北京市海淀区2021_2022学年上学期九年级期中数学试题（word版 含答案）

2021～2022学年第一学期期中考试

九年级数学试卷

试卷说明:本次考试满分100分,考试时间120分钟。

 一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．    

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ）

2．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（     ）  

 A．   B．  C．    D．

3．在平面直角坐标系中，如果⊙是以原点（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点（-3，-4）与⊙的位置关系是（     ）

A. 在⊙内   B.在⊙上    C. 在⊙外     D. 不能确定

4．如图，将△绕着点按顺时针方向旋转20°，

点落在位置，点落在位置，若，

则的度数是（     ）

A．50°    B．60°    C． 70°     D．40°

5．如右图，线段是⊙的直径，弦，∠=20°，则∠等于（     ）

   A． 120°        B． 140°        C．150°      D． 160°

6．二次函数的最小值为（     ）

A. 5          B. 0           C. -3            D. -4

7．如图，A、B、C 在⊙O 上，∠ACB=40°，点 D 在上，M 为半径

上一点，则∠的度数不可能为（     ）

A.45°      B. 60°          C.75 °          D.85°

8．如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系.下图记录了原子滑车在该路段运行的与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离满足（     ）

A.          B.         C.      D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．写出一个开口向下，与轴交于点（0，2）的抛物线的函数表达式                    .  

10．如果，那么代数式的值是                  .

11．某工厂2019年生产1吨某产品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2021年生产1吨该产品的成本是5000元，求该种产商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x,则所列的方程应为             ­­­­             (不增加其它未知数) . 

12. 弦的长等于⊙的半径，那么弦所对的圆周角的度数是____________.

13．已知二次函数和一次函数的两个交点分别为A(-1，0)，

B(3，4)，当时，自变量的取值范围是____________.

14.如图，在喷水池的中心A处竖直安装一根水管AB，水管的顶端

安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距

离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A

处3m，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线的表达式为，则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为                       ，水管AB的长为           m.

15. 下表是二次函数的的部分对应值：

则对于该函数的性质的判断：

①该二次函数有最大值； ②不等式 的解集是或；

③方程的两个实数根分别位于和 之间；

④当 时，函数值 随的增大而增大.

其中正确的序号是                        .

16． 如图1，在△ABC中，AB>AC， D是边BC上的动点. 设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y， 表示 y与x的函数关系的图象如图2所示. 线段AC的长为           ，线段AB的长为         .

三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题6分， 第19-24题，每小题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）

17.用适当的方法解下列方程

（1）                       （2） 

18．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且其顶点在直线

y＝-2x-2上．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象.

19． 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，D 是中点，若∠BAC=70°，求∠C的度数.

下面是小文的解法，请帮他补充完整：

解：连接AD，

在⊙O 中，∵D 是中点,

∴．

∴∠1=∠2（                                  ） （填推理的依据）．

∵∠BAC=70°，

∴∠2=35°．

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ADB=90° （                               ） （填推理的依据）．

∴∠B=90°-∠2=55°．

∵A、B、C、D 四个点都在⊙O 上，

∴∠C+∠B=180°（                              ） （填推理的依据）．

∴∠C=180°-∠B=125°．

20.如图，是等边△外一点，.求证：.

21．已知抛物线y= (m -2)x2 + 2mx + m +3与x轴有两个交点．

   (1) 求m的取值范围；

   (2) 当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴两个交点的坐标.

解：（1）

（2）

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三

个顶点分别为A(-3，4)，B(-5，1)，C(-1，2).

   （1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并

写出点B1的坐标；

   （2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的

△A2B2C2，并写出点B2的坐标.

    解：（1）的坐标为             ;

        （2）的坐标为             .

23.某超市按每件元的价格购进某种商品.在销售的过程中发现，该种商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足关系（≤≤）.如果销售这种商品每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

   解：

24.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”. 据此， 我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．

    图1             图2

如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．

作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是：                   ． 

经测量，AB=90cm，CD=15cm，则AD=          cm；

用含r的代数式表示OD，OD=          cm．

在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：                 ，解得r=75．

通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．

25．如图，四边形内接于⊙，是⊙的直径，交的延长线于点，平分∠．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）若＝4cm，＝6cm，求的长．

证明：（1）

解：（2）

26. 在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．

（1）依题意补全图形；      

（2）求证：；                                

（3）请你写出线段，，之间的数量关系．

证明：（2）

（3）线段，，之间的数量关系                             .

27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线.

(1) 求抛物线的顶点坐标；

(2) 当时，的最大值是5，求的值；

(3) 在(2)的条件下，当时，的最大值是，最小值是，且，求的值.

解：

28．在平面直角坐标系中，对于图形，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与 轴垂直，且图形上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形的一个正覆盖．很显然，如果图形 存在一个正覆盖，则它的正覆盖有无数个，我们将图形的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖．如图所示，图形为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形的正覆盖，其中正方形就是图形的紧覆盖．

（1）对于半径为 2 的⊙O，它的紧覆盖的边长为     ．

（2）如图 1，点 为直线上一动点，若线段的紧覆盖的边长为 2，求点的坐标.

（3）如图 2，直线与轴，轴分别交于 ，

     ①以 O 为圆心，为半径的⊙O 与线段有公共点，且由⊙O 与线段组成的图形的紧覆盖的边长小于 4，直接写出的取值范围；

     ②若在抛物线 上存在点，使得△的紧覆盖的边长为 3，直接写出的取值范围．

图1                      图2

解：（1）对于半径为 2 的⊙O，它的紧覆盖的边长为             ．

（2）

（3）①的取值范围是                           ；

     ②的取值范围是                           .

九年级数学期中测试参考答案  

 2021年11月

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 不唯一；  10. 1；    11．   ；    12． 30°和150°；

13.x＜-1或x＞3；  14. ；；  15．②③ ；    16. ，

三、解答题（共68分）

17.（1）     （2）

18．(1) （1，-4）；         (2)    (3)图略  

19．等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角是直角；圆内接四边形对角互补.   

20．线段AD上截取AF=CD，利用共圆证明。

21．（1）解：在 y= (m -2)x2 + 2mx + m +3 中，令y=0

       由题意得

整理，得 解得

（2）满足条件的m的最大整数为5．

∴y=3x2+10x+8

令y=0，3x2+10x+8=0，解得

∴抛物线与x轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（，0）

22.（1）如图    B1(5，-1)

   （2）如图    B2(1，5) 

23．解：                

∵≤≤，且，

∴当时，.    

24． 垂直于弦的直径平分弦；           45；      ；                 

25．（1）证明：连结OA．

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．

∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．

∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．

∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．

（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．

∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°

∴四边形AOFE是矩形．

∴OF＝AE＝4cm． EF＝OA，

又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝3cm．

在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，

即⊙O的半径为5cm，

∴EF＝OA＝5cm，

∴ED＝EF﹣DF＝5﹣3＝2cm，

在Rt△AED中，AD＝＝2．

 26. （1）补全图形，如图所示．

（2）证明：连接BE，如图2．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC．

，

．

是菱形ABCD的对角线，

∴

．

由菱形的对称性可知，

，

．

．

．

，

．

．

在与中，

∴≌．

．…

（3）．

27.解：（1）对称轴是直线

顶点坐标为

（2）当时，的最大值是

抛物线的顶点为图象的最低点.

当时，

代入解析式，求得

（3）①当时，的最大值为

此时

不符合题意，舍去.

②当即时，

③当时，

同理可得

综上所述，或

28. （1）4      （2）

    （3）            （4）或