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山东省日照市2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份山东省日照市2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点D在△ABC的BC边上，把△ADC沿AD折叠，点C恰好落在直线AB上，则线段AD是△ABC的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线
5．下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AC＝3，AB＝4，BC＝8 B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2
C．∠C＝90°，AB＝90 D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°
6．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．下列说法正确的有：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形，等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；⑤等腰三角形的角平分线中线和高互相重合；⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑧到角的两边的距离相等的点在角的平分线．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．7 D．6
9．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
10．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
11．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+CF＝360°
12．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是 °．
14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连接OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是 度．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，点E、F在BC上，则∠FAE的度数为 ．
16．在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是 ．
三、解答题（共7小题，满分68分）
17．已知，一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的．试求出：
（1）这个多边形的每一个外角的度数；
（2）求这个多边形的内角和．
18．如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的各顶点均在格点上，且点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3）．
（1）画出平面直角坐标系xOy；
（2）画出格点△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAB的周长最小．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数．
20．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G．
（1）求证：BF＝CG
（2）若AB＝5，AC＝3，求AF的长．
21．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？
（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
22．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BE+BF与的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE+BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 ．（直接写出结论即可）
23．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 ；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
参考答案
一.选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．只有选项C能够完全重合，A中大小不一致，B，D中形状不同．
解：由全等形的概念可以判断：C中图形完全相同，符合全等形的要求，而A、B、D中图形很明显不相同，A中大小不一致，B，D中形状不同．
故选：C．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
4．如图，点D在△ABC的BC边上，把△ADC沿AD折叠，点C恰好落在直线AB上，则线段AD是△ABC的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线
【分析】由折叠得到∠BAD＝∠CAD，进而得到线段AD是△ABC的角平分线．
解：由折叠得，∠BAD＝∠CAD，
∴线段AD是△ABC的角平分线．
故选：B．
5．下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AC＝3，AB＝4，BC＝8 B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2
C．∠C＝90°，AB＝90 D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
解：A、3+4＝7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；
B、根据∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2能画出唯一△ABC，故此选项正确；
C、根据∠C＝90°，AB＝90不能画出唯一三角形，故本选项错误；
D、根据AC＝4，AB＝5，∠B＝60°不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：B．
6．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．
解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，
∴∠ADE＝50°，
又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，
∴∠ADE＝∠EDF＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：C．
7．下列说法正确的有：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形，等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；⑤等腰三角形的角平分线中线和高互相重合；⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑧到角的两边的距离相等的点在角的平分线．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据等腰三角形与等边三角形的定义与性质对各说法进行分析即可得出结果．
解：①等边三角形是特殊的等腰三角形，故①说法正确；
②等腰三角形中有等腰直角三角形，故②说法正确；
③三角形按边分类分为等腰三角形与三边都不相等的三角形，故③说法错误；
④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，故④说法正确；
⑤等腰三角形的顶角角平分线、中线和高互相重合，故⑤说法错误；
⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，故⑥说法正确；
⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等，故⑦说法正确；
⑧到角的两边的距离相等的点在角的平分线，故⑧说法正确．
综上所述，正确的共有6个．
故选：D．
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．7 D．6
【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝6，可知AP最大不能大于6．此题可解．
解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
∴AB＝6，
∴AP的长不能大于6．
故选：C．
9．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【分析】利用轴对称画图可得答案．
解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B．
10．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【分析】三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面积，即可求出答案．
解：∵S△ABC＝16cm2，D为BC中点，
∴S△ADB＝S△ADC＝＝8cm2，
∵E为AD的中点，
∴S△BED＝＝4cm2，S△CED＝S△ADC＝4cm2，
∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4cm2+4cm2＝8cm2，
∵F为CE的中点，
∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2，
故选：B．
11．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+CF＝360°
【分析】分析题意∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可．
解：连接AD，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故选：B．
12．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是 1440 °．
【分析】本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为360°，可求出此正多边形的边数为10．然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和．
解：∵此正多边形每一个外角都为36°，
360°÷36°＝10，
∴此正多边形的边数为10．
则这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故答案为：1440．
14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连接OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是 28 度．
【分析】证明∠ABE＝∠AEB，即可解决问题．
解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠A＝124°，
∴∠AEB＝（180°﹣124°）＝28°，
故答案为28．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，点E、F在BC上，则∠FAE的度数为 20° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质、结合图形计算，得到答案．
解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠ABC，∠FAC＝∠ACB，
∴∠FAE＝∠EAB+∠FAC﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
16．在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是 4 ．
【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长．
解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BFC'中，C'F＝BC'•sin30°＝8×＝4，
∴CE+EF的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题（共7小题，满分68分）
17．已知，一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的．试求出：
（1）这个多边形的每一个外角的度数；
（2）求这个多边形的内角和．
【分析】（1）根据邻补角互补和已知求出外角即可；
（2）先求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出即可．
解：（1）∵一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的，
∴这个多边形的每个外角的度数是＝60°；
（2）∵多边形的每一个外角的度数是60°，多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数是＝6，
∴这个多边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°．
18．如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的各顶点均在格点上，且点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3）．
（1）画出平面直角坐标系xOy；
（2）画出格点△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAB的周长最小．
【分析】（1）直接利用已知点坐标进而建立坐标系得出答案；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
解：（1）如图所示：所画平面直角坐标系即为所求；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）如图所示：连接AB1交y轴于点Q，则△QAB的周长最小．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数．
【分析】利用SAS证明△BED≌△CDF，得∠BED＝∠CDF，再利用三角形内角和定理即可得出答案．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BED与△CDF中，
，
∴△BED≌△CDF（SAS），
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠EDF＝58°，
∴∠BDE+∠CDF＝122°，
∴∠BDE+∠BED＝122°，
∴∠B＝58°，
∴∠C＝58°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°．
20．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G．
（1）求证：BF＝CG
（2）若AB＝5，AC＝3，求AF的长．
【分析】（1）连接EB、EC，只要证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF＝CG．
（2）由Rt△AEF≌Rt△AEG得AF＝AG，再由Rt△BFE≌Rt△CGE得BF＝CG，易知AB+AC＝2AF由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接BE、EC，
∵ED⊥BC，D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG．
（2）解：在Rt△AEF和Rt△AEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG，
∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF，
∴2AF＝8，
∴AF＝4．
21．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？
（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到OC＝DC，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，结合图形计算即可；
（3）用反证法，假设△AOD能否为等边三角形，根据题意证明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°，推出矛盾；
（4）分∠AOD＝∠ADO、∠AOD＝∠OAD、∠ADO＝∠OAD三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC．
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）△AOD是Rt△．
理由如下：
解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是Rt△；
（3）不能．理由：
解：由△BOC≌△ADC，得∠ADC＝∠BOC＝∠α．
若△AOD为等边三角形，
则∠ADO＝60°，
又∵∠ODC＝60°，
∴∠ADC＝∠α＝120°．
又∵∠AOD＝∠DOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
又∵∠AOB＝110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC＝120°+120°+110°＝350°＜360°．
∴△AOD不可能为等边三角形；
（4）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
22．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 相等 ；BE+BF与的BC数量关系是 BE+BF＝BC ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE+BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 BF﹣BE＝BC ．（直接写出结论即可）
【分析】（1）点E与点B重合，即BE＝0，因为CF＝CD＝BC，所以可得出三者之间的关系．
（2）旋转问题，三角形旋转之后，得到的新三角形与原三角形全等，所以线段的关系与（1）中关系相同．
（3）逆时针旋转，DE与DF关系不变，但后者的关系发生变化．
解：（1）等边△ABC中，点D为AC的中点，∠EDF＝120°，
∴∠DEC＝∠F，
∴DE＝DF，
∴BE+BF＝BC；
故答案为：相等；BE+BF＝BC；
（2）DE＝DF；BE+BF＝BC．
过D作DM∥BC交AB于M点，
则∠AMD＝∠ABC＝60°，
∠ADM＝∠ACB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
则MD＝DC＝AD＝BC，
∠MDC＝∠EDF＝120°，
则∠MDC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，
即：∠MDE＝∠CDF，
在△MED和△CDF中，
，
∴△MED≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，ME＝CF，
BE+BF＝BM﹣ME+BC+CF＝BC+BC＝BC；
（3）取AB中点N，连接DN，如图所示
∵ND＝CD，∠END＝∠DCF＝120°，NE＝CF，
∴△END≌△FCD（SAS），
∴DE＝DF，
∵BE+AB＝CF，
∴BF＝BC+CF＝BC+BE，
∴BF﹣BE＝BC，
故答案为：BF﹣BE＝BC．
23．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 （0，3） ；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于H，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝BO＝3，可求解；
（2）延长AB，CD交于点N，由“ASA”可证△ADN≌△ADC，可得CD＝DN，由“ASA”可证△ABM≌△CBN，可得AM＝CN，可得结论；
（3）如图③，作EG⊥y轴于G，由“AAS”可证△BAO≌△CBG，可得BG＝AO，CG＝OB，由“AAS”可证△CGP≌△FBP，可得PB＝PG，可得PB＝BG＝AO，由三角形面积公式可求解．
解：（1）如图①，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠BHC＝90°＝∠ABC，
∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝∠ABH，
∵点C的横坐标为﹣3，
∴CH＝3，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝BO＝3，
∴点B（0，3）；
故答案为：（0，3）；
（2）AM＝2CD，
如图②，延长AB，CD交于点N，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADN和△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（ASA），
∴CD＝DN，
∴CN＝2CD，
∵∠N+∠BAD＝90°，∠N+∠BCN＝90°，
∴∠BAD＝∠BCN，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴AM＝CN，
∴AM＝2CD；
（3）△BPC与△AOB的面积比不会变化，
理由：如图③，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBG＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
在△BAO和△CBG中，
，
∴△BAO≌△CBG（AAS），
∴BG＝AO，CG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝GC，
在△CGP和△FBP中，
，
∴△CGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO，
∵S△AOB＝×OB×OA，S△PBC＝×PB×GC＝×AO×BO，
∴S△PBC：S△AOB＝．
2021-2022学年八年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点D在△ABC的BC边上，把△ADC沿AD折叠，点C恰好落在直线AB上，则线段AD是△ABC的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线
5．下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AC＝3，AB＝4，BC＝8 B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2
C．∠C＝90°，AB＝90 D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°
6．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．下列说法正确的有：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形，等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；⑤等腰三角形的角平分线中线和高互相重合；⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑧到角的两边的距离相等的点在角的平分线．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．7 D．6
9．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
10．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
11．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+CF＝360°
12．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是 °．
14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连接OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是 度．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，点E、F在BC上，则∠FAE的度数为 ．
16．在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是 ．
三、解答题（共7小题，满分68分）
17．已知，一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的．试求出：
（1）这个多边形的每一个外角的度数；
（2）求这个多边形的内角和．
18．如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的各顶点均在格点上，且点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3）．
（1）画出平面直角坐标系xOy；
（2）画出格点△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAB的周长最小．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数．
20．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G．
（1）求证：BF＝CG
（2）若AB＝5，AC＝3，求AF的长．
21．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？
（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
22．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 ；BE+BF与的BC数量关系是 ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE+BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 ．（直接写出结论即可）
23．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 ；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
参考答案
一.选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．只有选项C能够完全重合，A中大小不一致，B，D中形状不同．
解：由全等形的概念可以判断：C中图形完全相同，符合全等形的要求，而A、B、D中图形很明显不相同，A中大小不一致，B，D中形状不同．
故选：C．
2．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
4．如图，点D在△ABC的BC边上，把△ADC沿AD折叠，点C恰好落在直线AB上，则线段AD是△ABC的（ ）
A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线
【分析】由折叠得到∠BAD＝∠CAD，进而得到线段AD是△ABC的角平分线．
解：由折叠得，∠BAD＝∠CAD，
∴线段AD是△ABC的角平分线．
故选：B．
5．下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AC＝3，AB＝4，BC＝8 B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2
C．∠C＝90°，AB＝90 D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
解：A、3+4＝7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；
B、根据∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2能画出唯一△ABC，故此选项正确；
C、根据∠C＝90°，AB＝90不能画出唯一三角形，故本选项错误；
D、根据AC＝4，AB＝5，∠B＝60°不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：B．
6．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．
解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，
∴∠ADE＝50°，
又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，
∴∠ADE＝∠EDF＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：C．
7．下列说法正确的有：①等边三角形是等腰三角形；②等腰三角形可能是直角三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形，等边三角形和三边都不相等的三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；⑤等腰三角形的角平分线中线和高互相重合；⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑧到角的两边的距离相等的点在角的平分线．其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据等腰三角形与等边三角形的定义与性质对各说法进行分析即可得出结果．
解：①等边三角形是特殊的等腰三角形，故①说法正确；
②等腰三角形中有等腰直角三角形，故②说法正确；
③三角形按边分类分为等腰三角形与三边都不相等的三角形，故③说法错误；
④三角形按角分类可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形，故④说法正确；
⑤等腰三角形的顶角角平分线、中线和高互相重合，故⑤说法错误；
⑥如果一个三角形某一边上的高线与所对角的平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，故⑥说法正确；
⑦等边三角形的高、中线、角平分线都相等，故⑦说法正确；
⑧到角的两边的距离相等的点在角的平分线，故⑧说法正确．
综上所述，正确的共有6个．
故选：D．
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．5 B．4 C．7 D．6
【分析】利用垂线段最短分析AP最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出AB＝6，可知AP最大不能大于6．此题可解．
解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
∴AB＝6，
∴AP的长不能大于6．
故选：C．
9．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【分析】利用轴对称画图可得答案．
解：如图所示，
，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B．
10．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（ ）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【分析】三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面积，即可求出答案．
解：∵S△ABC＝16cm2，D为BC中点，
∴S△ADB＝S△ADC＝＝8cm2，
∵E为AD的中点，
∴S△BED＝＝4cm2，S△CED＝S△ADC＝4cm2，
∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4cm2+4cm2＝8cm2，
∵F为CE的中点，
∴S△BEF＝S△BEC＝4cm2，
故选：B．
11．如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝270° B．∠B+∠C﹣∠D+∠E+∠F＝270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360° D．∠B+∠C﹣∠D+∠E+CF＝360°
【分析】分析题意∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，然后利用三角形的内角和、等量代换求解即可．
解：连接AD，
在△DMA中，∠DMA+∠MDA+∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA+∠NDA+∠NAD＝180°，
∴∠DMA+∠MDA+∠MAD+∠DMA+∠NDA+∠NAD＝360°，
∵∠MAD+∠NAD＝360°﹣∠BAF，
∴∠DMA+∠DNA+∠MDN+360°﹣∠BAF＝360°，
∵AB⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA+∠DNA＝90°﹣∠MDN，
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∵∠1＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠E﹣∠F，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴90°﹣∠MDN＝360°﹣（∠B+∠C+∠E+∠F），
∴∠B+∠C+∠E+∠F﹣∠MDN＝270°．
故选：B．
12．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是 1440 °．
【分析】本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为360°，可求出此正多边形的边数为10．然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和．
解：∵此正多边形每一个外角都为36°，
360°÷36°＝10，
∴此正多边形的边数为10．
则这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故答案为：1440．
14．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作圆弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．连接OG、OH．若∠A＝124°，则∠AEB的大小是 28 度．
【分析】证明∠ABE＝∠AEB，即可解决问题．
解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠A＝124°，
∴∠AEB＝（180°﹣124°）＝28°，
故答案为28．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，点E、F在BC上，则∠FAE的度数为 20° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质、结合图形计算，得到答案．
解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝100°，
∵DE，FG分别是AB，AC边的垂直平分线，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠ABC，∠FAC＝∠ACB，
∴∠FAE＝∠EAB+∠FAC﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故答案为：20°．
16．在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是 4 ．
【分析】作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，CE+EF的最小值C'F的长．
解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BFC'中，C'F＝BC'•sin30°＝8×＝4，
∴CE+EF的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题（共7小题，满分68分）
17．已知，一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的．试求出：
（1）这个多边形的每一个外角的度数；
（2）求这个多边形的内角和．
【分析】（1）根据邻补角互补和已知求出外角即可；
（2）先求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出即可．
解：（1）∵一个多边形的每一个外角都是它相邻的内角的，
∴这个多边形的每个外角的度数是＝60°；
（2）∵多边形的每一个外角的度数是60°，多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数是＝6，
∴这个多边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°．
18．如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的各顶点均在格点上，且点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3）．
（1）画出平面直角坐标系xOy；
（2）画出格点△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAB的周长最小．
【分析】（1）直接利用已知点坐标进而建立坐标系得出答案；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
解：（1）如图所示：所画平面直角坐标系即为所求；
（2）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（3）如图所示：连接AB1交y轴于点Q，则△QAB的周长最小．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CF，BE＝CD，∠FDE＝58°，求∠A的度数．
【分析】利用SAS证明△BED≌△CDF，得∠BED＝∠CDF，再利用三角形内角和定理即可得出答案．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BED与△CDF中，
，
∴△BED≌△CDF（SAS），
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠EDF＝58°，
∴∠BDE+∠CDF＝122°，
∴∠BDE+∠BED＝122°，
∴∠B＝58°，
∴∠C＝58°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°．
20．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G．
（1）求证：BF＝CG
（2）若AB＝5，AC＝3，求AF的长．
【分析】（1）连接EB、EC，只要证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF＝CG．
（2）由Rt△AEF≌Rt△AEG得AF＝AG，再由Rt△BFE≌Rt△CGE得BF＝CG，易知AB+AC＝2AF由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接BE、EC，
∵ED⊥BC，D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG．
（2）解：在Rt△AEF和Rt△AEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG，
∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF，
∴2AF＝8，
∴AF＝4．
21．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）△AOD能否为等边三角形？为什么？
（4）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到OC＝DC，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，结合图形计算即可；
（3）用反证法，假设△AOD能否为等边三角形，根据题意证明∠AOC+∠AOB+∠BOC不等于360°，推出矛盾；
（4）分∠AOD＝∠ADO、∠AOD＝∠OAD、∠ADO＝∠OAD三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC．
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）△AOD是Rt△．
理由如下：
解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是Rt△；
（3）不能．理由：
解：由△BOC≌△ADC，得∠ADC＝∠BOC＝∠α．
若△AOD为等边三角形，
则∠ADO＝60°，
又∵∠ODC＝60°，
∴∠ADC＝∠α＝120°．
又∵∠AOD＝∠DOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
又∵∠AOB＝110°，
∴∠AOC+∠AOB+∠BOC＝120°+120°+110°＝350°＜360°．
∴△AOD不可能为等边三角形；
（4）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
22．（1）如图1，等边△ABC中，点D为AC的中点，若∠EDF＝120°，点E与点B重合，DF与BC的延长线交于F点，则DE与DF的数量关系是 相等 ；BE+BF与的BC数量关系是 BE+BF＝BC ；（写出结论即可，不必证明）
（2）将（1）中的点E移动一定距离（如图2），DE交AB于E点，DF交BC的延长线于F点，其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件不变，则DE与DF有怎样的数量关系？BE+BF与BC之间有怎样的数量关系？写出你的结论并加以证明；
（3）将（1）中的点E移动到AB延长线上，DE与AB的延长线交于E点，DF交BC的延长线于F点（如图3），其中“等边△ABC中，D为AC的中点，若∠EDF＝120°”这一条件仍然不变，则BE、BF、BC这三者之间的数量关系是 BF﹣BE＝BC ．（直接写出结论即可）
【分析】（1）点E与点B重合，即BE＝0，因为CF＝CD＝BC，所以可得出三者之间的关系．
（2）旋转问题，三角形旋转之后，得到的新三角形与原三角形全等，所以线段的关系与（1）中关系相同．
（3）逆时针旋转，DE与DF关系不变，但后者的关系发生变化．
解：（1）等边△ABC中，点D为AC的中点，∠EDF＝120°，
∴∠DEC＝∠F，
∴DE＝DF，
∴BE+BF＝BC；
故答案为：相等；BE+BF＝BC；
（2）DE＝DF；BE+BF＝BC．
过D作DM∥BC交AB于M点，
则∠AMD＝∠ABC＝60°，
∠ADM＝∠ACB＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
则MD＝DC＝AD＝BC，
∠MDC＝∠EDF＝120°，
则∠MDC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，
即：∠MDE＝∠CDF，
在△MED和△CDF中，
，
∴△MED≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，ME＝CF，
BE+BF＝BM﹣ME+BC+CF＝BC+BC＝BC；
（3）取AB中点N，连接DN，如图所示
∵ND＝CD，∠END＝∠DCF＝120°，NE＝CF，
∴△END≌△FCD（SAS），
∴DE＝DF，
∵BE+AB＝CF，
∴BF＝BC+CF＝BC+BE，
∴BF﹣BE＝BC，
故答案为：BF﹣BE＝BC．
23．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 （0，3） ；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于H，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝BO＝3，可求解；
（2）延长AB，CD交于点N，由“ASA”可证△ADN≌△ADC，可得CD＝DN，由“ASA”可证△ABM≌△CBN，可得AM＝CN，可得结论；
（3）如图③，作EG⊥y轴于G，由“AAS”可证△BAO≌△CBG，可得BG＝AO，CG＝OB，由“AAS”可证△CGP≌△FBP，可得PB＝PG，可得PB＝BG＝AO，由三角形面积公式可求解．
解：（1）如图①，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠BHC＝90°＝∠ABC，
∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝∠ABH，
∵点C的横坐标为﹣3，
∴CH＝3，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝BO＝3，
∴点B（0，3）；
故答案为：（0，3）；
（2）AM＝2CD，
如图②，延长AB，CD交于点N，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADN和△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（ASA），
∴CD＝DN，
∴CN＝2CD，
∵∠N+∠BAD＝90°，∠N+∠BCN＝90°，
∴∠BAD＝∠BCN，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴AM＝CN，
∴AM＝2CD；
（3）△BPC与△AOB的面积比不会变化，
理由：如图③，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBG＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
在△BAO和△CBG中，
，
∴△BAO≌△CBG（AAS），
∴BG＝AO，CG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝GC，
在△CGP和△FBP中，
，
∴△CGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO，
∵S△AOB＝×OB×OA，S△PBC＝×PB×GC＝×AO×BO，
∴S△PBC：S△AOB＝．
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