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山东省济宁市任城区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制） （word版 含答案）
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这是一份山东省济宁市任城区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制） （word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市任城区九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题卡内）
1．抛物线y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣2）
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线y＝2（x+1）2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，4） D．（3，4）
4．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sinA＝，则斜道AC的长度是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
5．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点（1，4）在这个函数图象上
C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
6．如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．2sin80°米
C．米 D．2.2cos80°米
7．若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝﹣x2+4x+m2+1上，则y1，y2，y3大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
8．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0；
④当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣1＜x＜3
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡上）
11．二次函数y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是 ．
12．如题图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+2的图象交于点A（1，m），则反比例函数y＝的表达式为 ．
13．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
14．开口向上的抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a的值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，已知A、B的横坐标分别为1、4，且对角线BD∥x轴，若菱形ABCD的面积为30，则k的值为 ．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．计算：2cos30°+tan45°﹣4sin260°．
17．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．
（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．
19．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
20．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
21．如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求BE的长．
22．如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高（≈1.4，≈1.7，≈2.45，结果精确到个位）．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题卡内）
1．抛物线y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣2）
【分析】令x＝0，求出y的值即可．
解：令x＝0，则y＝2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（0，2）．
故选：A．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．
解：由勾股定理，得
AB＝＝5，
cosA＝＝，
故选：A．
3．将抛物线y＝2（x+1）2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，4） D．（3，4）
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
解：将抛物线y＝2（x+1）2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位，得y＝2（x+1+2）2+1+3，即y＝2（x+3）2+4，
所以顶点坐标为（﹣3，4），
故选：C．
4．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sinA＝，则斜道AC的长度是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝10米，sinA＝，
则＝，即＝，
解得：AC＝30（米），
故选：B．
5．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点（1，4）在这个函数图象上
C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小进行分析即可．
解：A、反比例函数中的k＝4＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，正确，不符合题意；
B、点（1，4）在它的图象上，正确，不符合题意；
C、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不符合题意；
D、反比例函数y＝中的k＝4＞0，其在每一象限内y随x的增大而减小，不正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．2sin80°米
C．米 D．2.2cos80°米
【分析】由已知条件易求DB的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80°角的正切值＝窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．
解：∵DA＝0.2米，AB＝2米，
∴DB＝DA+AB＝2.2米，
∵光线与地面成80°角，∴∠BCD＝80°．
又∵tan∠BCD＝，
∴DC＝＝．
故选：C．
7．若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝﹣x2+4x+m2+1上，则y1，y2，y3大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】先求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．
解：∵y＝﹣x2+4x+m2+1，
∴开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝2，
∴P（，y3）关于对称轴的对称点（，y3），
∵﹣1＜＜1＜2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
8．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】连接OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OEA与S△OBE，则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
解：连接OA、OB，AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△OEA＝×3＝，S△OBE＝×2＝1，
∴S△OAB＝1+＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
故选：D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0；
④当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④正确．
故选：B．
10．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣1＜x＜3
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡上）
11．二次函数y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是 （2，﹣8） ．
【分析】将解析式化为顶点式，即可得到答案．
解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴二次函数y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是（2，﹣8），
故答案为：（2，﹣8）．
12．如题图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+2的图象交于点A（1，m），则反比例函数y＝的表达式为 y＝ ．
【分析】把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值，可得到反比例函数解析式．
解：∵一次函数y＝x+2图象过A点，
∴m＝1+2＝3，
∴A点坐标为（1，3），
又反比例函数图象过A点，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为y＝，
故答案为y＝．
13．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
解：由图形知：tan∠ACB＝＝，
故答案为：．
14．开口向上的抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a的值是 ．
【分析】求出抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴、y轴交点坐标，根据勾股定理列方程即可求出a的值．
解：∵抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，﹣16a）
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴22+（16a）2+82+（16a）2＝102，
解得：a＝±，
∵开口向上，
∴a＝．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，已知A、B的横坐标分别为1、4，且对角线BD∥x轴，若菱形ABCD的面积为30，则k的值为 ．
【分析】连接AC交BD于E，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE设A（1，k），B（4，），则BE＝3，AE＝k﹣＝k，根据菱形的面积公式得到44××3×k＝30，然后解关于k的方程即可．
解：如图，连接AC交BD于E，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE，
∵BD∥x轴，
设A（1，k），B（4，），
∴BE＝3，AE＝k﹣＝k，
∵菱形ABCD的面积为30，
∴4S△ABE＝30，
即4××3×k＝30，解得k＝．
故答案为．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．计算：2cos30°+tan45°﹣4sin260°．
【分析】首先利用特殊角的三角函数值代入进而求出答案．
解：2cos30°+tan45°﹣4sin260°
＝2×+1﹣4×（）2
＝3+1﹣4×
＝1．
17．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把y＝10代入y＝中，即可求得结论．
解：（1）设双曲线CD解析式为：y＝（k≠0），
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）；
（2）把y＝10代入y＝中，
解得：x＝20，
∴20﹣10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．
（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入x＝2求出y值，用其减去﹣2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将A（3，﹣3）代入y＝ax2，
﹣3＝9a，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2．
（2）当x＝2时，y＝﹣×22＝﹣．
∵﹣﹣（﹣2）＝＞0.5，
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．
19．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出DC＝BC，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
解：设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，
在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，
∴DC＝BC＝x米，
在Rt△ADC中，tan∠ADC＝，即＝1.2，
解得：x＝25，
答：建筑物BC的高度为25米．
20．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入＝每张床的费用×每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可．
解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．
则有y＝（80+10x）（100﹣10x）
＝﹣100x2+200x+8000．
当x＝﹣＝1时，可使y有最大值．
则x＝1时，y＝8100，
答：每张床位每天应提高10元．
21．如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求BE的长．
【分析】（1）由相似可求得点D在坐标，把点D的坐标代入反比例函数解析式即可求得比例系数的值；
（2）把A的横坐标代入反比例函数解析式，能求得AE长，BE＝AB﹣AE．
解：（1）∵△OBA∽△DOC，
∴．
∵B（12，16），∠BAO＝90°，
∴＝＝．
在Rt△COD中，OD＝10，
∴OC＝8，DC＝6．
∴D（8，6）．
∵点D在函数y＝的图象上，
∴6＝．
∴k＝48，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）∵E是y＝（x＞0）图象与AB的交点，
∴AE＝＝4．
∴BE＝16﹣4＝12．
22．如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高（≈1.4，≈1.7，≈2.45，结果精确到个位）．
【分析】作AD⊥BC于D，PE⊥AB于E，则先求得AC的长，再求得AD的长、AB的长，然后在△PBA中，利用∠B和∠PAB的值求得PE的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝35×40＝1400（米），
则AD＝AC•sin45°≈980（米）．
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝1960（米）．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，
则AE＝PE•tan45°＝PE，BE＝PE•tan60°＝PE，
故（+1）PE＝1400，
解得：PE≈735米．
综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD上x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC＝×2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．
过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；
过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1C∥BP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
2021-2022学年山东省济宁市任城区九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题卡内）
1．抛物线y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣2）
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线y＝2（x+1）2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，4） D．（3，4）
4．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sinA＝，则斜道AC的长度是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
5．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点（1，4）在这个函数图象上
C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
6．如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．2sin80°米
C．米 D．2.2cos80°米
7．若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝﹣x2+4x+m2+1上，则y1，y2，y3大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
8．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0；
④当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣1＜x＜3
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡上）
11．二次函数y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是 ．
12．如题图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+2的图象交于点A（1，m），则反比例函数y＝的表达式为 ．
13．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
14．开口向上的抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a的值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，已知A、B的横坐标分别为1、4，且对角线BD∥x轴，若菱形ABCD的面积为30，则k的值为 ．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．计算：2cos30°+tan45°﹣4sin260°．
17．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．
（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．
19．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
20．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
21．如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求BE的长．
22．如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高（≈1.4，≈1.7，≈2.45，结果精确到个位）．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题卡内）
1．抛物线y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，2） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣2）
【分析】令x＝0，求出y的值即可．
解：令x＝0，则y＝2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2与y轴的交点坐标为（0，2）．
故选：A．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．
解：由勾股定理，得
AB＝＝5，
cosA＝＝，
故选：A．
3．将抛物线y＝2（x+1）2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位，所得到的新抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，4） D．（3，4）
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
解：将抛物线y＝2（x+1）2+1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位，得y＝2（x+1+2）2+1+3，即y＝2（x+3）2+4，
所以顶点坐标为（﹣3，4），
故选：C．
4．如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sinA＝，则斜道AC的长度是（ ）
A．25 B．30 C．35 D．40
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝10米，sinA＝，
则＝，即＝，
解得：AC＝30（米），
故选：B．
5．对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点（1，4）在这个函数图象上
C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小进行分析即可．
解：A、反比例函数中的k＝4＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，正确，不符合题意；
B、点（1，4）在它的图象上，正确，不符合题意；
C、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不符合题意；
D、反比例函数y＝中的k＝4＞0，其在每一象限内y随x的增大而减小，不正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB＝2米，要在窗子外面上方0.2米的点D处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（ ）
A．米 B．2sin80°米
C．米 D．2.2cos80°米
【分析】由已知条件易求DB的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80°角的正切值＝窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答．
解：∵DA＝0.2米，AB＝2米，
∴DB＝DA+AB＝2.2米，
∵光线与地面成80°角，∴∠BCD＝80°．
又∵tan∠BCD＝，
∴DC＝＝．
故选：C．
7．若点M（﹣1，y1），N（1，y2），P（，y3）都在抛物线y＝﹣x2+4x+m2+1上，则y1，y2，y3大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】先求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．
解：∵y＝﹣x2+4x+m2+1，
∴开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝2，
∴P（，y3）关于对称轴的对称点（，y3），
∵﹣1＜＜1＜2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
8．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】连接OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△OEA与S△OBE，则四边形ABCD为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
解：连接OA、OB，AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△OEA＝×3＝，S△OBE＝×2＝1，
∴S△OAB＝1+＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
故选：D．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③3a+c＞0；
④当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④正确．
故选：B．
10．如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．﹣1＜x＜3
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡上）
11．二次函数y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是 （2，﹣8） ．
【分析】将解析式化为顶点式，即可得到答案．
解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴二次函数y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标是（2，﹣8），
故答案为：（2，﹣8）．
12．如题图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+2的图象交于点A（1，m），则反比例函数y＝的表达式为 y＝ ．
【分析】把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值，可得到反比例函数解析式．
解：∵一次函数y＝x+2图象过A点，
∴m＝1+2＝3，
∴A点坐标为（1，3），
又反比例函数图象过A点，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为y＝，
故答案为y＝．
13．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为 ．
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
解：由图形知：tan∠ACB＝＝，
故答案为：．
14．开口向上的抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a的值是 ．
【分析】求出抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴、y轴交点坐标，根据勾股定理列方程即可求出a的值．
解：∵抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，﹣16a）
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴22+（16a）2+82+（16a）2＝102，
解得：a＝±，
∵开口向上，
∴a＝．
故答案为：．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，已知A、B的横坐标分别为1、4，且对角线BD∥x轴，若菱形ABCD的面积为30，则k的值为 ．
【分析】连接AC交BD于E，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE设A（1，k），B（4，），则BE＝3，AE＝k﹣＝k，根据菱形的面积公式得到44××3×k＝30，然后解关于k的方程即可．
解：如图，连接AC交BD于E，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE，DE＝BE，
∵BD∥x轴，
设A（1，k），B（4，），
∴BE＝3，AE＝k﹣＝k，
∵菱形ABCD的面积为30，
∴4S△ABE＝30，
即4××3×k＝30，解得k＝．
故答案为．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．计算：2cos30°+tan45°﹣4sin260°．
【分析】首先利用特殊角的三角函数值代入进而求出答案．
解：2cos30°+tan45°﹣4sin260°
＝2×+1﹣4×（）2
＝3+1﹣4×
＝1．
17．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把y＝10代入y＝中，即可求得结论．
解：（1）设双曲线CD解析式为：y＝（k≠0），
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：y＝（10≤x≤24）；
（2）把y＝10代入y＝中，
解得：x＝20，
∴20﹣10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．
（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入x＝2求出y值，用其减去﹣2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将A（3，﹣3）代入y＝ax2，
﹣3＝9a，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2．
（2）当x＝2时，y＝﹣×22＝﹣．
∵﹣﹣（﹣2）＝＞0.5，
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．
19．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°．若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．（参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出DC＝BC，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
解：设BC＝x米，则AC＝（x+5）米，
在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，
∴DC＝BC＝x米，
在Rt△ADC中，tan∠ADC＝，即＝1.2，
解得：x＝25，
答：建筑物BC的高度为25米．
20．某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
【分析】设每张床位提高x个单位，每天收入为y元，根据等量关系“每天收入＝每张床的费用×每天出租的床位”可求出y与x之间的函数关系式，运用公式求最值即可．
解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．
则有y＝（80+10x）（100﹣10x）
＝﹣100x2+200x+8000．
当x＝﹣＝1时，可使y有最大值．
则x＝1时，y＝8100，
答：每张床位每天应提高10元．
21．如图，点O是坐标原点，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上．已知点B的坐标为（12，16），∠BAO＝∠OCD＝90°，OD＝10，反比例函数的图象经过点D，交AB边于点E．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求BE的长．
【分析】（1）由相似可求得点D在坐标，把点D的坐标代入反比例函数解析式即可求得比例系数的值；
（2）把A的横坐标代入反比例函数解析式，能求得AE长，BE＝AB﹣AE．
解：（1）∵△OBA∽△DOC，
∴．
∵B（12，16），∠BAO＝90°，
∴＝＝．
在Rt△COD中，OD＝10，
∴OC＝8，DC＝6．
∴D（8，6）．
∵点D在函数y＝的图象上，
∴6＝．
∴k＝48，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）∵E是y＝（x＞0）图象与AB的交点，
∴AE＝＝4．
∴BE＝16﹣4＝12．
22．如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35m的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40min时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高（≈1.4，≈1.7，≈2.45，结果精确到个位）．
【分析】作AD⊥BC于D，PE⊥AB于E，则先求得AC的长，再求得AD的长、AB的长，然后在△PBA中，利用∠B和∠PAB的值求得PE的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝35×40＝1400（米），
则AD＝AC•sin45°≈980（米）．
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝1960（米）．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，
则AE＝PE•tan45°＝PE，BE＝PE•tan60°＝PE，
故（+1）PE＝1400，
解得：PE≈735米．
综上可得：A庄与B庄的距离是1960米，山高是735米．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD上x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC＝×2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．
过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；
过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1C∥BP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
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