≠4×，不成比例线段；
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝2x2﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线 C．x轴 D．y轴
【分析】根据抛物线的顶点式即可求得．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
故选：D．
3．（3分）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得二次函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝2（x﹣2）2﹣1 D．y＝2（x﹣2）2+1
【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可．
【解答】解：y＝2x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+2）2﹣1．
故选：A．
4．（3分）若P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，若AP＝4﹣4，则线段AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】先根据黄金分割的定义得＝，列式求解即可．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AP＝4﹣4，
∴＝，
∴AB＝＝＝8，
故选：D．
5．（3分）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．
【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
故选：B．
6．（3分）设（﹣3，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2+3上的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+3的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，B（0，y2）离直线x＝﹣1最近，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
7．（3分）如图，直角坐标系中以坐标原点为圆心，1为半径作⊙O，则此坐标系中点（，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．无法确定
【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：设点P的坐标是（，），
∴OP＝＝，
而⊙O的半径为1，
∴OP小于圆的半径，
∴点P在在圆内．
故选：A．
8．（3分）①三点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为；从上述4个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题；
②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题；
③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题；
④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为，所以④错误，是假命题．
其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：，
故选：D．
9．（3分）如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝，∠CBA＝15°，则AB的长是（ ）
A． B．4 C． D．
【分析】连接DA、DB，作DE⊥BC于E，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，∠ABD＝∠BCD＝45°，则可判断△ABD和△CDE都为等腰直角三角形，解直角三角形即可得解．
【解答】解：连接DA、DB，作DE⊥BC于E，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴△ABD和△CDE都为等腰直角三角形，
∴DE＝CD＝，
∵∠CBA＝15°，
∴∠DBC＝60°，
∴BD＝＝2，
∴AB＝BD＝4，
故选：B．
10．（3分）抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，
∴
解得6≤c≤14，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11．（4分）若＝，则＝ ．
【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值．
【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝．
故答案为：．
12．（4分）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，以AO为直径作半圆，若AO＝1，则阴影部分的周长为 π+1 ．
【分析】根据弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：∵扇形OAB中，∠AOB＝90°，AO＝1，
∴阴影部分的周长＝×π++1＝π+1，
故答案为：π+1．
13．（4分）如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是 50 度．
【分析】连接AD，由AB为直径可得出AD⊥BC，由AB＝AC利用等腰三角形的三线合一即可得出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°，再根据圆周角定理即可得出的度数．
【解答】解：连接AD，如图所示．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°．
∴的度数＝2∠EAD＝50°．
故答案为：50．
14．（4分）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为 114° ．
【分析】连接BD，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BDC＝∠CAB＝24°，即可得到∠ADC的度数．
【解答】解：连接BD，如图：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝24°+90°＝114°．
故答案为：114°．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 ﹣2 ．
【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y＝ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．
【解答】解：设正方形的对角线OA长为2m，
则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：
c＝2m①，am2+c＝m②，
①代入②得：m2a+2m＝m，解得：a＝﹣，
则ac＝﹣•2m＝﹣2．
16．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为 ．
【分析】连接BD．首先证明△BDF≌△BCE（ASA），即可得出S四边形DEBF＝S△DBC＝3，进一步证得△BEF是等边三角形，由S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝3﹣S△BEF可知，当S△BEF取得最小值时，S△BEF的值最大，根据垂线段最短即可求得△BFE的面积的最小值，从而求得△FDE的最大面积．
【解答】解：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠BDF＝∠C＝∠DBC＝60°，BD＝BC，
∵AF+DF＝DE+CE＝2，
∴DE＝AF，
在△BDF和△BCE中，
，
∴△BDF≌△BCE（ASA），
∴BE＝BF，∠DBF＝∠CBE，
∴∠EBF＝∠DBC＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴S四边形DEBF＝S△DBC＝＝3，
∴S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝3﹣S△BEF，
∴当S△BEF取得最小值时，S△BEF的值最大，
根据垂线段最短可知，当BE⊥AD时，BE的长最短，此时△BFE的面积最小，
BE的最小值＝×2＝3，
∴△FDE的面积的最大值＝3﹣＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）
17．在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的概率．
【分析】（1）画出树状图，即可求解；
（2）共有6种等可能的结果，点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，点P所有可能的坐标为（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的结果有2种，
∴点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的概率为＝．
18．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M，
（1）求证：＝；
（2）求证：AM＝DM．
【分析】（1）由在⊙O中，AB＝CD，根据弦与弧的关系，可证得＝，继而可证得＝；
（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM＝DM．
【解答】证明：（1）∵在⊙O中，AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（2）连接AC，BD，
∵＝，
∴AC＝BD，
在△ACM和△DBM中，
，
∴△ACM≌△DBM（ASA），
∴AM＝DM．
19．已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【分析】（1）先设所求函数解析式是y＝a（x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a，进而可得函数解析式；
（2）令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；
（3）△ABC的面积等于AB×OC的一半．
【解答】解：（1）设y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a＝1，
∴函数解析式y＝（x+1）2﹣4或y＝x2+2x﹣3；
（2）∵x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），
∴△ABC的面积＝．
20．如图，在平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DE＝2cm，AE＝8cm，求DC的长．
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，易得＝，求出BE，即可求得DC的值；
【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠EDB＝∠C，
∴∠A＝∠EDB，
又∠E＝∠E，
∴△ADE∽△DBE；
（2）解：平行四边形ABCD中，DC＝AB，
由（1）得△ADE∽△DBE，
∴＝，
BE＝＝5（cm），
AB＝AE﹣BE＝8﹣5＝3（cm），
∴DC＝AB＝3（cm）．
21．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．
【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；
（2）利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．
【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣8）2+162，
解得R＝20；
（2）OH⊥F′E′于H，则OH＝CE′＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，
在Rt△OHF′中，HF′＝＝16，
∵HE′＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4（米），
∴在离桥的一端4米处，桥墩高4米．
22．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，
①求n关于m的函数关系式；
②若函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象与x轴无交点，求n的取值范围．
【分析】（1）将（﹣2，4）代入函数解析式求解．
（2）①由顶点坐标公式可得m＝﹣，n＝，将c＝2b代入求解．②根据图象开口方向和顶点纵坐标为n求解．
【解答】解：（1）把（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c得4＝4﹣2b+c，
∴c＝2b．
（2）①∵y＝x2+bx+c图象顶点坐标为（m，n），
∴m＝﹣，n＝，
∵c＝2b，
∴n＝＝，b＝﹣2m，
∴n＝＝﹣m2﹣4m．
②∵抛物线y＝x2+bx+c开口向上，顶点坐标为（m，n），
∴n＞0时，抛物线与x轴无交点．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由顶点坐标公式直接求出b、c的值，再令y＝0、x＝0即可求得A、B、C三点的坐标；
（2）根据三角形外心为三边中垂线交点即可求得⊙M的圆心M和半径；
（3）先算出AB、AC，再求出直线BC解析式，设出Q的坐标，表示出BQ，分两种情况：①则△ACB∽△PQB；②△ACB∽△QPB．再根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴，解得，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M（1，m），
∵MB＝MC，
∴＝，
解得m＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝＝，
∴⊙M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；
（3）由（1）知，AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3，BC＝＝3，
设直线BC：y＝kx+3，
将B（3，0）代入得0＝3k+3，
解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+3，
设Q（t，﹣t+3），
则BQ＝＝（t﹣3），
∵P（7，0），
∴BP＝4，
∵B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似，∠ABC＝∠PBQ，
∴＝或，
①当＝时，
∴，
∴BQ2＝3，
∴t﹣3＝3，
解得t＝6；
①当时，
∴，
∴BQ1＝，
∴t﹣3＝，
解得t＝，
∴点Q的坐标为（6，﹣3）或（，﹣）．
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