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2021-2022学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣4）＝0的两个根是（ ）
A．x1＝1，x2＝4 B．x1＝1，x2＝﹣4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
3．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝﹣2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝2
4．（3分）对于抛物线y＝3（x﹣6）2﹣5，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣6，﹣5）
B．开口向上，顶点坐标（6，﹣5）
C．开口向下，顶点坐标（﹣6，5）
D．开口向下，顶点坐标（6，5）
5．（3分）将抛物线y＝4x2向下平移2个单位，所得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝4x2+2 B．y＝4x2﹣2 C．y＝4（x+2）2 D．y＝4（x﹣2）2
6．（3分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝4，则弦AB的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则∠BAC的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点C的对应点为D，延长DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．AB＝EF C．∠CEF＝∠D D．BC⊥DF
10．（3分）某种植基地2020年蔬菜产量为90吨，预计2022年蔬菜产量达到110吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．90（1+x）2＝110 B．110（1﹣x）2＝90
C．90（1+2x）＝110 D．90（1+x2）＝110
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE∥AB，则∠CAD的大小是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＜0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③；④3a+c＞0；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个实数根，则c的取值范围为 ．
15．（3分）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是 ．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，AD＝5，CD＝4，则S△OCD的值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝8cm，点D为△ABC内一点，∠ACD＝15°，CD＝3cm，连接AD，将△ACD绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交BC于点F，则BF的长为 cm．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解下列方程：
（Ⅰ）x2+6x﹣7＝0（配方法）；
（Ⅱ）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
20．（8分）抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为P，与y轴的交点为C．
x
…
…
y＝﹣x2+2x+3
…
…
（Ⅰ）抛物线的对称轴是 ；顶点P的坐标是 ；交点C的坐标是 ．
（Ⅱ）列表、描点画这条抛物线．
21．（10分）在△ABC中，∠ACB＝120°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得△EDC，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，连接AD，若BC＝6，AC＝8，α＝30°，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，连接BD，若α＝60°，求证：BD∥AC．
22．（10分）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝6，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE＝DA．
23．（10分）商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题：
（Ⅰ）用含x的代数式表示：①降价后每售一件该商品获得利润 元；②降价后平均每天售出 件该商品；
（Ⅱ）在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，每件该商品应降价多少元？此时每天获得最大利润为多少元？
24．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：①△BAD≌△CAE；②BC＝DC+EC．
（Ⅱ）如图，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD．①△BAD≌△CAE的结论是否仍然成立？并请你说明理由；②若BD＝12，CD＝4，求AD的长．
25．（10分）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，求点E的坐标．
2021-2022学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：D．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣4）＝0的两个根是（ ）
A．x1＝1，x2＝4 B．x1＝1，x2＝﹣4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
【分析】先得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
故选：C．
3．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝﹣2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝2
【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x＝1，
∴x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
故选：A．
4．（3分）对于抛物线y＝3（x﹣6）2﹣5，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣6，﹣5）
B．开口向上，顶点坐标（6，﹣5）
C．开口向下，顶点坐标（﹣6，5）
D．开口向下，顶点坐标（6，5）
【分析】根据a的符号求得开口方向，根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣6）2﹣5中，a＝3＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为：（6，﹣5）．
故选：B．
5．（3分）将抛物线y＝4x2向下平移2个单位，所得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝4x2+2 B．y＝4x2﹣2 C．y＝4（x+2）2 D．y＝4（x﹣2）2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝4x2向下平移2个单位y＝4x2﹣2．
故选：B．
6．（3分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝4，则弦AB的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AC＝BC，再求出AB即可．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC＝＝＝3，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC＝BC＝3，
即AB＝3+3＝6，
故选：C．
7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝40°，根据圆周角定理得出∠A＝BOD，再把∠A＝40°代入，即可求出∠BOD．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝140°，
∴∠A＝40°，
∵圆周角∠A和圆心角∠BOD都对着，
∴∠A＝BOD，
∴∠BOD＝2×40°＝80°，
故选：C．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则∠BAC的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【分析】连接BC，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝75°，
∴∠BAC＝90°﹣75°＝15°，
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点C的对应点为D，延长DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．AB＝EF C．∠CEF＝∠D D．BC⊥DF
【分析】由旋转得∠D＝∠C，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，
∴∠D＝∠C，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠DAE＝90°，
∴BC⊥DF，
故选：D．
10．（3分）某种植基地2020年蔬菜产量为90吨，预计2022年蔬菜产量达到110吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．90（1+x）2＝110 B．110（1﹣x）2＝90
C．90（1+2x）＝110 D．90（1+x2）＝110
【分析】利用增长后的产量＝增长前的产量×（1+增长率）2，设平均每次增长的百分率为x，根据“从90吨增加到110吨”，即可得出方程．
【解答】解：依题意得：90（1+x）2＝110．
故选：A．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE∥AB，则∠CAD的大小是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【分析】由旋转的性质可得AC＝AE，再根据平行线的性质，得∠ECA＝∠CAB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠EAC，即可解决问题．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，∠EAD＝∠CAB＝75°，
∴∠ECA＝∠AEC，
∵CE∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB＝75°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝75°﹣30°＝45°，
故选：D．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＜0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③；④3a+c＞0；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝﹣，
∴a＝b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，
∴当x＜﹣时，y随x的增大而增大，故②不正确；
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴＞0，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
∴6a+c＝0，
又a＜0，
∴3a+c＞0，故④正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，
∴与x轴的另一个交点为（2，0），
∴当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
∴m＜﹣3，n＞2，
∴若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是 （4，﹣7） ．
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出答案．
【解答】解：点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣7）．
故答案是：（4，﹣7）．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个实数根，则c的取值范围为 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4c≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4c≥0，
解得c≤；
故答案为：c≤．
15．（3分）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是 （﹣6，0），（6，0） ．
【分析】根据判别式的意义Δ＝0得到关于b的方程，然后解方程求出b的值，然后解关于x的方程即可．
【解答】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣9）＝0，
解得b＝±3，
∴﹣x2+3x﹣9＝0或﹣x2﹣3x﹣9＝0，
解得x＝﹣6或x＝6，
即此公共点的坐标是（﹣6，0）或（6，0）．
故答案为：（﹣6，0）或（6，0）．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为 6 ．
【分析】利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标即可求得结论．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，
又2﹣（﹣1）＝3，
∴点B的横坐标为2+3＝5，
∴B（5，0）．
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6．
故答案为：6．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，AD＝5，CD＝4，则S△OCD的值为 5 ．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC过圆心O，求出∠ADC＝90°，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：
连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC过圆心O（AC是⊙O的直径），
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝5，CD＝4，OA＝OC，
∴S△OCD
＝S△ADC
＝
＝
＝5，
故答案为：5．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝8cm，点D为△ABC内一点，∠ACD＝15°，CD＝3cm，连接AD，将△ACD绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交BC于点F，则BF的长为 （） cm．
【分析】过C作CG⊥DE于点G，由旋转的性质知△CDE是等腰直角三角形，从而得出∠CFD＝60°，再通过解△CDF即可．
【解答】解：过C作CG⊥DE于点G，
∵将△ACD绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∠BCE＝∠ACD，
∴∠CED＝∠CDE＝45°，
在△CEF中，∠CFD＝∠CEF+∠ECF＝45°+15°＝60°，
在Rt△CDG中，∠CDG＝45°，
∴CG＝DG＝＝＝，
在Rt△CFG中，GF＝＝＝，
∴CF＝2FG＝，
∴BF＝BC﹣CF＝（8﹣）cm，
故答案为：（8﹣）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解下列方程：
（Ⅰ）x2+6x﹣7＝0（配方法）；
（Ⅱ）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
【分析】（Ⅰ）移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（Ⅱ）先把方程转化为一般式方程，然后利用求根公式进行解题．
【解答】（Ⅰ）解：移项，得 x2+6x＝7，
配方，得 x2+6x+9＝7+9，即（x+3）2＝16，
∴x1＝1，x2＝﹣7；
（Ⅱ）解：5x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，x2＝﹣．
20．（8分）抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为P，与y轴的交点为C．
x
…
…
y＝﹣x2+2x+3
…
…
（Ⅰ）抛物线的对称轴是 直线x＝1 ；顶点P的坐标是 （1，4） ；交点C的坐标是 （0，3） ．
（Ⅱ）列表、描点画这条抛物线．
【分析】（Ⅰ）把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴和顶点坐标，令x＝0，求出与y轴的交点即可；
（Ⅱ）列表、描点，然后画出图象即可．
【解答】解：（Ⅰ）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线的对称轴对称轴为直线x＝1，顶点P（1，4），
令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点C为（0，3），
故答案为直线x＝1，（1，4），（0，3）；
（Ⅱ）列表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y＝﹣x2+2x+3
…
0
3
4
3
0
…
描点，画出函数的图象如图：
．
21．（10分）在△ABC中，∠ACB＝120°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得△EDC，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，连接AD，若BC＝6，AC＝8，α＝30°，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，连接BD，若α＝60°，求证：BD∥AC．
【分析】（I）由旋转30°知∠ACD＝90°，再利用勾股定理即可；
（II）若α＝60°，则△CBD是等边三角形．从而∠CBD＝60°，即可解决问题．
【解答】（Ⅰ）解：∵∠BCD＝α＝30°，∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝90°，
∵△EDC是△ABC旋转得到的，
∴△EDC≌△ABC．
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
得 ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC＝CD，
又∵∠BCD＝α＝60°，
∴△CBD是等边三角形．
∴∠CBD＝60°，
又∠ACB＝120°，
∴∠CBD+∠ACB＝180°，
∴AC∥BD．
22．（10分）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝6，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE＝DA．
【分析】（I）连接OD，易证△DOA是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出AD的长；
（II）由角平分线的定义结合（Ⅰ）的结论即可得出∠BAD+∠BAE＝∠ACE+∠CAE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EAD＝∠DEA，由此即可证出AD＝DE．
【解答】（Ⅰ）解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠AOD＝90°，
即△AOD为等腰直角三角形，
∵AB＝6，
∴OA＝OD＝3．
∴；
（Ⅱ）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠EAB，
即∠EAD＝∠AED，
∴DE＝DA．
23．（10分）商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题：
（Ⅰ）用含x的代数式表示：①降价后每售一件该商品获得利润 （40﹣x） 元；②降价后平均每天售出 （20+2x） 件该商品；
（Ⅱ）在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，每件该商品应降价多少元？此时每天获得最大利润为多少元？
【分析】（Ⅰ）①用原来价格减去降低的价格即可；②用原销售量加上因降价而增加的销售量即可；
（Ⅱ）设每天获得的利润为y元，根据“每天获得的利润＝每件的利润×每天的销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）①降价后每售一件该商品获得利润（40﹣x）元，
降价后平均每天售出（20+2x）件该商品，
故答案为：①40﹣x；②20+2x；
（Ⅱ）设每天获得的利润为y元，
根据题意，得：y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250．
其中0≤x≤40，
∵﹣2＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝15时，y有最大值为1250．
答：每件该商品应降价15元，获得最大利润为1250元．
24．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：①△BAD≌△CAE；②BC＝DC+EC．
（Ⅱ）如图，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD．①△BAD≌△CAE的结论是否仍然成立？并请你说明理由；②若BD＝12，CD＝4，求AD的长．
【分析】（Ⅰ）①判断出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
②由①知△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，即可得出结论；
（Ⅱ）①结论仍然成立．理由同（Ⅰ）的方法；
②由①知△BAD≌△CAE，得出CE＝BD＝12，再判断出∠EDC＝90°，利用勾股定理求出DE＝，即可求出答案．
【解答】（Ⅰ）①证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
②由①知△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
∴BC＝DC+BD＝DC+EC．
（Ⅱ）①结论仍然成立．
理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD．
即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
②由①知△BAD≌△CAE，
∴CE＝BD＝12．
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠EDA＝45°．
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDC＝∠EDA+∠ADC＝90°．
在Rt△ECD 中，CD＝4，
∴DE＝＝，
在Rt△DAE 中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴，
∴AD＝8．
25．（10分）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，求点E的坐标．
【分析】（Ⅰ）直接根据待定系数法进行求解即可；
（Ⅱ）由二次函数的性质得OC＝3，然后根据勾股定理和等腰三角形的性质得CP1＝DP2＝CP3＝CD，作CH⊥对称轴于H，即可得到答案；
（Ⅲ）首先得点B（3，0），待定系数法得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+3），F（ a，﹣a2+2a+3），利用面积公式可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x+2．
（Ⅱ）∵y＝﹣x+2＝﹣，
∴抛物线的对称轴是直线x＝．
∴OD＝．
∵C（0，2），
∴OC＝2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD＝．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1＝DP2＝DP3＝CD．作CH⊥对称轴于点H，如图1，
∴HP1＝HD＝2．
∴DP1＝4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）．
（Ⅲ）当y＝0时，由﹣x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a+2），
∴EF＝﹣a+2﹣（﹣a+2）＝﹣+2a，
∵S四边形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF
＝EF•BN
＝a（4﹣a）
＝﹣a2+4a+＝﹣（a﹣2）2+，
∴根据题意0≤a≤4，
∴当a＝2时，S四边形CDBF的最大值为，此时点E（2，1）．
2021-2022学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣4）＝0的两个根是（ ）
A．x1＝1，x2＝4 B．x1＝1，x2＝﹣4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
3．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝﹣2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝2
4．（3分）对于抛物线y＝3（x﹣6）2﹣5，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣6，﹣5）
B．开口向上，顶点坐标（6，﹣5）
C．开口向下，顶点坐标（﹣6，5）
D．开口向下，顶点坐标（6，5）
5．（3分）将抛物线y＝4x2向下平移2个单位，所得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝4x2+2 B．y＝4x2﹣2 C．y＝4（x+2）2 D．y＝4（x﹣2）2
6．（3分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝4，则弦AB的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则∠BAC的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点C的对应点为D，延长DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．AB＝EF C．∠CEF＝∠D D．BC⊥DF
10．（3分）某种植基地2020年蔬菜产量为90吨，预计2022年蔬菜产量达到110吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．90（1+x）2＝110 B．110（1﹣x）2＝90
C．90（1+2x）＝110 D．90（1+x2）＝110
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE∥AB，则∠CAD的大小是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＜0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③；④3a+c＞0；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个实数根，则c的取值范围为 ．
15．（3分）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是 ．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为 ．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，AD＝5，CD＝4，则S△OCD的值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝8cm，点D为△ABC内一点，∠ACD＝15°，CD＝3cm，连接AD，将△ACD绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交BC于点F，则BF的长为 cm．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解下列方程：
（Ⅰ）x2+6x﹣7＝0（配方法）；
（Ⅱ）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
20．（8分）抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为P，与y轴的交点为C．
x
…
…
y＝﹣x2+2x+3
…
…
（Ⅰ）抛物线的对称轴是 ；顶点P的坐标是 ；交点C的坐标是 ．
（Ⅱ）列表、描点画这条抛物线．
21．（10分）在△ABC中，∠ACB＝120°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得△EDC，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，连接AD，若BC＝6，AC＝8，α＝30°，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，连接BD，若α＝60°，求证：BD∥AC．
22．（10分）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝6，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE＝DA．
23．（10分）商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题：
（Ⅰ）用含x的代数式表示：①降价后每售一件该商品获得利润 元；②降价后平均每天售出 件该商品；
（Ⅱ）在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，每件该商品应降价多少元？此时每天获得最大利润为多少元？
24．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：①△BAD≌△CAE；②BC＝DC+EC．
（Ⅱ）如图，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD．①△BAD≌△CAE的结论是否仍然成立？并请你说明理由；②若BD＝12，CD＝4，求AD的长．
25．（10分）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，求点E的坐标．
2021-2022学年天津市滨海新区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、不是中心对称图形，本选项错误；
D、是中心对称图形，本选项正确．
故选：D．
2．（3分）一元二次方程x（x﹣4）＝0的两个根是（ ）
A．x1＝1，x2＝4 B．x1＝1，x2＝﹣4 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
【分析】先得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣4）＝0，
∴x＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
故选：C．
3．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝﹣2 C．（x+1）2＝0 D．（x﹣1）2＝2
【分析】将常数项移到右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方式即可．
【解答】解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x＝1，
∴x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，
故选：A．
4．（3分）对于抛物线y＝3（x﹣6）2﹣5，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣6，﹣5）
B．开口向上，顶点坐标（6，﹣5）
C．开口向下，顶点坐标（﹣6，5）
D．开口向下，顶点坐标（6，5）
【分析】根据a的符号求得开口方向，根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣6）2﹣5中，a＝3＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为：（6，﹣5）．
故选：B．
5．（3分）将抛物线y＝4x2向下平移2个单位，所得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝4x2+2 B．y＝4x2﹣2 C．y＝4（x+2）2 D．y＝4（x﹣2）2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝4x2向下平移2个单位y＝4x2﹣2．
故选：B．
6．（3分）如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝4，则弦AB的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AC＝BC，再求出AB即可．
【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AC＝＝＝3，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC＝BC＝3，
即AB＝3+3＝6，
故选：C．
7．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝140°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝40°，根据圆周角定理得出∠A＝BOD，再把∠A＝40°代入，即可求出∠BOD．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝140°，
∴∠A＝40°，
∵圆周角∠A和圆心角∠BOD都对着，
∴∠A＝BOD，
∴∠BOD＝2×40°＝80°，
故选：C．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝75°，则∠BAC的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
【分析】连接BC，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠ADC＝75°，
∴∠BAC＝90°﹣75°＝15°，
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点C的对应点为D，延长DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC＝DE B．AB＝EF C．∠CEF＝∠D D．BC⊥DF
【分析】由旋转得∠D＝∠C，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，
∴∠D＝∠C，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠DAE＝90°，
∴BC⊥DF，
故选：D．
10．（3分）某种植基地2020年蔬菜产量为90吨，预计2022年蔬菜产量达到110吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．90（1+x）2＝110 B．110（1﹣x）2＝90
C．90（1+2x）＝110 D．90（1+x2）＝110
【分析】利用增长后的产量＝增长前的产量×（1+增长率）2，设平均每次增长的百分率为x，根据“从90吨增加到110吨”，即可得出方程．
【解答】解：依题意得：90（1+x）2＝110．
故选：A．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE∥AB，则∠CAD的大小是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【分析】由旋转的性质可得AC＝AE，再根据平行线的性质，得∠ECA＝∠CAB＝75°，利用三角形内角和定理求出∠EAC，即可解决问题．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，∠EAD＝∠CAB＝75°，
∴∠ECA＝∠AEC，
∵CE∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB＝75°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝75°﹣30°＝45°，
故选：D．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＜0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③；④3a+c＞0；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝﹣，
∴a＝b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，
∴当x＜﹣时，y随x的增大而增大，故②不正确；
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴＞0，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
∴6a+c＝0，
又a＜0，
∴3a+c＞0，故④正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，
∴与x轴的另一个交点为（2，0），
∴当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
∴m＜﹣3，n＞2，
∴若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是 （4，﹣7） ．
【分析】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出答案．
【解答】解：点（﹣4，7）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣7）．
故答案是：（4，﹣7）．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个实数根，则c的取值范围为 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4c≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4c≥0，
解得c≤；
故答案为：c≤．
15．（3分）已知二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是 （﹣6，0），（6，0） ．
【分析】根据判别式的意义Δ＝0得到关于b的方程，然后解方程求出b的值，然后解关于x的方程即可．
【解答】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣9）＝0，
解得b＝±3，
∴﹣x2+3x﹣9＝0或﹣x2﹣3x﹣9＝0，
解得x＝﹣6或x＝6，
即此公共点的坐标是（﹣6，0）或（6，0）．
故答案为：（﹣6，0）或（6，0）．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为 6 ．
【分析】利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标即可求得结论．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，
又2﹣（﹣1）＝3，
∴点B的横坐标为2+3＝5，
∴B（5，0）．
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6．
故答案为：6．
17．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，AD＝5，CD＝4，则S△OCD的值为 5 ．
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC过圆心O，求出∠ADC＝90°，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：
连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC过圆心O（AC是⊙O的直径），
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝5，CD＝4，OA＝OC，
∴S△OCD
＝S△ADC
＝
＝
＝5，
故答案为：5．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝8cm，点D为△ABC内一点，∠ACD＝15°，CD＝3cm，连接AD，将△ACD绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交BC于点F，则BF的长为 （） cm．
【分析】过C作CG⊥DE于点G，由旋转的性质知△CDE是等腰直角三角形，从而得出∠CFD＝60°，再通过解△CDF即可．
【解答】解：过C作CG⊥DE于点G，
∵将△ACD绕点C按逆时针方向旋转，使CA与CB重合，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∠BCE＝∠ACD，
∴∠CED＝∠CDE＝45°，
在△CEF中，∠CFD＝∠CEF+∠ECF＝45°+15°＝60°，
在Rt△CDG中，∠CDG＝45°，
∴CG＝DG＝＝＝，
在Rt△CFG中，GF＝＝＝，
∴CF＝2FG＝，
∴BF＝BC﹣CF＝（8﹣）cm，
故答案为：（8﹣）．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解下列方程：
（Ⅰ）x2+6x﹣7＝0（配方法）；
（Ⅱ）5x2﹣4x﹣1＝0（公式法）．
【分析】（Ⅰ）移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解；
（Ⅱ）先把方程转化为一般式方程，然后利用求根公式进行解题．
【解答】（Ⅰ）解：移项，得 x2+6x＝7，
配方，得 x2+6x+9＝7+9，即（x+3）2＝16，
∴x1＝1，x2＝﹣7；
（Ⅱ）解：5x2﹣4x﹣1＝0，
∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝1，x2＝﹣．
20．（8分）抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为P，与y轴的交点为C．
x
…
…
y＝﹣x2+2x+3
…
…
（Ⅰ）抛物线的对称轴是 直线x＝1 ；顶点P的坐标是 （1，4） ；交点C的坐标是 （0，3） ．
（Ⅱ）列表、描点画这条抛物线．
【分析】（Ⅰ）把抛物线解析式整理成顶点式解析式，然后写出对称轴和顶点坐标，令x＝0，求出与y轴的交点即可；
（Ⅱ）列表、描点，然后画出图象即可．
【解答】解：（Ⅰ）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线的对称轴对称轴为直线x＝1，顶点P（1，4），
令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点C为（0，3），
故答案为直线x＝1，（1，4），（0，3）；
（Ⅱ）列表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y＝﹣x2+2x+3
…
0
3
4
3
0
…
描点，画出函数的图象如图：
．
21．（10分）在△ABC中，∠ACB＝120°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得△EDC，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，连接AD，若BC＝6，AC＝8，α＝30°，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，连接BD，若α＝60°，求证：BD∥AC．
【分析】（I）由旋转30°知∠ACD＝90°，再利用勾股定理即可；
（II）若α＝60°，则△CBD是等边三角形．从而∠CBD＝60°，即可解决问题．
【解答】（Ⅰ）解：∵∠BCD＝α＝30°，∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝90°，
∵△EDC是△ABC旋转得到的，
∴△EDC≌△ABC．
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
得 ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC＝CD，
又∵∠BCD＝α＝60°，
∴△CBD是等边三角形．
∴∠CBD＝60°，
又∠ACB＝120°，
∴∠CBD+∠ACB＝180°，
∴AC∥BD．
22．（10分）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝6，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE＝DA．
【分析】（I）连接OD，易证△DOA是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出AD的长；
（II）由角平分线的定义结合（Ⅰ）的结论即可得出∠BAD+∠BAE＝∠ACE+∠CAE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EAD＝∠DEA，由此即可证出AD＝DE．
【解答】（Ⅰ）解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠AOD＝90°，
即△AOD为等腰直角三角形，
∵AB＝6，
∴OA＝OD＝3．
∴；
（Ⅱ）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠EAB，
即∠EAD＝∠AED，
∴DE＝DA．
23．（10分）商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元，为庆元旦，决定对该商品进行促销活动，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，请解答下列问题：
（Ⅰ）用含x的代数式表示：①降价后每售一件该商品获得利润 （40﹣x） 元；②降价后平均每天售出 （20+2x） 件该商品；
（Ⅱ）在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，每件该商品应降价多少元？此时每天获得最大利润为多少元？
【分析】（Ⅰ）①用原来价格减去降低的价格即可；②用原销售量加上因降价而增加的销售量即可；
（Ⅱ）设每天获得的利润为y元，根据“每天获得的利润＝每件的利润×每天的销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）①降价后每售一件该商品获得利润（40﹣x）元，
降价后平均每天售出（20+2x）件该商品，
故答案为：①40﹣x；②20+2x；
（Ⅱ）设每天获得的利润为y元，
根据题意，得：y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250．
其中0≤x≤40，
∵﹣2＜0，
∴y有最大值，
∴当x＝15时，y有最大值为1250．
答：每件该商品应降价15元，获得最大利润为1250元．
24．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）如图，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．求证：①△BAD≌△CAE；②BC＝DC+EC．
（Ⅱ）如图，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，仍将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，ED，BD．①△BAD≌△CAE的结论是否仍然成立？并请你说明理由；②若BD＝12，CD＝4，求AD的长．
【分析】（Ⅰ）①判断出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
②由①知△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，即可得出结论；
（Ⅱ）①结论仍然成立．理由同（Ⅰ）的方法；
②由①知△BAD≌△CAE，得出CE＝BD＝12，再判断出∠EDC＝90°，利用勾股定理求出DE＝，即可求出答案．
【解答】（Ⅰ）①证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
②由①知△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
∴BC＝DC+BD＝DC+EC．
（Ⅱ）①结论仍然成立．
理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD．
即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
②由①知△BAD≌△CAE，
∴CE＝BD＝12．
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠EDA＝45°．
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDC＝∠EDA+∠ADC＝90°．
在Rt△ECD 中，CD＝4，
∴DE＝＝，
在Rt△DAE 中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴，
∴AD＝8．
25．（10分）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，求点E的坐标．
【分析】（Ⅰ）直接根据待定系数法进行求解即可；
（Ⅱ）由二次函数的性质得OC＝3，然后根据勾股定理和等腰三角形的性质得CP1＝DP2＝CP3＝CD，作CH⊥对称轴于H，即可得到答案；
（Ⅲ）首先得点B（3，0），待定系数法得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+3），F（ a，﹣a2+2a+3），利用面积公式可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝﹣+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x+2．
（Ⅱ）∵y＝﹣x+2＝﹣，
∴抛物线的对称轴是直线x＝．
∴OD＝．
∵C（0，2），
∴OC＝2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD＝．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1＝DP2＝DP3＝CD．作CH⊥对称轴于点H，如图1，
∴HP1＝HD＝2．
∴DP1＝4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）．
（Ⅲ）当y＝0时，由﹣x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a+2），
∴EF＝﹣a+2﹣（﹣a+2）＝﹣+2a，
∵S四边形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF
＝EF•BN
＝a（4﹣a）
＝﹣a2+4a+＝﹣（a﹣2）2+，
∴根据题意0≤a≤4，
∴当a＝2时，S四边形CDBF的最大值为，此时点E（2，1）．
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