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河南省郑州市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份河南省郑州市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算结果是x6的是（ ）
A．x2•x3 B．x2+x3 C．x12÷x2 D．（x2）3
3．已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（ ）
A．1.239×10﹣3g/cm3 B．1.239×10﹣2g/cm3
C．0.1239×10﹣2g/cm3 D．12.39×10﹣4g/cm3
4．以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表：
成绩（分）
80
85
90
95
人数（人）
1
2
5
2
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．90，89 B．90，90 C．90，90.5 D．90，95
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
6．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是2个白球、1个黑球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是3个白球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
8．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①a﹣b+c＞0，②a＜b，③4ac＞b2，④abc＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
12．如图，直线a∥b，∠P＝75°，∠2＝30°，则∠1＝ ．
13．某苗圃计划培育甲，乙两种树苗共2000棵，据统计这两种树苗的成活率分别为94%和99%，要使这批树苗的成活率不低于96%，求培育甲种树苗至多多少棵？设培育甲种树苗x棵，根据题意列出的不等式是 ．
14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝4，D为斜边BC中点，E为AB上一个动点，将△ABC沿直线DE折叠，A、C的对应点分别为A′、C′，EA′交BC于点F，若△BEF为直角三角形，则BE的长度为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．先化简，再求值：（a+1﹣）÷（），其中a＝2﹣．
17．为进一步丰富学生课余文化生活和营造朝气蓬勃的校园文化氛围，学校组织学生开展了各种文体活动、社团活动，现在开展的社团活动有音乐，体育，美术，摄影四类，每个同学必须且只能从中选择参加一个社团，为了解学生参与社团活动的情况，学生会成员随机调查了一部分学生所参加的社团类别并绘制了以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名同学；
（2）补全统计图，在扇形统计图中，“美术”所在扇形的圆心角的度数为 ；
（3）小明和小亮都想报美术，摄影，体育社团，用画书树状图或列表的方法，求他们恰好参加同一社团的概率．
18．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足50°≤α≤75°．如图，现有一个长6m的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m．
（1）求梯子顶端B距离墙角C的距离；（结果精确到0.1m）
（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子．（≈1.732，≈1.414）
19．如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①当∠DAE＝ 时，四边形ADFP是菱形；
②当∠DAE＝ 时，四边形BFDP是正方形．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）的图象与反比例函数（k是常数，且k≠0）的图象交于一、三象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．
（1）求点B的坐标及反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于E，F两点，连接OE，OF，求△EOF的面积．
21．为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
22．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN
（1）线段MN和GD的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）已知BC＝7，CE＝3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选：B．
2．下列计算结果是x6的是（ ）
A．x2•x3 B．x2+x3 C．x12÷x2 D．（x2）3
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
解：（A）原式＝x5，故A的结果不是x6
（B）x2与x3不是同类型，故B的结果不是x6
（C）原式＝x10，故C的结果不是x6
（D）原式＝x6，故D的结果是x6
故选：D．
3．已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（ ）
A．1.239×10﹣3g/cm3 B．1.239×10﹣2g/cm3
C．0.1239×10﹣2g/cm3 D．12.39×10﹣4g/cm3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.001239＝1.239×10﹣3．
故选：A．
4．以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表：
成绩（分）
80
85
90
95
人数（人）
1
2
5
2
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．90，89 B．90，90 C．90，90.5 D．90，95
【分析】根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可．
解：将这10名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第5个和第6个数的平均数，
因此中位数是 ＝90，
这10名学生成绩出现次数最多的是90，共出现5次，因此众数是90，
故选：B．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：＝π．
故选：B．
6．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是2个白球、1个黑球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是3个白球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
【分析】根据白色的只有两个，不可能摸出三个进行解答．
解：A．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；
B．摸出的是3个黑球是随机事件；
C．摸出的是3个白球是不可能事件；
D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝72°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝108°，即可得出∠FED′的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；
故选：B．
8．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，由正方形和圆的性质求得OE＝OF＝AB，结合正三角形的外接圆的性质得到OE＝OF＝2，由此得到关于AB的方程AB＝2，易得AB＝4．
【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝AB，
∴OE＝OF＝AB．
∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，
∴OE＝OF＝×2×＝2，
∴AB＝2，
∴AB＝4．
即⊙O的内接正方形ABCD的边长为4．
故选：C．
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①a﹣b+c＞0，②a＜b，③4ac＞b2，④abc＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象与坐标轴的交点情况判④，根据图象与x轴的交点个数判断③，根据顶点的坐标判断①，根据对称轴判断②．
解：由于顶点的纵坐标大于0，所以当x＝﹣时，a﹣b+c＞0，故①正确；
由于抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣，所以a＝b，故②错误；
由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故③错误；
由于抛物线开口向下，所以a＜0，由于a＝b＜0，c＝0，所以abc＝0，故④错误．
故选：A．
10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
解：当0＜x≤1时，y＝x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD＝x，则AD＝2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM＝2﹣x，
∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，
∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴y＝，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝4﹣﹣3
＝．
故答案为：．
12．如图，直线a∥b，∠P＝75°，∠2＝30°，则∠1＝ 45° ．
【分析】过P作PM∥直线a，求出直线a∥b∥PM，根据平行线的性质得出∠FPM＝∠1＝45°，即可求出答案．
解：过P作PM∥直线a，
∵直线a∥b，
∴直线a∥b∥PM，
∵∠2＝30°，
∴∠EPM＝∠2＝30°，
又∵∠EPF＝75°，
∴∠FPM＝45°，
∴∠1＝∠FPM＝45°，
故答案为：45°．
13．某苗圃计划培育甲，乙两种树苗共2000棵，据统计这两种树苗的成活率分别为94%和99%，要使这批树苗的成活率不低于96%，求培育甲种树苗至多多少棵？设培育甲种树苗x棵，根据题意列出的不等式是 94%x+99%（2000﹣x）≥96%×2000 ．
【分析】设培育甲种树苗x棵，根据题意得不等关系：甲树的成活数+乙树的成活数≥96%×2000，根据不等关系列出不等式即可．
解：设培育甲种树苗x棵，根据题意得：
94%x+99%（2000﹣x）≥96%×2000，
故答案为：94%x+99%（2000﹣x）≥96%×2000．
14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．
【分析】图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形AEF．由圆周角定理推知∠BAC＝90°．
解：如图，连接AD．
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC．
∵∠EPF＝45°，
∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形AEF＝BC•AD﹣＝×4×2﹣＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．
15．在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝4，D为斜边BC中点，E为AB上一个动点，将△ABC沿直线DE折叠，A、C的对应点分别为A′、C′，EA′交BC于点F，若△BEF为直角三角形，则BE的长度为 或 ．
【分析】根据∠B为锐角，分两种情况进行讨论：当∠BEF＝90°时，△BEF为直角三角形；当∠BFE＝90°时，△BEF为直角三角形，分别根据等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称的性质以及直角三角形的边角关系进行计算，即可得到BE的长度．
解：分两种情况：
①如图，当∠BEF＝90°时，△BEF为直角三角形，
过D作DM⊥AB于M，则∠EMD＝90°，DM∥AC，
∵D为BC的中点，
∴M为AB的中点，
∴BM＝AB＝2，DM＝AC＝，
由折叠可得，∠MED＝∠AEF＝45°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴EM＝DM＝，
∴BE＝2﹣＝；
②如图，当∠BFE＝90°时，△BEF为直角三角形，
连接AD，A'D，
根据对称性可得，∠EAD＝∠EA'D，AD＝A'D
∵Rt△ABC中，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5，
∵Rt△ABC中，D为BC的中点，
∴AD＝BD＝A'D＝BC＝，
∴∠B＝∠EAD，
∴∠B＝∠FA'D，
设BE＝x，则BF＝BE×cosB＝x，
∴DF＝BD﹣BF＝﹣x，
又∵Rt△A'DF中，sin∠FA'D＝sinB，即＝
∴，
解得x＝，
即BE＝，
综上所述，BE的长度为或．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．先化简，再求值：（a+1﹣）÷（），其中a＝2﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）÷[﹣]
＝÷
＝•
＝a（a﹣2）
＝a2﹣2a，
当a＝2﹣时，
原式＝（2﹣）2﹣2（2﹣）
＝4﹣4+3﹣4+2
＝3﹣2．
17．为进一步丰富学生课余文化生活和营造朝气蓬勃的校园文化氛围，学校组织学生开展了各种文体活动、社团活动，现在开展的社团活动有音乐，体育，美术，摄影四类，每个同学必须且只能从中选择参加一个社团，为了解学生参与社团活动的情况，学生会成员随机调查了一部分学生所参加的社团类别并绘制了以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 500 名同学；
（2）补全统计图，在扇形统计图中，“美术”所在扇形的圆心角的度数为 90° ；
（3）小明和小亮都想报美术，摄影，体育社团，用画书树状图或列表的方法，求他们恰好参加同一社团的概率．
【分析】（1）根据音乐的人数和所占的百分比即可得出总人数；
（2）用总数乘以体育所占的百分比求出参加体育的人数，再用总人数减去其他社团的人数，求出参加美术的人数，从而求出参加美术所占的百分比和圆心角的度数，即可补全统计图；
（3）根据题意先画出树状图，得出参加社团的所有等可能的情况数和小明和小亮参加同一社团的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
解：（1）本次一共调查的学生有：150÷30%＝500（人）；
故答案为：500；
（2）体育人数有：500×35%＝175（人），
美术有：500﹣150﹣175﹣50＝125（人），
美术所占的百分比是：×100%＝25%；
“美术”所在扇形的圆心角的度数是：360°×＝90°；
补图如下：
故答案为：90°；
（3）根据题意画图如下：
由此可知，小明和小亮他俩参加的社团共有9种等可能的情况，其中恰好参加同一社团的有3种情况，
则他们恰好参加同一社团的概率是＝．
18．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足50°≤α≤75°．如图，现有一个长6m的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m．
（1）求梯子顶端B距离墙角C的距离；（结果精确到0.1m）
（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子．（≈1.732，≈1.414）
【分析】（1）在Rt△ACB中，已知AB，AC，根据勾股定理即可求出CB；
（2）在Rt△ACB中已知AC，AB可以求出cosα，进一步求出α，然后根据已知条件即可判断能否安全使用这个梯子．
解：（1）在Rt△ACB中，
BC＝≈5.2（m）；
（2）在Rt△ACB中，
cosα＝，
∴α＝60°．
∵50°＜60°＜75°
∴可以安全使用．
19．如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①当∠DAE＝ 67.5° 时，四边形ADFP是菱形；
②当∠DAE＝ 90° 时，四边形BFDP是正方形．
【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；
②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．
【解答】（1）证明：连接OD，如右图所示，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF＝90°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AOD＝2∠AED＝90°，
∴∠ODF＝∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接AF与DP交于点G，如右上图所示，
∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，
∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，
∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，
∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PFG＝22.5°，
∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，
故答案为：67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF＝FD＝DP＝PB，
∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD＝90°，
故答案为：90°．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）的图象与反比例函数（k是常数，且k≠0）的图象交于一、三象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．
（1）求点B的坐标及反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于E，F两点，连接OE，OF，求△EOF的面积．
【分析】（1）解直角三角形求出B的坐标，代入求出反比例函数解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后的解析式为y＝x﹣3，解方程组得到E（﹣5，﹣2）．F（2，5），于是得到结论．
解：（1）过B作BM⊥x轴于M，
∵B（n，﹣2），tan∠BOC＝，
∴BM＝2，tan∠BOC＝＝，
∴OM＝5，
即B的坐标是（﹣5，﹣2），
把B的坐标代入y＝得：k＝10，
即反比例函数的解析式是y＝，
把A（2，m）代入得：m＝5，
即A的坐标是（2，5），
把A、B的坐标代入y＝ax+b得：，
解得：k＝1，b＝3，
即一次函数的解析式是y＝x+3；
（2）∵将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后的解析式为y＝x﹣3，
解：，
∴，或
∴E（5，2），F（﹣2，﹣5），
∴△EOF的面积＝×3×2+3×5＝．
21．为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
【分析】（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元”列方程组求解可得；
（2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据“两种单车至少需要22辆、购置两种单车的费用不超过50000元”列不等式组求解，得出m的范围，即可确定购置方案；再列出购置总费用关于m的函数解析式，利用一次函数性质结合m的范围可得其最值情况．
解：（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：男式单车2000元/辆，女式单车1500元/辆；
（2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，
根据题意，得：，
解得：9≤m≤12，
∵m为整数，
∴m的值可以是9、10、11、12，即该社区有四种购置方案；
设购置总费用为W，
则W＝2000（m+4）+1500m＝3500m+8000，
∵W随m的增大而增大，
∴当m＝9时，W取得最小值，最小值为39500，
答：该社区共有4种购置方案，其中购置男式单车13辆、女式单车9辆时所需总费用最低，最低费用为39500元．
22．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN
（1）线段MN和GD的数量关系是 MN＝DG ，位置关系是 MN⊥DG ；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）已知BC＝7，CE＝3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．
【分析】（1）连接FN并延长，与AD交于点S，如图①，易证△SDN≌△FGN，则有DS＝GF，SN＝FN，然后运用三角形中位线定理就可解决问题；
（2）过点M作MT⊥DC于T，过点M作MR⊥BC于R，连接FC、MD、MG，如图②，根据平行线分线段成比例可得BR＝GR＝BG，DT＝ET＝DE，根据梯形中位线定理可得MR＝（FG+AB），MT＝（EF+AD），从而可得MR＝MT，RG＝TD，由此可得△MRG≌△MTD，则有MG＝MD，∠RMG＝∠TMD，则有∠RMT＝∠GMD，进而可证到△DMG是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可解决问题；
（3）连接GM到点P，使得PM＝GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，易证△APD≌△CGD，则有PD＝DG，根据等腰三角形的性质可得DM⊥PG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MN＝DG．要求MN的最大值和最小值，只需求DG的最大值和最小值，由GC＝CE＝3可知点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，再由DC＝BC＝7，就可求出DG的最大值和最小值．
解：（1）连接FN并延长，与AD交于点S，如图①．
∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC，GC＝GF，AD∥BE∥GF，
∴∠DSN＝∠GFN．
在△SDN和△FGN中，
，
∴△SDN≌△FGN，
∴DS＝GF，SN＝FN．
∵AM＝FM，
∴MN∥AS，MN＝AS，
∴∠MNG＝∠D＝90°，
MN＝（AD﹣DS）＝（DC﹣GF）＝（DC﹣GC）＝DG．
故答案为MN＝DG，MN⊥DG；
（2）（1）的结论仍然成立．
理由：过点M作MT⊥DC于T，过点M作MR⊥BC于R，连接FC、MD、MG，如图②，
则A、F、C共线，MR∥FG∥AB，MT∥EF∥AD．
∵AM＝FM，
∴BR＝GR＝BG，DT＝ET＝DE，
∴MR＝（FG+AB），MT＝（EF+AD）．
∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，
∴FG＝GC＝EC＝EF，AB＝BC＝DC＝AD，
∴MR＝MT，RG＝TD．
在△MRG和△MTD中，
，
∴△MRG≌△MTD，
∴MG＝MD，∠RMG＝∠TMD，
∴∠RMT＝∠GMD．
∵∠MRC＝∠RCT＝∠MTC＝90°，
∴四边形MRCT是矩形，
∴∠RMT＝90°，
∴∠GMD＝90°．
∵MG＝MD，∠GMD＝90°，DN＝GN，
∴MN⊥DG，MN＝DG．
（3）延长GM到点P，使得PM＝GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，
在△AMP和△FMG中，
，
∴△AMP≌△FMG，
∴AP＝FG，∠APM＝∠FGM，
∴AP∥GF，
∴∠PAQ＝∠Q，
∵∠DOG＝∠ODQ+∠Q＝∠OGC+∠GCO，
∠ODQ＝∠OGC＝90°，
∴∠Q＝∠GCO，
∴∠PAQ＝∠GCO．
∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，
∴DA＝DC，GF＝GC，
∴AP＝CG．
在△APD和△CGD中，
，
∴△APD≌△CGD，
∴PD＝DG．
∵PM＝GM，
∴DM⊥PG．
∵DN＝GN，
∴MN＝DG．
∵GC＝CE＝3，
∴点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，
∵DC＝BC＝7，
∴DG的最大值为7+3＝10，最小值为7﹣3＝4，
∴MN的最大值为5，最小值为2．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数的解析式得到B（9，0），C（0，3），解方程组即可得到结论；
（2）①过p作PG⊥x轴于G，解直角三角形得到∠CAO＝60°，得到PG＝t，AG＝t，于是得到P（t﹣3，t），把OQ＝9﹣2t代入二次函数的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣t2+t），②过P作PH⊥QD于H，得到四边形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；
（3）根据中点坐标公式得到F（﹣t+3，﹣t2+t），由点F在直线BC上，列方程即可得到结论．
解：（1）由y＝0得﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝9，
∴B（9，0），
由x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）①过P作PG⊥x轴于G，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝3．OC＝3，
∴tan∠CAO＝，
∴∠CAO＝60°，
∵AP＝t，
∴PG＝t，AG＝t，
∴OG＝3﹣t，
∴P（t﹣3，t），
∵DQ⊥x轴，BQ＝2t，
∴OQ＝9﹣2t，
∴D（9﹣2t，﹣t2+t），
②过P作PH⊥QD于H，
则四边形PGQH是矩形，
∴HQ＝PG，∵PQ＝PD，PH⊥QD，∴DQ＝2HQ＝2PG，∵P（t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣t2+t），
∴﹣t2+t＝2×t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝，∴当PQ＝PD时，t的值是；
（3）∵点F为PD的中点，
∴F的横坐标为：（t﹣3+9﹣2t）＝﹣t+3，F的纵坐标为（t﹣t2+t）＝﹣t2+t，
∴F（﹣t+3，﹣t2+t），
∵点F在直线BC上，
∴﹣t2+t＝﹣（﹣t+3）+3，
解得，t1＝t2＝3，
∴F（，）．
2021-2022学年九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算结果是x6的是（ ）
A．x2•x3 B．x2+x3 C．x12÷x2 D．（x2）3
3．已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（ ）
A．1.239×10﹣3g/cm3 B．1.239×10﹣2g/cm3
C．0.1239×10﹣2g/cm3 D．12.39×10﹣4g/cm3
4．以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表：
成绩（分）
80
85
90
95
人数（人）
1
2
5
2
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．90，89 B．90，90 C．90，90.5 D．90，95
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
6．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是2个白球、1个黑球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是3个白球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
8．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①a﹣b+c＞0，②a＜b，③4ac＞b2，④abc＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
12．如图，直线a∥b，∠P＝75°，∠2＝30°，则∠1＝ ．
13．某苗圃计划培育甲，乙两种树苗共2000棵，据统计这两种树苗的成活率分别为94%和99%，要使这批树苗的成活率不低于96%，求培育甲种树苗至多多少棵？设培育甲种树苗x棵，根据题意列出的不等式是 ．
14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
15．在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝4，D为斜边BC中点，E为AB上一个动点，将△ABC沿直线DE折叠，A、C的对应点分别为A′、C′，EA′交BC于点F，若△BEF为直角三角形，则BE的长度为 ．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．先化简，再求值：（a+1﹣）÷（），其中a＝2﹣．
17．为进一步丰富学生课余文化生活和营造朝气蓬勃的校园文化氛围，学校组织学生开展了各种文体活动、社团活动，现在开展的社团活动有音乐，体育，美术，摄影四类，每个同学必须且只能从中选择参加一个社团，为了解学生参与社团活动的情况，学生会成员随机调查了一部分学生所参加的社团类别并绘制了以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名同学；
（2）补全统计图，在扇形统计图中，“美术”所在扇形的圆心角的度数为 ；
（3）小明和小亮都想报美术，摄影，体育社团，用画书树状图或列表的方法，求他们恰好参加同一社团的概率．
18．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足50°≤α≤75°．如图，现有一个长6m的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m．
（1）求梯子顶端B距离墙角C的距离；（结果精确到0.1m）
（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子．（≈1.732，≈1.414）
19．如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①当∠DAE＝ 时，四边形ADFP是菱形；
②当∠DAE＝ 时，四边形BFDP是正方形．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）的图象与反比例函数（k是常数，且k≠0）的图象交于一、三象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．
（1）求点B的坐标及反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于E，F两点，连接OE，OF，求△EOF的面积．
21．为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
22．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN
（1）线段MN和GD的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）已知BC＝7，CE＝3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选：B．
2．下列计算结果是x6的是（ ）
A．x2•x3 B．x2+x3 C．x12÷x2 D．（x2）3
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
解：（A）原式＝x5，故A的结果不是x6
（B）x2与x3不是同类型，故B的结果不是x6
（C）原式＝x10，故C的结果不是x6
（D）原式＝x6，故D的结果是x6
故选：D．
3．已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（ ）
A．1.239×10﹣3g/cm3 B．1.239×10﹣2g/cm3
C．0.1239×10﹣2g/cm3 D．12.39×10﹣4g/cm3
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.001239＝1.239×10﹣3．
故选：A．
4．以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表：
成绩（分）
80
85
90
95
人数（人）
1
2
5
2
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．90，89 B．90，90 C．90，90.5 D．90，95
【分析】根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可．
解：将这10名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第5个和第6个数的平均数，
因此中位数是 ＝90，
这10名学生成绩出现次数最多的是90，共出现5次，因此众数是90，
故选：B．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：＝π．
故选：B．
6．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．摸出的是2个白球、1个黑球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是3个白球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
【分析】根据白色的只有两个，不可能摸出三个进行解答．
解：A．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；
B．摸出的是3个黑球是随机事件；
C．摸出的是3个白球是不可能事件；
D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的度数为（ ）
A．40° B．36° C．50° D．45°
【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性质求出∠AEF＝72°，与三角形内角和定理求出∠AED′＝108°，即可得出∠FED′的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；
故选：B．
8．如图，正三角形EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，由正方形和圆的性质求得OE＝OF＝AB，结合正三角形的外接圆的性质得到OE＝OF＝2，由此得到关于AB的方程AB＝2，易得AB＝4．
【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝AB，
∴OE＝OF＝AB．
∵△EFG是等边三角形，点O是正三角形EFG的外接圆圆心，
∴OE＝OF＝×2×＝2，
∴AB＝2，
∴AB＝4．
即⊙O的内接正方形ABCD的边长为4．
故选：C．
9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①a﹣b+c＞0，②a＜b，③4ac＞b2，④abc＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象与坐标轴的交点情况判④，根据图象与x轴的交点个数判断③，根据顶点的坐标判断①，根据对称轴判断②．
解：由于顶点的纵坐标大于0，所以当x＝﹣时，a﹣b+c＞0，故①正确；
由于抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣，所以a＝b，故②错误；
由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故③错误；
由于抛物线开口向下，所以a＜0，由于a＝b＜0，c＝0，所以abc＝0，故④错误．
故选：A．
10．如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y＝x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y＝x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y＝﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
解：当0＜x≤1时，y＝x2，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD＝x，则AD＝2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC＝BC＝2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM＝2﹣x，
∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2，
∴S△ENM＝（2x﹣2）2＝2（x﹣1）2，
∴y＝x2﹣2（x﹣1）2＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴y＝，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．计算：＝ ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
解：原式＝4﹣﹣3
＝．
故答案为：．
12．如图，直线a∥b，∠P＝75°，∠2＝30°，则∠1＝ 45° ．
【分析】过P作PM∥直线a，求出直线a∥b∥PM，根据平行线的性质得出∠FPM＝∠1＝45°，即可求出答案．
解：过P作PM∥直线a，
∵直线a∥b，
∴直线a∥b∥PM，
∵∠2＝30°，
∴∠EPM＝∠2＝30°，
又∵∠EPF＝75°，
∴∠FPM＝45°，
∴∠1＝∠FPM＝45°，
故答案为：45°．
13．某苗圃计划培育甲，乙两种树苗共2000棵，据统计这两种树苗的成活率分别为94%和99%，要使这批树苗的成活率不低于96%，求培育甲种树苗至多多少棵？设培育甲种树苗x棵，根据题意列出的不等式是 94%x+99%（2000﹣x）≥96%×2000 ．
【分析】设培育甲种树苗x棵，根据题意得不等关系：甲树的成活数+乙树的成活数≥96%×2000，根据不等关系列出不等式即可．
解：设培育甲种树苗x棵，根据题意得：
94%x+99%（2000﹣x）≥96%×2000，
故答案为：94%x+99%（2000﹣x）≥96%×2000．
14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝45°，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．
【分析】图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形AEF．由圆周角定理推知∠BAC＝90°．
解：如图，连接AD．
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC．
∵∠EPF＝45°，
∴∠BAC＝2∠EPF＝90°．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形AEF＝BC•AD﹣＝×4×2﹣＝4﹣π．
故答案是：4﹣π．
15．在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝4，D为斜边BC中点，E为AB上一个动点，将△ABC沿直线DE折叠，A、C的对应点分别为A′、C′，EA′交BC于点F，若△BEF为直角三角形，则BE的长度为 或 ．
【分析】根据∠B为锐角，分两种情况进行讨论：当∠BEF＝90°时，△BEF为直角三角形；当∠BFE＝90°时，△BEF为直角三角形，分别根据等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称的性质以及直角三角形的边角关系进行计算，即可得到BE的长度．
解：分两种情况：
①如图，当∠BEF＝90°时，△BEF为直角三角形，
过D作DM⊥AB于M，则∠EMD＝90°，DM∥AC，
∵D为BC的中点，
∴M为AB的中点，
∴BM＝AB＝2，DM＝AC＝，
由折叠可得，∠MED＝∠AEF＝45°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴EM＝DM＝，
∴BE＝2﹣＝；
②如图，当∠BFE＝90°时，△BEF为直角三角形，
连接AD，A'D，
根据对称性可得，∠EAD＝∠EA'D，AD＝A'D
∵Rt△ABC中，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5，
∵Rt△ABC中，D为BC的中点，
∴AD＝BD＝A'D＝BC＝，
∴∠B＝∠EAD，
∴∠B＝∠FA'D，
设BE＝x，则BF＝BE×cosB＝x，
∴DF＝BD﹣BF＝﹣x，
又∵Rt△A'DF中，sin∠FA'D＝sinB，即＝
∴，
解得x＝，
即BE＝，
综上所述，BE的长度为或．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．先化简，再求值：（a+1﹣）÷（），其中a＝2﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）÷[﹣]
＝÷
＝•
＝a（a﹣2）
＝a2﹣2a，
当a＝2﹣时，
原式＝（2﹣）2﹣2（2﹣）
＝4﹣4+3﹣4+2
＝3﹣2．
17．为进一步丰富学生课余文化生活和营造朝气蓬勃的校园文化氛围，学校组织学生开展了各种文体活动、社团活动，现在开展的社团活动有音乐，体育，美术，摄影四类，每个同学必须且只能从中选择参加一个社团，为了解学生参与社团活动的情况，学生会成员随机调查了一部分学生所参加的社团类别并绘制了以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 500 名同学；
（2）补全统计图，在扇形统计图中，“美术”所在扇形的圆心角的度数为 90° ；
（3）小明和小亮都想报美术，摄影，体育社团，用画书树状图或列表的方法，求他们恰好参加同一社团的概率．
【分析】（1）根据音乐的人数和所占的百分比即可得出总人数；
（2）用总数乘以体育所占的百分比求出参加体育的人数，再用总人数减去其他社团的人数，求出参加美术的人数，从而求出参加美术所占的百分比和圆心角的度数，即可补全统计图；
（3）根据题意先画出树状图，得出参加社团的所有等可能的情况数和小明和小亮参加同一社团的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
解：（1）本次一共调查的学生有：150÷30%＝500（人）；
故答案为：500；
（2）体育人数有：500×35%＝175（人），
美术有：500﹣150﹣175﹣50＝125（人），
美术所占的百分比是：×100%＝25%；
“美术”所在扇形的圆心角的度数是：360°×＝90°；
补图如下：
故答案为：90°；
（3）根据题意画图如下：
由此可知，小明和小亮他俩参加的社团共有9种等可能的情况，其中恰好参加同一社团的有3种情况，
则他们恰好参加同一社团的概率是＝．
18．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般满足50°≤α≤75°．如图，现有一个长6m的梯子，梯子底端与墙角的距离为3m．
（1）求梯子顶端B距离墙角C的距离；（结果精确到0.1m）
（2）计算此时梯子与地面所成角α，并判断人能否安全使用这个梯子．（≈1.732，≈1.414）
【分析】（1）在Rt△ACB中，已知AB，AC，根据勾股定理即可求出CB；
（2）在Rt△ACB中已知AC，AB可以求出cosα，进一步求出α，然后根据已知条件即可判断能否安全使用这个梯子．
解：（1）在Rt△ACB中，
BC＝≈5.2（m）；
（2）在Rt△ACB中，
cosα＝，
∴α＝60°．
∵50°＜60°＜75°
∴可以安全使用．
19．如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①当∠DAE＝ 67.5° 时，四边形ADFP是菱形；
②当∠DAE＝ 90° 时，四边形BFDP是正方形．
【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；
②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．
【解答】（1）证明：连接OD，如右图所示，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
即∠ODF＝90°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AOD＝2∠AED＝90°，
∴∠ODF＝∠AOD，
∴CD∥AB；
（2）①连接AF与DP交于点G，如右上图所示，
∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，
∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，
∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，
∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PFG＝22.5°，
∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，
故答案为：67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF＝FD＝DP＝PB，
∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD＝90°，
故答案为：90°．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）的图象与反比例函数（k是常数，且k≠0）的图象交于一、三象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．
（1）求点B的坐标及反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于E，F两点，连接OE，OF，求△EOF的面积．
【分析】（1）解直角三角形求出B的坐标，代入求出反比例函数解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后的解析式为y＝x﹣3，解方程组得到E（﹣5，﹣2）．F（2，5），于是得到结论．
解：（1）过B作BM⊥x轴于M，
∵B（n，﹣2），tan∠BOC＝，
∴BM＝2，tan∠BOC＝＝，
∴OM＝5，
即B的坐标是（﹣5，﹣2），
把B的坐标代入y＝得：k＝10，
即反比例函数的解析式是y＝，
把A（2，m）代入得：m＝5，
即A的坐标是（2，5），
把A、B的坐标代入y＝ax+b得：，
解得：k＝1，b＝3，
即一次函数的解析式是y＝x+3；
（2）∵将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后的解析式为y＝x﹣3，
解：，
∴，或
∴E（5，2），F（﹣2，﹣5），
∴△EOF的面积＝×3×2+3×5＝．
21．为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．
（1）求男式单车和女式单车的单价；
（2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
【分析】（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元”列方程组求解可得；
（2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据“两种单车至少需要22辆、购置两种单车的费用不超过50000元”列不等式组求解，得出m的范围，即可确定购置方案；再列出购置总费用关于m的函数解析式，利用一次函数性质结合m的范围可得其最值情况．
解：（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：男式单车2000元/辆，女式单车1500元/辆；
（2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，
根据题意，得：，
解得：9≤m≤12，
∵m为整数，
∴m的值可以是9、10、11、12，即该社区有四种购置方案；
设购置总费用为W，
则W＝2000（m+4）+1500m＝3500m+8000，
∵W随m的增大而增大，
∴当m＝9时，W取得最小值，最小值为39500，
答：该社区共有4种购置方案，其中购置男式单车13辆、女式单车9辆时所需总费用最低，最低费用为39500元．
22．如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN
（1）线段MN和GD的数量关系是 MN＝DG ，位置关系是 MN⊥DG ；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）已知BC＝7，CE＝3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．
【分析】（1）连接FN并延长，与AD交于点S，如图①，易证△SDN≌△FGN，则有DS＝GF，SN＝FN，然后运用三角形中位线定理就可解决问题；
（2）过点M作MT⊥DC于T，过点M作MR⊥BC于R，连接FC、MD、MG，如图②，根据平行线分线段成比例可得BR＝GR＝BG，DT＝ET＝DE，根据梯形中位线定理可得MR＝（FG+AB），MT＝（EF+AD），从而可得MR＝MT，RG＝TD，由此可得△MRG≌△MTD，则有MG＝MD，∠RMG＝∠TMD，则有∠RMT＝∠GMD，进而可证到△DMG是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可解决问题；
（3）连接GM到点P，使得PM＝GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，易证△APD≌△CGD，则有PD＝DG，根据等腰三角形的性质可得DM⊥PG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MN＝DG．要求MN的最大值和最小值，只需求DG的最大值和最小值，由GC＝CE＝3可知点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，再由DC＝BC＝7，就可求出DG的最大值和最小值．
解：（1）连接FN并延长，与AD交于点S，如图①．
∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝DC，GC＝GF，AD∥BE∥GF，
∴∠DSN＝∠GFN．
在△SDN和△FGN中，
，
∴△SDN≌△FGN，
∴DS＝GF，SN＝FN．
∵AM＝FM，
∴MN∥AS，MN＝AS，
∴∠MNG＝∠D＝90°，
MN＝（AD﹣DS）＝（DC﹣GF）＝（DC﹣GC）＝DG．
故答案为MN＝DG，MN⊥DG；
（2）（1）的结论仍然成立．
理由：过点M作MT⊥DC于T，过点M作MR⊥BC于R，连接FC、MD、MG，如图②，
则A、F、C共线，MR∥FG∥AB，MT∥EF∥AD．
∵AM＝FM，
∴BR＝GR＝BG，DT＝ET＝DE，
∴MR＝（FG+AB），MT＝（EF+AD）．
∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，
∴FG＝GC＝EC＝EF，AB＝BC＝DC＝AD，
∴MR＝MT，RG＝TD．
在△MRG和△MTD中，
，
∴△MRG≌△MTD，
∴MG＝MD，∠RMG＝∠TMD，
∴∠RMT＝∠GMD．
∵∠MRC＝∠RCT＝∠MTC＝90°，
∴四边形MRCT是矩形，
∴∠RMT＝90°，
∴∠GMD＝90°．
∵MG＝MD，∠GMD＝90°，DN＝GN，
∴MN⊥DG，MN＝DG．
（3）延长GM到点P，使得PM＝GM，延长GF、AD交于点Q，连接AP，DP，DM如图③，
在△AMP和△FMG中，
，
∴△AMP≌△FMG，
∴AP＝FG，∠APM＝∠FGM，
∴AP∥GF，
∴∠PAQ＝∠Q，
∵∠DOG＝∠ODQ+∠Q＝∠OGC+∠GCO，
∠ODQ＝∠OGC＝90°，
∴∠Q＝∠GCO，
∴∠PAQ＝∠GCO．
∵四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，
∴DA＝DC，GF＝GC，
∴AP＝CG．
在△APD和△CGD中，
，
∴△APD≌△CGD，
∴PD＝DG．
∵PM＝GM，
∴DM⊥PG．
∵DN＝GN，
∴MN＝DG．
∵GC＝CE＝3，
∴点G在以点C为圆心，3为半径的圆上，
∵DC＝BC＝7，
∴DG的最大值为7+3＝10，最小值为7﹣3＝4，
∴MN的最大值为5，最小值为2．
23．如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数的解析式得到B（9，0），C（0，3），解方程组即可得到结论；
（2）①过p作PG⊥x轴于G，解直角三角形得到∠CAO＝60°，得到PG＝t，AG＝t，于是得到P（t﹣3，t），把OQ＝9﹣2t代入二次函数的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣t2+t），②过P作PH⊥QD于H，得到四边形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；
（3）根据中点坐标公式得到F（﹣t+3，﹣t2+t），由点F在直线BC上，列方程即可得到结论．
解：（1）由y＝0得﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝9，
∴B（9，0），
由x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）①过P作PG⊥x轴于G，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝3．OC＝3，
∴tan∠CAO＝，
∴∠CAO＝60°，
∵AP＝t，
∴PG＝t，AG＝t，
∴OG＝3﹣t，
∴P（t﹣3，t），
∵DQ⊥x轴，BQ＝2t，
∴OQ＝9﹣2t，
∴D（9﹣2t，﹣t2+t），
②过P作PH⊥QD于H，
则四边形PGQH是矩形，
∴HQ＝PG，∵PQ＝PD，PH⊥QD，∴DQ＝2HQ＝2PG，∵P（t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣t2+t），
∴﹣t2+t＝2×t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝，∴当PQ＝PD时，t的值是；
（3）∵点F为PD的中点，
∴F的横坐标为：（t﹣3+9﹣2t）＝﹣t+3，F的纵坐标为（t﹣t2+t）＝﹣t2+t，
∴F（﹣t+3，﹣t2+t），
∵点F在直线BC上，
∴﹣t2+t＝﹣（﹣t+3）+3，
解得，t1＝t2＝3，
∴F（，）．
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