山东省临沂市莒南县2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷 （word版 含答案）

这是一份山东省临沂市莒南县2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷 （word版 含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省临沂市莒南县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①③
2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）

A．AD B．BE C．BF D．CG
3．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）

A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
4．如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）

A．AD平分∠BAC
B．∠ADC＝60°
C．点D在AB的垂直平分线上
D．S△DAC：S△ABC＝1：2
6．已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1 B．4 C．8 D．14
7．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）

A．45° B．15° C．10° D．125°
9．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（　　）

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
10．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）

A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
11．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（　　）

A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
12．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，S△ABC＝6，AD⊥BC于点D，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（　　）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
13．下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　）

A．80° B．60° C．45° D．30°
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
15．如图，在ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为 　 　．

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝12cm，BD＝8cm，则点D到AB的距离为　 　cm．

17．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　 　秒时，△ABP和△DCE全等．

18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，AD＝2.4cm，DE＝1.7cm，则BE的长度为　 　．

19．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　 　．

三、解答题（本大题共七道小题，共63分）
20．如图，
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出△ABC关于x轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．

21．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，求∠DAE的度数．

22．如图，已知等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，连接BE、AD交于F点．求证：∠AFE＝60°．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，点E，F在线段AD上，且DF＝2AF，∠1＝∠2＝∠BAC．若BE的长为5，求AD的长．

24．如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．
（1）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是　 　；
（2）探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论．

25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝　 　°，∠C＝　 　°．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

26．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．



参考答案
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①③
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：由题意可知，①⑤不是轴对称图形，②③④是轴对称图形．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）

A．AD B．BE C．BF D．CG
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高线的定义解答．
解：由图可知，△ABC中，BC边上的高为AD，
故选：A．
3．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）

A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×8＝64（米）．
故选：C．
4．如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（　　）

A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等解答．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，但∠B与∠D不一定相等，A选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，当∠ACB与∠DEF不一定相等，B选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，当AC与EF不一定相等，C选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE，D选项结论正确，符合题意；
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）

A．AD平分∠BAC
B．∠ADC＝60°
C．点D在AB的垂直平分线上
D．S△DAC：S△ABC＝1：2
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；通过角度的计算得到∠BAC＝60°，∠CAD＝∠BAD＝30°，则可对B选项的结论正确；利用∠B＝∠BAD得到DA＝DB，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对C选项进行判断；根据含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2CD，则BD＝2CD，所以BC＝3CD，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．
解：由作法得AD平分∠BAC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°，所以B选项的结论正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以C选项的结论正确；
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，
而BD＝AD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3CD，
∴S△DAC：S△ABC＝1：3，所以D选项的结论错误．
故选：D．
6．已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1 B．4 C．8 D．14
【分析】先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
解：此三角形第三边的长为x，则
9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
只有选项C符合题意．
故选：C．
7．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．
解：设它是n边形，
由题意得，（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8．
故选：C．
8．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）

A．45° B．15° C．10° D．125°
【分析】由等边三角形的性质可得∠DAE＝60°，进而可得∠BAE＝150°，又因为AB＝AE，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB的大小，进而可求出∠BED的度数．
解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB
∴∠AEB＝30°÷2＝15°，
∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，
故选：A．

9．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AE．其中正确的是（　　）

A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F＝∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE＝BF，故⑤错误，
正确的结论为：①③④，
故选：C．
10．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　）

A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．

11．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（　　）

A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
解：A、符合ASA定理，故本选项错误；
B、符合SAS定理，故本选项错误；
C、不符合全等三角形的判定定理，故本选项正确；
D、∵AM∥CN，
∴∠A＝∠NCD，符合AAS定理，故本选项错误；
故选：C．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝3，S△ABC＝6，AD⊥BC于点D，EF是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为（　　）

A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【分析】由垂直平分线的性质知AP＝BP，则PB+PD＝AP+PD，从而PB+PD最小值为AD的长，利用面积即可求出AD的长．
解：∵EF是AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴PB+PD＝AP+PD，
即点P在AD上时，PB+PD最小值为AD的长，
∵BC＝3，S△ABC＝6，
∴×3×AD＝6，
∴AD＝4，
∴PB+PD最小值为4，
故选：B．
13．下列给出的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据三角形内角和定理得∠A≠∠B≠∠C，则△ABC不是等腰三角形；
②证出∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形；
③由平行线的性质得∠C＝∠CAD＝50°，则∠B＝∠C，得△ABC是等腰三角形；
④由平行线的性质得∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝60°，则∠BAC＝∠BCA，得△ABC是等腰三角形；
⑤先由平行线的性质得∠A＝∠D＝30°，再由三角形的外角性质得∠B＝60°﹣∠A＝30°，则∠B＝∠A，得△ABC是等腰三角形；即可得出结论．
解：图①中，∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣66°＝44°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴△ABC不是等腰三角形；
图②中，∵∠B+∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°﹣70°＝70°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图③中，∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CAD＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
图⑤中，∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D＝30°，
∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，
∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形；
能判定△ABC是等腰三角形的有4个，
故选：C．
14．如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　）

A．80° B．60° C．45° D．30°
【分析】过B作BM∥AC，如图，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM＝45°，再根据平行线的性质得出即可．
解：过B作BM∥AC，如图，连接DM，
由勾股定理得：DM＝＝，BM＝，BD＝＝，AC＝＝，
∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM＝45°，
∵AC∥BM，
∴∠APB＝∠DBM＝45°，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
15．如图，在ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为 　21　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
解：∵DE是BC的垂直平分线，BD＝5，
∴EB＝EC，BC＝2BD＝10，
∵△ABC的周长为31，
∴AB+AC+BC＝31，
∴AB+AC＝21，
∴△ACE的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AB+AC＝21，
故答案为：21．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝12cm，BD＝8cm，则点D到AB的距离为　4　cm．

【分析】先过点D作DE⊥AB于点E，根据BC＝12cm，BD＝8cm求出DC的长，由∠C＝90°可知，DC⊥AC，再根据AD平分∠BAC可得出DE＝DC，故可得出结论．
解：先过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝12cm，BD＝8cm，
∴DC＝12﹣8＝4cm，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC＝4cm．
故答案为：4．

17．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　1或7　秒时，△ABP和△DCE全等．

【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．
解：
设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；
当点P在线段AD上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝6，CD＝4，
∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；
综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为：1或7．
18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，AD＝2.4cm，DE＝1.7cm，则BE的长度为　0.7cm　．

【分析】先证明△BCE≌△CAD，得AD＝CE＝2.4，BE＝CD，求出CD即可解决问题．
解：∵AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，
∴∠E＝∠ADC＝90°
∵AC＝CB，∠ACB＝90，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
∴△BCE≌△CAD，
∴AD＝CE＝2.4，BE＝CD，
∴CD＝CE﹣DE＝2.4﹣1.7＝0.7，
∴BE＝CD＝0.7cm．
故答案为0.7cm．

19．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　2n﹣1　．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．

三、解答题（本大题共七道小题，共63分）
20．如图，
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出△ABC关于x轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．

【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A、B、C对应点的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A、B、C对应点的坐标即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2各顶点坐标分别为A2（﹣3，﹣2）、B2（﹣4，3）、C2（﹣1，1）．

21．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，求∠DAE的度数．

【分析】先根据三角形内角和可得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝90°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝45°，∠ADC＝90°，求出∠AEC，然后利用∠DAE＝90°﹣∠AEC计算即可．
解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠ABC＝30°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝45°，
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°+45°＝75°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AEC＝90°﹣75°＝15°．
22．如图，已知等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，连接BE、AD交于F点．求证：∠AFE＝60°．

【分析】因为△ABC为等边三角形，所以∠ABD＝∠BCE＝60°，AB＝AC＝BC，又BD＝CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD＝∠CBE，利用三角形外角性质解答即可；
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABC，
∴∠BFD＝∠B＝∠AFE＝60°．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，点E，F在线段AD上，且DF＝2AF，∠1＝∠2＝∠BAC．若BE的长为5，求AD的长．

【分析】由“ASA”可证△ABE≌△CAF，可得BE＝AF＝5，即可求解．
解：∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，
∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴BE＝AF＝5，
∴DF＝2AF＝10，
∴AD＝AF+DF＝15．
24．如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．
（1）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是　55°　；
（2）探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）求出∠DBE，∠ADB，利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理解决问题即可．
解：（1）∵∠C＝70°，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝50°，
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴，，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝100°，
∴∠BED＝180°﹣100°﹣25°＝55°，
故答案为55°．

（2）结论：
理由：∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴，，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAE＝＝＝．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC．
（1）如图1，填空∠A＝　36　°，∠C＝　72　°．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC于点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到∠ABD＝∠CBD＝36°，根据垂直的定义得到∠BHN＝∠EHB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②由①知，BN＝BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
解：（1）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠A＝∠DBC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC＝∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A＝∠ABD＝36°，
∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN＝∠EHB＝90°，
在△BNH与△BEH中，
，
∴△BNH≌△BEH，
∴BN＝BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD＝AN+CE，
理由：由①知，BN＝BE，
∵AB＝AC，
∴AN＝AB﹣BN＝AC﹣BE，
∵CE＝BE﹣BC，
∵CD＝AC﹣AD＝AC﹣BD＝AC﹣BC，
∴CD＝AN+CE．
26．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．

【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，求出∠ACD＝∠BCO，根据SAS可证△ADC≌△BOC；
（2）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
解：（1）△ADC≌△BOC，
理由如下：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）△ADO是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．