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浙江省金华市义乌市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份浙江省金华市义乌市2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省金华市义乌市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
3．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
5．能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
6．若a＞b，则下列式子一定成立的是（ ）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C．a﹣1＞b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
8．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）
A． B． C． D．7
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．用不等式表示：x与3的和大于6，则这个不等式是 ．
12．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为 ．
14．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边为的三边为3、m、n，△DEF的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q的最大值为 ．
15．如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面积是9cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为 ．
16．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．解下列不等式：
（1）3（1﹣x）≥2（x+9）；
（2）．
18．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
19．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
20．如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．
（1）求边BC的长；
（2）求出∠BAC的度数．
21．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
22．在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同．
（1）求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；
（2）现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？
23．如图，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．
（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明由．
24．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是 ；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
3．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
4．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°．
故选：A．
5．能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
解：说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是a＝﹣2，
故选：A．
6．若a＞b，则下列式子一定成立的是（ ）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C．a﹣1＞b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
【分析】根据不等式的性质来解即可．
解：由不等式的性质可作出判断：
A：两边同时乘以的不是同一个数，无法作出判断，故A错误；
B：当m＝0时，两边都得0，故B错误；
C：在a＞b两边同时乘以，不等号方向不变，再同时减1不等号仍然不变，故C 一定成立，故C正确；
D：不等式两边都加﹣2，不等号方向不变，故D错误．
故选：C．
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
8．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）
A． B． C． D．7
【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．
解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°
又∠DAB+∠ABD＝90°
∴∠BAD＝∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE＝AD＝3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC＝＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝×＝2；
故选：A．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝SRt△ABC；S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC；S4＝SRt△ABC，进而即可求解．
解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故选：B．
10．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断．
解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．用不等式表示：x与3的和大于6，则这个不等式是 x+3＞6 ．
【分析】x与3的和表示为x+3，大于6即“＞6”，据此可得．
解：根据题意知这个不等式为x+3＞6，
故答案为：x+3＞6．
12．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 ，该逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为 3cm ．
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理得出CD＝DE即可解决问题；
解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm．
故答案为3cm．
14．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边为的三边为3、m、n，△DEF的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q的最大值为 22 ．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得m、n中有一边为5，p、q有一边为3，剩下的两边相等，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长的边，然后相加即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴m、n中有一边为5，
p、q中有一边为3，
m、n与p、q中剩余两边相等，
∵3+5＝8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q的最大值为：3+5+7+7＝22．
故答案为：22．
15．如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面积是9cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为 6cm ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝9cm2，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM的最小值＝6（cm）．
故答案为：6cm．
16．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ 1或 ．
【分析】分两种情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．
解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．
∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝，
∴PB＝．
如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），
∴PB＝1，
综上所述，PB的值为：1或．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．解下列不等式：
（1）3（1﹣x）≥2（x+9）；
（2）．
【分析】（1）不等式去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集．
解：（1）去括号得：3﹣3x≥2x+18，
移项得：﹣3x﹣2x≥18﹣3，
合并得：﹣5x≥15，
解得：x≤﹣3；
（2）去分母得：10﹣2（2﹣3x）＞5（1+x），
去括号得：10﹣4+6x＞5+5x，
移项得：6x﹣5x＞5﹣10+4，
解得：x＞﹣1．
18．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A＝∠D的结论．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
19．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形即可；
（2）以AC为公共边得出△ACD．
解：（1）如图甲所示：△ABC即为所求，
（2）如图乙所示：△ACD即为所求，
20．如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．
（1）求边BC的长；
（2）求出∠BAC的度数．
【分析】（1）根据勾股定理求出EF，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，结合图形计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
解：（1）由勾股定理得，EF＝＝＝5，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；
（2）∵EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
由三角形内角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°．
21．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE与直线l的交点即是水厂的位置M．
（2）首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价＝单价×数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．
解：（1）根据分析，水厂的位置M为：
（2）如图2，，
在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），
∴BE＝（千米），
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
50×3＝150（万元）．
答：最低费用为150万元．
22．在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同．
（1）求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；
（2）现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？
【分析】（1）设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，根据甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出甲服装厂每天制做防护服的数量，再将其代入（100﹣x）中即可求出乙服装厂每天制做防护服的数量；
（2）设甲服装厂每天多做m套，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合两服装厂10天至少生产1200套这种防护服，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出甲服装厂每天至少多做12套．
解：（1）设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，
依题意得：3x＝2（100﹣x），
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60．
答：甲服装厂每天制做40套这种防护服，乙服装厂每天制做60套这种防护服．
（2）设甲服装厂每天多做m套，
依题意得：10[（40+m）+（60+8）]≥1200，
解得：m≥12．
答：甲服装厂每天至少多做12套．
23．如图，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．
（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明由．
【分析】（1）根据等腰三角形的概念列式计算即可；
（2）分AC＝AD、AC＝CD、AD＝CD三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可；
（3）分△DMQ≌△ABC和△DMQ≌△CBA两种情况，根据全等三角形的性质列式计算，得到答案．
解：（1）当t＝2时，DB＝6，
∵BM＝10，
∴DM＝4，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，
∴DM＝MQ，即4＝2a，
解得，a＝2；
（2）①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD＝BC＝6，
∴t＝2；
②由勾股定理得，AC＝＝10，
当AC＝CD＝10时，△DCA为等腰三角形，
∵BC＝6，
∴BD＝4，
∴t＝；
③当AD＝CD＝6+3t时，△DCA为等腰三角形，
∵∠ABD＝90°，
∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，
解得，t＝，
综上所述：t＝2或或时，△DCA为等腰三角形；
（3）当△DMQ与△ABC全等，
①△DMQ≌△ABC，
∴MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，
∵BM＝10，
∴BD＝2或BD＝18，
∴t＝或t＝6，
∴a＝9或a＝1；
②△DMQ≌△CBA，
∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，
∴BD＝4或16，
∴t＝或，
∴a＝6或，
综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝9或1或6或．
24．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是 4 ；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；
（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP的长．
解：（1）连接BP，
设点P到直线AB的距离为h，
Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
∴AB＝＝4，
∵AP＝AB，
∴AP＝AB＝4，
∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB，
∴h＝OB＝4，
即点P到直线AB的距离是4，
故答案为：4；
（2）存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；
（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；
②当BP＝PQ时，如图3，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时OP＝4；
综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4．
2021-2022学年浙江省金华市义乌市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
3．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
4．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
5．能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
6．若a＞b，则下列式子一定成立的是（ ）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C．a﹣1＞b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
8．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）
A． B． C． D．7
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．用不等式表示：x与3的和大于6，则这个不等式是 ．
12．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为 ．
14．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边为的三边为3、m、n，△DEF的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q的最大值为 ．
15．如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面积是9cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为 ．
16．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．解下列不等式：
（1）3（1﹣x）≥2（x+9）；
（2）．
18．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
19．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
20．如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．
（1）求边BC的长；
（2）求出∠BAC的度数．
21．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
22．在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同．
（1）求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；
（2）现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？
23．如图，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．
（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明由．
24．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是 ；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
2．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
3．下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答．
解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
4．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（ ）
A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
【分析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°．
故选：A．
5．能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝ C．a＝1 D．a＝
【分析】反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．
解：说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a”是假命题的一个反例可以是a＝﹣2，
故选：A．
6．若a＞b，则下列式子一定成立的是（ ）
A．3a＞﹣3b B．am2＞bm2
C．a﹣1＞b﹣1 D．a﹣2＜﹣2+b
【分析】根据不等式的性质来解即可．
解：由不等式的性质可作出判断：
A：两边同时乘以的不是同一个数，无法作出判断，故A错误；
B：当m＝0时，两边都得0，故B错误；
C：在a＞b两边同时乘以，不等号方向不变，再同时减1不等号仍然不变，故C 一定成立，故C正确；
D：不等式两边都加﹣2，不等号方向不变，故D错误．
故选：C．
7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
8．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（ ）
A． B． C． D．7
【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．
解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°
又∠DAB+∠ABD＝90°
∴∠BAD＝∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE＝AD＝3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC＝＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝×＝2；
故选：A．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S2＝SRt△ABC；S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC；S4＝SRt△ABC，进而即可求解．
解：过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故选：B．
10．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断．
解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．用不等式表示：x与3的和大于6，则这个不等式是 x+3＞6 ．
【分析】x与3的和表示为x+3，大于6即“＞6”，据此可得．
解：根据题意知这个不等式为x+3＞6，
故答案为：x+3＞6．
12．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 ，该逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．
解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为 3cm ．
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质定理得出CD＝DE即可解决问题；
解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm．
故答案为3cm．
14．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三边为的三边为3、m、n，△DEF的三边为5、p、q，若△ABC的各边都是整数，则m+n+p+q的最大值为 22 ．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得m、n中有一边为5，p、q有一边为3，剩下的两边相等，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长的边，然后相加即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴m、n中有一边为5，
p、q中有一边为3，
m、n与p、q中剩余两边相等，
∵3+5＝8，
∴两三角形剩余两边最大为7，
∴m+n+p+q的最大值为：3+5+7+7＝22．
故答案为：22．
15．如图，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面积是9cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为 6cm ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝9cm2，
解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴BM+DM的最小值＝6（cm）．
故答案为：6cm．
16．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝ 1或 ．
【分析】分两种情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理构建方程求解即可．
解：如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．
∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝，
∴PB＝．
如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），
∴PB＝1，
综上所述，PB的值为：1或．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．解下列不等式：
（1）3（1﹣x）≥2（x+9）；
（2）．
【分析】（1）不等式去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集；
（2）不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集．
解：（1）去括号得：3﹣3x≥2x+18，
移项得：﹣3x﹣2x≥18﹣3，
合并得：﹣5x≥15，
解得：x≤﹣3；
（2）去分母得：10﹣2（2﹣3x）＞5（1+x），
去括号得：10﹣4+6x＞5+5x，
移项得：6x﹣5x＞5﹣10+4，
解得：x＞﹣1．
18．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A＝∠D的结论．
【解答】证明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
19．如图，在6×6方格中，按下列要求画三角形，使它的顶点均在方格的顶点上（小正方形的边长为1）
（1）在图甲中画一个面积为6的等腰三角形；
（2）在图乙中画一个三角形与△ABC全等，且有一条公共边．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形即可；
（2）以AC为公共边得出△ACD．
解：（1）如图甲所示：△ABC即为所求，
（2）如图乙所示：△ACD即为所求，
20．如图，已知△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．
（1）求边BC的长；
（2）求出∠BAC的度数．
【分析】（1）根据勾股定理求出EF，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，结合图形计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
解：（1）由勾股定理得，EF＝＝＝5，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；
（2）∵EA＝EB，FA＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
由三角形内角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°．
21．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE与直线l的交点即是水厂的位置M．
（2）首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价＝单价×数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．
解：（1）根据分析，水厂的位置M为：
（2）如图2，，
在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），
∴BE＝（千米），
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
50×3＝150（万元）．
答：最低费用为150万元．
22．在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同．
（1）求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；
（2）现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？
【分析】（1）设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，根据甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出甲服装厂每天制做防护服的数量，再将其代入（100﹣x）中即可求出乙服装厂每天制做防护服的数量；
（2）设甲服装厂每天多做m套，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合两服装厂10天至少生产1200套这种防护服，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出甲服装厂每天至少多做12套．
解：（1）设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，
依题意得：3x＝2（100﹣x），
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60．
答：甲服装厂每天制做40套这种防护服，乙服装厂每天制做60套这种防护服．
（2）设甲服装厂每天多做m套，
依题意得：10[（40+m）+（60+8）]≥1200，
解得：m≥12．
答：甲服装厂每天至少多做12套．
23．如图，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MP方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q两点同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．
（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．
（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明由．
【分析】（1）根据等腰三角形的概念列式计算即可；
（2）分AC＝AD、AC＝CD、AD＝CD三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可；
（3）分△DMQ≌△ABC和△DMQ≌△CBA两种情况，根据全等三角形的性质列式计算，得到答案．
解：（1）当t＝2时，DB＝6，
∵BM＝10，
∴DM＝4，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，
∴DM＝MQ，即4＝2a，
解得，a＝2；
（2）①当AC＝AD时，△DCA为等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD＝BC＝6，
∴t＝2；
②由勾股定理得，AC＝＝10，
当AC＝CD＝10时，△DCA为等腰三角形，
∵BC＝6，
∴BD＝4，
∴t＝；
③当AD＝CD＝6+3t时，△DCA为等腰三角形，
∵∠ABD＝90°，
∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，
解得，t＝，
综上所述：t＝2或或时，△DCA为等腰三角形；
（3）当△DMQ与△ABC全等，
①△DMQ≌△ABC，
∴MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，
∵BM＝10，
∴BD＝2或BD＝18，
∴t＝或t＝6，
∴a＝9或a＝1；
②△DMQ≌△CBA，
∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，
∴BD＝4或16，
∴t＝或，
∴a＝6或，
综上所述：当△DMQ与△ABC全等时，a＝9或1或6或．
24．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．
（1）若AP＝AB，则点P到直线AB的距离是 4 ；
（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，请直接写出OP的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）接BP，设点P到直线AB的距离为h，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论；
（3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论：
①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算OP的长．
解：（1）连接BP，
设点P到直线AB的距离为h，
Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
∴AB＝＝4，
∵AP＝AB，
∴AP＝AB＝4，
∴S△ABP＝AB•h＝AP•OB，
∴h＝OB＝4，
即点P到直线AB的距离是4，
故答案为：4；
（2）存在两种情况：
①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，
∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB•OP＝×4×（4+4）＝8+8；
（3）分4种情况：
①当BQ＝QP时，如图2，点P与点O重合，此时OP＝0；
②当BP＝PQ时，如图3，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4；
③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，
∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4；
④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时OP＝4；
综上，OP的长是0或4+4或4﹣4或4．
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