内蒙古呼和浩特2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份内蒙古呼和浩特2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年内蒙古呼和浩特八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（10×3＝30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，4cm，6cm B．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cm D．2cm，3cm，6cm
3．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　）
A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°
4．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2cm，求AB的长（　　）

A．8cm B．6cm C．4cm D．10cm
6．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（　　）

A．75° B．100° C．105° D．120°
7．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．90° B．135° C．270° D．315°
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．45° D．50°
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（6×3＝18分）
11．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m+n）2021的值是 　 　．
12．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是　 　．
13．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为　 　．

14．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来的多边形的边数是　 　．
15．在△ABC中，高AD与BE所在直线相交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝　 　．
16．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　 　．

三、解答题（共7小题，52分）
17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l1成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图中画出与△ABC关于直线l2成轴对称的△A2B2C2；
（3）求△ABC的面积．
（请用2B铅笔作图）

18．如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF，求证：∠B＝∠F．

19．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD．则DB和DE是否相等？为什么？

20．（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF和BE、CF的数量关系 　 　．
（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．

21．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．

22．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．

23．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．


参考答案
一、选择题（10×3＝30分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
2．以下各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．2cm，4cm，6cm B．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cm D．2cm，3cm，6cm
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
解：A、2+4＝6，不能组成三角形；
B、4+6＝10＞8，能组成三角形；
C、6+7＝13＜14，不能够组成三角形；
D、2+3＝5＜6，不能组成三角形．
故选：B．
3．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（　　）
A．80°或50° B．50°或20° C．80°或20° D．50°
【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°＝180°，
解可得，x＝50°，
即该等腰三角形的底角的度数是50°；
故选：A．
4．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB＝DE，BC＝EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B＝∠E即可．
解：A、根据AB＝DE，BC＝EF和∠BCA＝∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、∵BC∥EF，
∴∠F＝∠BCA，根据AB＝DE，BC＝EF和∠F＝∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB＝DE，BC＝EF和∠A＝∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选：B．
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2cm，求AB的长（　　）

A．8cm B．6cm C．4cm D．10cm
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝60°，求出∠BCD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出BC＝2BD，AB＝2BC，再求出AB即可．
解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝60°，BC＝AB，
即AB＝2BC，
∵CD是高，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD，
∵BD＝2cm，
∴BC＝4cm，
∴AB＝2BC＝8cm，
故选：A．
6．一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（　　）

A．75° B．100° C．105° D．120°
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝105°，再根据对顶角相等，即可得出∠AOD的度数．
解：由题可得，∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，
∴△BCO中，∠BOC＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴∠AOD＝∠BOC＝105°，
故选：C．
7．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝（　　）

A．90° B．135° C．270° D．315°
【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　）

A．20° B．30° C．45° D．50°
【分析】根据∠AOB＝125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．
解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝2×55°＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．

9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据题意得到MN是线段AB的垂直平分线，进而得到点D是AB的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
∴S△ADC＝S△BDC，
∵S△BDC﹣S△CDE＝5，
∴S△ADC﹣S△CDE＝5，即△ADE的面积为5，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用垂直平分线的性质即可说明其正确；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论；⑤利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论．
解：设EH与AD交于点M，如图，

∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°．
故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°．
∴∠AFE＝∠BFD＝45°．
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°．
∴△AEF为等腰直角三角形．
∵EM是∠AEF的平分线，
∴EM⊥AF，AM＝MF．
即EH为AF的垂直平分线．
∴AH＝HF．
∴∴②正确；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD．
同理，BD＝DF．
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）．
∴③正确；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB．
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH．
∴CH＝AB+AH．
∴④正确；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF．
∴⑤正确．
综上，正确结论的个数为5个．
故选：A．
二、填空题（6×3＝18分）
11．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则（m+n）2021的值是 　1　．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3，1﹣n＝2，
解得：m＝2，n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
所以（m+n）2021＝12021＝1．
故答案为：1．
12．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是　10　．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故答案为：10．
13．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，则∠PAB的度数为　40°　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°，
故答案为：40°．
14．若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来的多边形的边数是　10，11或12　．
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据（n﹣2）•180°＝1620°，
解得：n＝11，
则多边形的边数是10，11或12．
故答案为10，11或12．
15．在△ABC中，高AD与BE所在直线相交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝　45°或135°　．
【分析】分两种情形，画出图形即可解决问题．
解：如图中，

∵∠BHD＝∠AHE（对顶角相等），又∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠HAE+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠C（同角的余角相等），
∴∠C＝∠BHD（等量代换），
∵BH＝AC，∠HBD＝∠DAC，∠C＝∠BHD
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD＝BD（全等三角形的对应边相等）．
∴∠ABC＝45°（等腰直角三角形的性质）；
如图，当∠ABC是钝角时，同法可得AD＝BD，
∴∠ABD＝45°，∠ABC＝135°

故答案为：45°或135°
16．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　2或3　．

【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．
解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝6cm，
∵BD＝PC，
∴BP＝8﹣6＝2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP＝CQ＝2cm，
∴v＝2÷1＝2；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝6cm，PB＝PC，
∴QC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BP＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2（s），
∴v＝6÷2＝3（m/s），
故答案为：2或3．

三、解答题（共7小题，52分）
17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l1成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图中画出与△ABC关于直线l2成轴对称的△A2B2C2；
（3）求△ABC的面积．
（请用2B铅笔作图）

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）△ABC的面积＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4．

18．如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF，求证：∠B＝∠F．

【分析】根据SSS证明△ABC≌△DFE（SSS），可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△Dfe中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠B＝∠F．
19．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD．则DB和DE是否相等？为什么？

【分析】DB＝DE，理由为：由三角形ABC为等边三角形，得到三内角为60°，再由BD为中线，利用三线合一得到BD为角平分线，可得出∠DBC＝30°，由CE＝CD，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠ACB为三角形DCE的外角，利用外角的性质得到∠DEC＝30°，等量代换得到一对角相等，利用等角对等边即可得证．
解：DB＝DE，理由为：
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一），
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC，
∴DB＝DE（等角对等边）．
20．（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，直接写出EF和BE、CF的数量关系 　EF＝BE+CF　．
（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．

【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．
解：（1）EF＝BE+CF．
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝BE+CF．
（2）EF＝BE﹣CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝BE﹣CF．
21．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．

【分析】在BC上截取BE＝BA，连接DE，证明△ABD≌△BED，可得出∠C＝∠DEC，则DE＝DC，从而得出AD＝CD．
【解答】证明：在BC上截取BE＝BA，连接DE，（1分）
∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△BAD≌△BED．（1分）
∴∠A＝∠DEB，AD＝DE．（1分）
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，（1分）
∴∠C＝∠DEC．（1分）
∴DE＝DC．∴AD＝CD．（1分）
∴点D在线段AC的垂直平分线上．（1分）

22．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．

【分析】（1）先由条件可以得出∠EAC＝∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论；
（2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；
【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF．
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
∴EC＝BF，EC⊥BF．

（2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．

23．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【分析】【习题回顾】根据三角形的外角的性质证明；
【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
【探究延伸】同（1）、（2）的方法相同．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
【变式思考】∠CEF＝∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．