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2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共20页。
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题：（每题3分，共10题，共30分）
1．（3分）下列函数关系式中，y是x的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2+
C．y＝x2+2x+5 D．y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2
2．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取一人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
4．（3分）如果＝，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（6，8），若以点P为圆心，12为半径作圆，则坐标原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．点O在⊙P内 B．点O在⊙P上 C．点O在⊙P外 D．无法确定
6．（3分）在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B．＝ C．CE＝EO D．＝
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．50° C．70° D．80°
8．（3分）如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣2，无最大值
B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5
C．有最小值﹣2，有最大值2
D．有最小值﹣1.5，有最大值2
9．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
10．（3分）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣5 C．2 D．﹣2
二.填空题：（每题4分，共6题，共24分）
11．（4分）将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为 ．
12．（4分）如图，两条直线被三条平行直线所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，则AC＝ ．
13．（4分）技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留两位小数）
14．（4分）若一个扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为 ；若一个正多边形的外角为120度，则这个正多边形是正 边形．
15．（4分）已知点P坐标为（1，1），将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 ．
16．（4分）二次函数（其中m＞0），下列命题：①该函数图象过（6，0）；②该函数图象顶点在第三象限；③当x＞3时，y随着x的增大而增大；④若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则．正确的序号是 ．
三.解答题（共7题，共66分）
17．（6分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）请用列表法或画树状图法，求两位老师所有可能出现的支付方式；
（2）求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．
18．（8分）已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ．
（2）在坐标系中画出此抛物线．
19．（8分）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为AB的中点，DE⊥CE．
（1）求证：△AED∽△BCE；
（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．
（1）求证：∠ADB＝∠E；
（2）当AB＝6，BE＝3时，求AD的长．
22．（12分）小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝﹣x2+x+c．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC＝2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．
23．（12分）如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE分别交弦AB于点N、交弦BG于点D；OE交圆O于点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，r＝2，求弦AB的长；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（每题3分，共10题，共30分）
1．（3分）下列函数关系式中，y是x的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2+
C．y＝x2+2x+5 D．y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，所以A选项不符合题意；
B．解析式中含有分式，则y＝x2+不是二次函数，所以A选项不符合题意；
C．y＝x2+2x+5是二次函数，所以C选项符合题意；
D．y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2＝﹣x﹣6，它为一次函数，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取一人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的意义进行计算即可．
【解答】解：一共有甲、乙、丙、丁四个人，每个人被抽到的可能性是均等的，
所以甲被抽到的概率为，
故选：A．
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
4．（3分）如果＝，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】可设a＝5x，b＝3x，再代入计算即可．
【解答】解：设a＝5x，则b＝3x，
∴＝＝，
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（6，8），若以点P为圆心，12为半径作圆，则坐标原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．点O在⊙P内 B．点O在⊙P上 C．点O在⊙P外 D．无法确定
【分析】首先求得点O与圆心P之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点O与圆的位置关系．
【解答】解：由勾股定理得：OP＝＝10，
∵圆P的半径为12，10＜12，
∴点O在圆P内．
故选：A．
6．（3分）在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B．＝ C．CE＝EO D．＝
【分析】根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧得出结论．
【解答】解：由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知：
AE＝BE，，，故A，B，D正确，
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．50° C．70° D．80°
【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，∠A＝∠BDC＝20°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠BDC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
8．（3分）如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣2，无最大值
B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5
C．有最小值﹣2，有最大值2
D．有最小值﹣1.5，有最大值2
【分析】根据图象及x的取值范围，求出最大值和最小值即可．
【解答】解：根据图象及x的取值范围，
当x＝1时，y取最小值为﹣2，
当x＝1+2，y取最大值为2，
∴该函数有最小值﹣2，有最大值2，
故选：C．
9．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：根据题意，重物的高度为＝4π（cm）．
故选：D．
10．（3分）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可知x＝0、x＝1、x＝﹣1对应的函数值是正确的，从而可以求得二次函数的解析式，再将x＝2和x＝﹣2代入解析式，即可判断哪个y值是错误的，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，
该二次函数的对称轴是直线x＝0，经过点（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2），
∴，
解得，，
∴y＝﹣3x2+1，
当x＝﹣2时，y＝﹣11，
当x＝2时，y＝﹣11，
故选：B．
二.填空题：（每题4分，共6题，共24分）
11．（4分）将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
12．（4分）如图，两条直线被三条平行直线所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，则AC＝ ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l1，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴AC＝AB+BC＝1+＝，
故答案为：．
13．（4分）技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为 0.99 ．（结果要求保留两位小数）
【分析】根据抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到0.9911，所以估计合格件数的概率为0.99，问题得解．
【解答】解：∵抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到0.9911，
∴依此我们可以估计该产品合格的概率为0.99，
故答案为：0.99．
14．（4分）若一个扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为 3 ；若一个正多边形的外角为120度，则这个正多边形是正 三 边形．
【分析】根据扇形的面积＝•l•r，计算即可；多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．
【解答】解：由题意，S扇形＝×π×2＝π，
∵＝3，
∴这个正多边形是正三边形．
故答案为：3，三．
15．（4分）已知点P坐标为（1，1），将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 （0，） ．
【分析】利用点P的坐标特征可判断OP与y轴正方向的夹角为45°，于是可判断点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1在y轴上，根据OP1＝OP可得点P1的纵坐标．
【解答】解：如图，连接OP，
∵点P坐标为（1，1），
∴OP与y轴正方向的夹角为45°，
∴点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，点P1在y轴上，OP1＝OP＝＝．
∴点P1的坐标为（0，）．
故答案为（0，）．
16．（4分）二次函数（其中m＞0），下列命题：①该函数图象过（6，0）；②该函数图象顶点在第三象限；③当x＞3时，y随着x的增大而增大；④若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则．正确的序号是 ①④ ．
【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与△，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵＝mx2﹣（6m+1）x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝3+，△＝[﹣（6m+1）]2﹣24m＝（6m﹣1）2≥0，
当x＝6时，y＝0，
∴该函数图象过（6，0）；故①正确；
∵＝mx2﹣（6m+1）x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝3+＞0，该函数图象顶点不在第三象限，故②错误；
当x＞3+时，y随x的增大而增大，故③错误；
C、当x＜n时，y随x的增大而减小，即x≤3+，此选项正确；
故答案为：①④．
三.解答题（共7题，共66分）
17．（6分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）请用列表法或画树状图法，求两位老师所有可能出现的支付方式；
（2）求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．
【分析】（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果；
（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，
列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，
∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为．
18．（8分）已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 （3，0）、（1，0） ，与y轴交点的坐标为 （0，3） ，顶点坐标为 （2，﹣1） ．
（2）在坐标系中画出此抛物线．
【分析】（1）根据抛物线的解析式，可以求得它与x轴交点的坐标、与y轴交点的坐标以及顶点坐标；
（2）根据（1）中的结果，可以画出相应的抛物线．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1），
∴该抛物的顶点坐标为（2，﹣1），当y＝0时，x1＝3，x2＝1，当x＝0时，y＝3，
∴它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），
故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；
（2）由（1）知，它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），且过点（4，3），
抛物线如右图所示．
19．（8分）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．
【分析】（1）想办法证明＝即可解决问题．
（2）连接OM，利用勾股定理垂径定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∵M是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝DM．
（2）解：如图，连接OM．
∵DM＝BM＝4，OE⊥BM，
∴EM＝BE＝2，
∵OE＝1，∠OEM＝90°，
∴OM＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为AB的中点，DE⊥CE．
（1）求证：△AED∽△BCE；
（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵EC⊥DE，
∴∠DEC＝90°，
∵∠DAB＝∠CBA＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠ADE＝∠CEB，
∴△AED∽△BCE．
（2）∵△AED∽△BCE，
∴＝，∵AE＝EB，
∴AE2＝AD•BC＝36，
∴AE＝EB＝6，
∴DE2＝AD2+AE2＝32+62＝45，EC2＝BE2+BC2＝62+122＝180，
∴CD＝＝＝15．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．
（1）求证：∠ADB＝∠E；
（2）当AB＝6，BE＝3时，求AD的长．
【分析】运用圆周角定理，以及平行线的性质得出角之间的关系，得出相等关系，再利用三角形相似得出比例式，从而求出AD．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC
∴，∠ABC＝∠AED，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB
∴∠ADB＝∠E
（2）解：∵∠ABC＝∠AED，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB
∴∠ADB＝∠E，∠BAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△ADE，
AB＝6，BE＝3，
∴AD2＝6×9，
AD＝3，
∴AD的长为3．
22．（12分）小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝﹣x2+x+c．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC＝2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．
【分析】（1）直接利用P点坐标得出c的值即可；
（2）求出二次函数的顶点坐标进而得出答案；
（3）令y＝2.5，进而得出答案x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵OP＝1，
∴当x＝0时，y＝1，代入y＝x2+x+c，
解得：c＝1，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；
（2）y＝﹣x2+x+1，
＝x2﹣8x）+1，
＝（x﹣4）2+3，
当x＝4时，y有最大值3，
故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；
（3）令y＝2.5，则有﹣（x﹣4）2+3＝2.5，
解得x1＝2，x2＝6，
根据题意可知x1＝2不合题意，应舍去故小亮离小明的最短距离为6m．
23．（12分）如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE分别交弦AB于点N、交弦BG于点D；OE交圆O于点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，r＝2，求弦AB的长；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
【分析】（1）设OF交AB于N，连接AO，根据圆的性质与三角函数计算可得答案；
（2）想办法证明∠E＝∠OBD，∠OGB＝∠OBD可得结论；
（3）证明△OGD∽△OEG，相似三角形的性质可得答案．
【解答】（1）解：设OF交AB于N，连接AO，
∴∠AOB＝2∠AGB＝120°，
∵OA＝OB，OA⊥AB，
∴AN＝BN＝AB，
∴∠AOB＝∠BON＝∠AOB＝60°，∠ONB＝∠ONA＝90°，
∴sin∠AON＝＝，
∴AN＝×2＝，
∴AB＝2AN＝2．
（2）证明：∵∠AOB＝2∠AGB，∠AON＝∠BON＝∠AOB，
∴∠BON＝∠AGB，
∴∠EGD＝∠DOB，
∵∠EDG＝∠BDO，
∴∠E＝∠OBD，
∵OG＝OB，
∴∠OGB＝∠OBG，
∴∠E＝∠OGB．
（3）解：∵D是CO中点，
∴OD＝OC＝，
∵∠OGD＝∠E，∠GOD＝∠EOG，
∴△OGD∽△OEG，
∴＝，即＝，
∴OE＝2r，
∵OF＝r，
∴EF＝OE+OF＝3r．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷
一.选择题：（每题3分，共10题，共30分）
1．（3分）下列函数关系式中，y是x的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2+
C．y＝x2+2x+5 D．y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2
2．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取一人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
4．（3分）如果＝，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（6，8），若以点P为圆心，12为半径作圆，则坐标原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．点O在⊙P内 B．点O在⊙P上 C．点O在⊙P外 D．无法确定
6．（3分）在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B．＝ C．CE＝EO D．＝
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．50° C．70° D．80°
8．（3分）如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣2，无最大值
B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5
C．有最小值﹣2，有最大值2
D．有最小值﹣1.5，有最大值2
9．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
10．（3分）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣5 C．2 D．﹣2
二.填空题：（每题4分，共6题，共24分）
11．（4分）将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为 ．
12．（4分）如图，两条直线被三条平行直线所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，则AC＝ ．
13．（4分）技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留两位小数）
14．（4分）若一个扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为 ；若一个正多边形的外角为120度，则这个正多边形是正 边形．
15．（4分）已知点P坐标为（1，1），将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 ．
16．（4分）二次函数（其中m＞0），下列命题：①该函数图象过（6，0）；②该函数图象顶点在第三象限；③当x＞3时，y随着x的增大而增大；④若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则．正确的序号是 ．
三.解答题（共7题，共66分）
17．（6分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）请用列表法或画树状图法，求两位老师所有可能出现的支付方式；
（2）求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．
18．（8分）已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ．
（2）在坐标系中画出此抛物线．
19．（8分）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为AB的中点，DE⊥CE．
（1）求证：△AED∽△BCE；
（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．
（1）求证：∠ADB＝∠E；
（2）当AB＝6，BE＝3时，求AD的长．
22．（12分）小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝﹣x2+x+c．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC＝2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．
23．（12分）如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE分别交弦AB于点N、交弦BG于点D；OE交圆O于点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，r＝2，求弦AB的长；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
2021-2022学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（每题3分，共10题，共30分）
1．（3分）下列函数关系式中，y是x的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x2+
C．y＝x2+2x+5 D．y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，所以A选项不符合题意；
B．解析式中含有分式，则y＝x2+不是二次函数，所以A选项不符合题意；
C．y＝x2+2x+5是二次函数，所以C选项符合题意；
D．y＝（3x+2）（4x﹣3）﹣12x2＝﹣x﹣6，它为一次函数，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取一人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲选手的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率的意义进行计算即可．
【解答】解：一共有甲、乙、丙、丁四个人，每个人被抽到的可能性是均等的，
所以甲被抽到的概率为，
故选：A．
3．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝100°，
故选：B．
4．（3分）如果＝，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】可设a＝5x，b＝3x，再代入计算即可．
【解答】解：设a＝5x，则b＝3x，
∴＝＝，
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（6，8），若以点P为圆心，12为半径作圆，则坐标原点O与⊙P的位置关系是（ ）
A．点O在⊙P内 B．点O在⊙P上 C．点O在⊙P外 D．无法确定
【分析】首先求得点O与圆心P之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点O与圆的位置关系．
【解答】解：由勾股定理得：OP＝＝10，
∵圆P的半径为12，10＜12，
∴点O在圆P内．
故选：A．
6．（3分）在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE＝BE B．＝ C．CE＝EO D．＝
【分析】根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧得出结论．
【解答】解：由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知：
AE＝BE，，，故A，B，D正确，
故选：C．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠BDC＝20°，则∠ABC的度数是（ ）
A．20° B．50° C．70° D．80°
【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，∠A＝∠BDC＝20°，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠A＝∠BDC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
8．（3分）如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣2，无最大值
B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5
C．有最小值﹣2，有最大值2
D．有最小值﹣1.5，有最大值2
【分析】根据图象及x的取值范围，求出最大值和最小值即可．
【解答】解：根据图象及x的取值范围，
当x＝1时，y取最小值为﹣2，
当x＝1+2，y取最大值为2，
∴该函数有最小值﹣2，有最大值2，
故选：C．
9．（3分）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：根据题意，重物的高度为＝4π（cm）．
故选：D．
10．（3分）某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可知x＝0、x＝1、x＝﹣1对应的函数值是正确的，从而可以求得二次函数的解析式，再将x＝2和x＝﹣2代入解析式，即可判断哪个y值是错误的，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，
该二次函数的对称轴是直线x＝0，经过点（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2），
∴，
解得，，
∴y＝﹣3x2+1，
当x＝﹣2时，y＝﹣11，
当x＝2时，y＝﹣11，
故选：B．
二.填空题：（每题4分，共6题，共24分）
11．（4分）将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律写出平移抛物线解析式．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣2）2+2﹣3，即y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2﹣1．
12．（4分）如图，两条直线被三条平行直线所截，DE＝2，EF＝3，AB＝1，则AC＝ ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l1，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝，
∴AC＝AB+BC＝1+＝，
故答案为：．
13．（4分）技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为 0.99 ．（结果要求保留两位小数）
【分析】根据抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到0.9911，所以估计合格件数的概率为0.99，问题得解．
【解答】解：∵抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到0.9911，
∴依此我们可以估计该产品合格的概率为0.99，
故答案为：0.99．
14．（4分）若一个扇形的弧长为π，半径为2，则该扇形的面积为 3 ；若一个正多边形的外角为120度，则这个正多边形是正 三 边形．
【分析】根据扇形的面积＝•l•r，计算即可；多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．
【解答】解：由题意，S扇形＝×π×2＝π，
∵＝3，
∴这个正多边形是正三边形．
故答案为：3，三．
15．（4分）已知点P坐标为（1，1），将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 （0，） ．
【分析】利用点P的坐标特征可判断OP与y轴正方向的夹角为45°，于是可判断点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1在y轴上，根据OP1＝OP可得点P1的纵坐标．
【解答】解：如图，连接OP，
∵点P坐标为（1，1），
∴OP与y轴正方向的夹角为45°，
∴点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，点P1在y轴上，OP1＝OP＝＝．
∴点P1的坐标为（0，）．
故答案为（0，）．
16．（4分）二次函数（其中m＞0），下列命题：①该函数图象过（6，0）；②该函数图象顶点在第三象限；③当x＞3时，y随着x的增大而增大；④若当x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则．正确的序号是 ①④ ．
【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与△，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：∵＝mx2﹣（6m+1）x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝3+，△＝[﹣（6m+1）]2﹣24m＝（6m﹣1）2≥0，
当x＝6时，y＝0，
∴该函数图象过（6，0）；故①正确；
∵＝mx2﹣（6m+1）x+6，
∴对称轴为x＝﹣＝3+＞0，该函数图象顶点不在第三象限，故②错误；
当x＞3+时，y随x的增大而增大，故③错误；
C、当x＜n时，y随x的增大而减小，即x≤3+，此选项正确；
故答案为：①④．
三.解答题（共7题，共66分）
17．（6分）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）请用列表法或画树状图法，求两位老师所有可能出现的支付方式；
（2）求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率．
【分析】（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果；
（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，
列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，
∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为．
18．（8分）已知：抛物线y＝x2﹣4x+3．
（1）它与x轴交点的坐标为 （3，0）、（1，0） ，与y轴交点的坐标为 （0，3） ，顶点坐标为 （2，﹣1） ．
（2）在坐标系中画出此抛物线．
【分析】（1）根据抛物线的解析式，可以求得它与x轴交点的坐标、与y轴交点的坐标以及顶点坐标；
（2）根据（1）中的结果，可以画出相应的抛物线．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1），
∴该抛物的顶点坐标为（2，﹣1），当y＝0时，x1＝3，x2＝1，当x＝0时，y＝3，
∴它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），
故答案为：（3，0）、（1，0），（0，3），（2，﹣1）；
（2）由（1）知，它与x轴交点的坐标为（3，0）、（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1），且过点（4，3），
抛物线如右图所示．
19．（8分）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O作OE⊥MB于点E，当OE＝1，MD＝4时，求⊙O的半径．
【分析】（1）想办法证明＝即可解决问题．
（2）连接OM，利用勾股定理垂径定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∵M是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝DM．
（2）解：如图，连接OM．
∵DM＝BM＝4，OE⊥BM，
∴EM＝BE＝2，
∵OE＝1，∠OEM＝90°，
∴OM＝＝＝，
∴⊙O的半径为．
20．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为AB的中点，DE⊥CE．
（1）求证：△AED∽△BCE；
（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵EC⊥DE，
∴∠DEC＝90°，
∵∠DAB＝∠CBA＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠ADE＝∠CEB，
∴△AED∽△BCE．
（2）∵△AED∽△BCE，
∴＝，∵AE＝EB，
∴AE2＝AD•BC＝36，
∴AE＝EB＝6，
∴DE2＝AD2+AE2＝32+62＝45，EC2＝BE2+BC2＝62+122＝180，
∴CD＝＝＝15．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．
（1）求证：∠ADB＝∠E；
（2）当AB＝6，BE＝3时，求AD的长．
【分析】运用圆周角定理，以及平行线的性质得出角之间的关系，得出相等关系，再利用三角形相似得出比例式，从而求出AD．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC
∴，∠ABC＝∠AED，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB
∴∠ADB＝∠E
（2）解：∵∠ABC＝∠AED，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ACB
∴∠ADB＝∠E，∠BAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△ADE，
AB＝6，BE＝3，
∴AD2＝6×9，
AD＝3，
∴AD的长为3．
22．（12分）小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P．已知篮球运动时的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝﹣x2+x+c．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求篮球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC＝2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB．
【分析】（1）直接利用P点坐标得出c的值即可；
（2）求出二次函数的顶点坐标进而得出答案；
（3）令y＝2.5，进而得出答案x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵OP＝1，
∴当x＝0时，y＝1，代入y＝x2+x+c，
解得：c＝1，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；
（2）y＝﹣x2+x+1，
＝x2﹣8x）+1，
＝（x﹣4）2+3，
当x＝4时，y有最大值3，
故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；
（3）令y＝2.5，则有﹣（x﹣4）2+3＝2.5，
解得x1＝2，x2＝6，
根据题意可知x1＝2不合题意，应舍去故小亮离小明的最短距离为6m．
23．（12分）如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE分别交弦AB于点N、交弦BG于点D；OE交圆O于点C、F，连接OG，OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，r＝2，求弦AB的长；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
【分析】（1）设OF交AB于N，连接AO，根据圆的性质与三角函数计算可得答案；
（2）想办法证明∠E＝∠OBD，∠OGB＝∠OBD可得结论；
（3）证明△OGD∽△OEG，相似三角形的性质可得答案．
【解答】（1）解：设OF交AB于N，连接AO，
∴∠AOB＝2∠AGB＝120°，
∵OA＝OB，OA⊥AB，
∴AN＝BN＝AB，
∴∠AOB＝∠BON＝∠AOB＝60°，∠ONB＝∠ONA＝90°，
∴sin∠AON＝＝，
∴AN＝×2＝，
∴AB＝2AN＝2．
（2）证明：∵∠AOB＝2∠AGB，∠AON＝∠BON＝∠AOB，
∴∠BON＝∠AGB，
∴∠EGD＝∠DOB，
∵∠EDG＝∠BDO，
∴∠E＝∠OBD，
∵OG＝OB，
∴∠OGB＝∠OBG，
∴∠E＝∠OGB．
（3）解：∵D是CO中点，
∴OD＝OC＝，
∵∠OGD＝∠E，∠GOD＝∠EOG，
∴△OGD∽△OEG，
∴＝，即＝，
∴OE＝2r，
∵OF＝r，
∴EF＝OE+OF＝3r．
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