还剩21页未读，
继续阅读
_四川省自贡市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
展开
这是一份_四川省自贡市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（﹣1）2021＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2021D．2021
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．380亿用科学记数法表示为（ ）
A．38×109B．0.38×1013C．3.8×1011D．3.8×1010
4．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝35°，那么∠2＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
6．对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（ ）
A．众数是3B．平均数是4C．方差是1.6D．中位数是6
7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1﹣x）2＝315B．560（1+x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315
9．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣3
10．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+2经过点A（2，y1），B（，y2），C（﹣1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3
11．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是 ．
14．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为 ．
15．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x12+x22的值为 ．
16．如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝135°，△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，图中 是旋转中心，若BE＝1，则EF＝ ．
17．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ．
18．如图，在边长为a的正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为 ．（用含a的式子表示）．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．计算：|﹣2|﹣+（）0．
20．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0（用配方法）
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）（方法自选）
21．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，求证：∠ABF＝∠CBE．
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B、C的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3）．（提示：一定要用2B铅笔作图）
（1）画出△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为 ．
23．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
25．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线QD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标．
参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（﹣1）2021＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2021D．2021
【分析】根据幂的意义解答即可．
解：∵（﹣1）2021表示2021个（﹣1）相乘，
∴（﹣1）2021＝﹣1．
故选：A．
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：A．
3．380亿用科学记数法表示为（ ）
A．38×109B．0.38×1013C．3.8×1011D．3.8×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于380亿有11位，所以可以确定n＝11﹣1＝10．
解：380亿＝38 000 000 000＝3.8×1010．
故选：D．
4．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，然后根据大小小大中间找确定解集，再利用数轴画出解集即可．
解：，
解①得：x＞1，
解②得：x≤2，
不等式组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示为，
故选：C．
5．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝35°，那么∠2＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】先根据∠1＝35°，a∥b求出∠3的度数，再由AB⊥BC即可得出答案．
解：∵a∥b，∠1＝35°，
∴∠3＝∠1＝35°．
∵AB⊥BC，
∴∠2＝90°﹣∠3＝55°．
故选：C．
6．对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（ ）
A．众数是3B．平均数是4C．方差是1.6D．中位数是6
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，利用平均数和方差的定义可分别求出．
解：A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确；
B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、S2＝[（3﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2]＝1.6，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误；
故选：D．
7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1﹣x）2＝315B．560（1+x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x）元，第二次后的价格是560（1﹣x）2元，据此即可列方程求解．
解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：A．
9．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣3
【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣4+4）2﹣1，即y＝2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y＝2x2﹣1+2，即y＝2x2+1；
故选：A．
10．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+2经过点A（2，y1），B（，y2），C（﹣1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝3，然后比较三个点离直线x＝3的远近得到y1，y2，y3的大小关系．
解：∵y＝﹣2（x﹣3）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵A（2，y1），B（，y2），C（﹣1，y3），
∴点C（﹣1，y3）离直线x＝3最远，点B（，y2）离直线x＝3近，
而抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3．
故选：D．
11．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y＝ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选：C．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x＝1的右侧得到﹣＞1，于是利用不等式的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；由x＝1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x＝﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0．
解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＞1，
∴2a+b＞0，故①正确；
②∵a＜0，﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故④错误；
⑤∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解：∵y＝x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
14．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】把x＝3代入方程计算即可求出k的值．
解：把x＝3代入方程得：9+3k+3＝0，
移项合并得：3k＝﹣12，
解得：k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x12+x22的值为 27 ．
【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25+2＝27，
故答案为：27．
16．如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝135°，△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，图中 点B 是旋转中心，若BE＝1，则EF＝ ．
【分析】根据旋转的定义可知旋转中心为点B，旋转角为90°，由旋转的性质可知△BEF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得EF．
解：由△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，
∴旋转中心为点B，且旋转角为90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵BE＝1，
∴由勾股定理可求得EF＝，
故答案为：点B；．
17．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 x＜﹣2或x＞8 ．
【分析】根据图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．
解：∵交点A（﹣2，4），B（8，2），
∴不等式的解集是x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
18．如图，在边长为a的正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为 a2 ．（用含a的式子表示）．
【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．
解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，
则BG＝GC，AB∥MG∥CD，
∴AM＝MN，
∵MH⊥CD，∠D＝90°，
∴MH∥AD，
∴NH＝HD，
由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，
∴MC＝BC＝a，
由题意得，∠MCD＝30°，
∴MH＝MC＝a，CH＝a，
∴DH＝a﹣a，
∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，
∴△MNC的面积＝××（﹣1）a＝a2，
故答案为a2．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．计算：|﹣2|﹣+（）0．
【分析】化简绝对值，二次根式，零指数幂，然后再计算．
解：原式＝+1
＝．
20．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0（用配方法）
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）（方法自选）
【分析】（1）将常数项移项，左边用配方法；
（2）将右边移到左边，把（x﹣5）看作整体提公因式．
解：（1）原方程化为x2﹣4x＝﹣1，
配方，得x2﹣4x+4＝﹣1+4，
即（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，
解得x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）移项，得3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
提公因式，得（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0，
解得x1＝5，x2＝．
21．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，求证：∠ABF＝∠CBE．
【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
∵在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE．
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B、C的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3）．（提示：一定要用2B铅笔作图）
（1）画出△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为 5 ．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
解：（1）、（2）答案如图所示；
（3）以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为：
3×4﹣×3×2﹣×2×2﹣×1×4
＝12﹣3﹣2﹣2
＝5．
故答案为：5．
23．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【分析】（1）利用销量×每件利润＝总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价；
（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．
解：（1）根据题意得：w＝（25+x﹣20）（250﹣10x）
即：w＝﹣10x2+200x+1250或w＝﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当时，销售利润最大
此时销售单价为：10+25＝35（元）
答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．
（3）由（2）可知，抛物线对称轴是直线x＝10，开口向下，对称轴左侧w随x
的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小
方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5
当x＝5时，利润最大
最大利润为w＝﹣10×52+200×5+1250＝2000（元），
方案B：根据题意得，25+x﹣20≥16，
解得：x≥11
则11≤x≤25，
故当x＝11时，利润最大，
最大利润为w＝﹣10×112+200×11+1250＝2240（元），
∵2240＞2000，
∴综上所述，方案B最大利润更高．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，结合x12+x22＝8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得：m≤．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为﹣．
25．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF+OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC＝90°，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，
在Rt△OCD中，OD＝OC•cs30°＝OC，
同理：OE＝OC，
∴OD+OE＝OC；
（2）（1）中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣EG，
∴OF+OG＝OD+EG+OE﹣EG＝OD+OE，
∴OD+OE＝OC；
（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD＝OC，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣EG，
∴OF+OG＝EG﹣OD+OE﹣EG＝OE﹣OD，
∴OE﹣OD＝OC．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线QD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标．
【分析】（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求y＝x2+2x﹣3；用待定系数法求直线AD的解析式；
（2）先求出P（m，m﹣1），点Q（m，m2+2m﹣3），则l＝|（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）|，分两种情况讨论：①当m﹣1≥m2+2m﹣3时，l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3），则当m＝﹣时，l有最大值；即此时线段PQ最长；②当m﹣1＜m2+2m﹣3时，l＝﹣（m﹣1）+（m2+2m﹣3），则l此时有最小值；不合题意，舍去；
（3）求出A（1，0）、D（﹣2，﹣3），设R（x，y），分三种情况讨论①当P（﹣1，﹣2）时，Q（﹣1，﹣4），当PQ、PD、PR为对角线时，分别求R点坐标；②当P（0，﹣1）时，Q（0，﹣3），当PQ、PD、PR为对角线时，分别求R点坐标；③当P点与A、D 重合时，点Q点也同时会相应的与A、D重合时，该四边形不存在．
【解答】解（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3，
∵点D的横坐标为﹣2，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
∴D（﹣2，﹣3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），D（﹣2，﹣3），
∴，
解得，
∴y＝x﹣1；
（2）∵点P（m，n），过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，
∴点P和点Q的横坐标相等，
当x＝m时代入y＝x﹣1，得y＝m﹣1，
∴P（m，m﹣1），
当x＝m时代入y＝x2+2x﹣3，
∴y＝m2+2m﹣3，
∴点Q（m，m2+2m﹣3），
∴PQ＝|（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）|，
∴l＝|（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）|，
①当m﹣1≥m2+2m﹣3时，l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3），
整理得l＝﹣m2﹣m+2，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，l有最大值；即此时线段PQ最长；
②当m﹣1＜m2+2m﹣3时，l＝﹣（m﹣1）+（m2+2m﹣3），
整理得l＝m2+m+2，
∵a＝1＞0，
∴l此时有最小值；不合题意，舍去；
综上所述：当m＝﹣ 时，线段PQ最长；
（3）存在R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵P（m，n）是线段AD上的动点，
∴A（1，0）、D（﹣2，﹣3），
设R（x，y），
①当P（﹣1，﹣2）时，Q（﹣1，﹣4），
当PQ为对角线，PQ的中点为（﹣1，﹣3），DR的中点（，），
∴﹣1＝，﹣3＝，
∴x＝0，y＝﹣3，
∴R（0，﹣3）；
当PD为对角线，PD的中点为（﹣，﹣），QR的中点为（，），
∴﹣＝，﹣＝，
∴x＝﹣2，y＝﹣1，
∴R（﹣2，﹣1）；
当PR为对角线，PR的中点为（，），QD的中点为（﹣，﹣），
∴＝﹣，＝﹣，
∴m＝﹣2，n＝﹣5，
∴R（﹣2，﹣5）；
②当P（0，﹣1）时，Q（0，﹣3）
当PQ为对角线时，PQ的中点为（0，﹣2），DR的中点为（，），
∴＝0，＝﹣2，
∴x＝2，y＝﹣1，
∴R（2，﹣1）；
当PD为对角线时，PD的中点为（﹣1，﹣2），QR的中点为（，），
∴﹣1＝，﹣2＝，
∴x＝﹣2，y＝﹣1，
∴R（﹣2，﹣1）；
当PR为对角线时，PR的中点为（，），QD的中点为（﹣1，﹣3），
∴＝﹣1，＝﹣3，
∴x＝﹣2，y＝﹣5，
∴R（﹣2，﹣5）；
③当P点与A、D 重合时，点Q点也同时会相应的与A、D重合时，该四边形不存在；
综上所述，满足条件的整点R的坐标有（﹣2，﹣1）、（﹣2，﹣5）、（0，﹣3）、（2，﹣1）．
1．（﹣1）2021＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2021D．2021
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．380亿用科学记数法表示为（ ）
A．38×109B．0.38×1013C．3.8×1011D．3.8×1010
4．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝35°，那么∠2＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
6．对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（ ）
A．众数是3B．平均数是4C．方差是1.6D．中位数是6
7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1﹣x）2＝315B．560（1+x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315
9．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣3
10．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+2经过点A（2，y1），B（，y2），C（﹣1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3
11．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是 ．
14．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为 ．
15．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x12+x22的值为 ．
16．如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝135°，△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，图中 是旋转中心，若BE＝1，则EF＝ ．
17．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 ．
18．如图，在边长为a的正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为 ．（用含a的式子表示）．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．计算：|﹣2|﹣+（）0．
20．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0（用配方法）
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）（方法自选）
21．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，求证：∠ABF＝∠CBE．
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B、C的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3）．（提示：一定要用2B铅笔作图）
（1）画出△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为 ．
23．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
25．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线QD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标．
参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（﹣1）2021＝（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2021D．2021
【分析】根据幂的意义解答即可．
解：∵（﹣1）2021表示2021个（﹣1）相乘，
∴（﹣1）2021＝﹣1．
故选：A．
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：A．
3．380亿用科学记数法表示为（ ）
A．38×109B．0.38×1013C．3.8×1011D．3.8×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于380亿有11位，所以可以确定n＝11﹣1＝10．
解：380亿＝38 000 000 000＝3.8×1010．
故选：D．
4．不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，然后根据大小小大中间找确定解集，再利用数轴画出解集即可．
解：，
解①得：x＞1，
解②得：x≤2，
不等式组的解集为：1＜x≤2，
在数轴上表示为，
故选：C．
5．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝35°，那么∠2＝（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【分析】先根据∠1＝35°，a∥b求出∠3的度数，再由AB⊥BC即可得出答案．
解：∵a∥b，∠1＝35°，
∴∠3＝∠1＝35°．
∵AB⊥BC，
∴∠2＝90°﹣∠3＝55°．
故选：C．
6．对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（ ）
A．众数是3B．平均数是4C．方差是1.6D．中位数是6
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，利用平均数和方差的定义可分别求出．
解：A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确；
B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、S2＝[（3﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2]＝1.6，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误；
故选：D．
7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则下面所列的方程中正确的是（ ）
A．560（1﹣x）2＝315B．560（1+x）2＝315
C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x）元，第二次后的价格是560（1﹣x）2元，据此即可列方程求解．
解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
560（1﹣x）2＝315，
故选：A．
9．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣3
【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．
解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣4+4）2﹣1，即y＝2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y＝2x2﹣1+2，即y＝2x2+1；
故选：A．
10．二次函数y＝﹣2（x﹣3）2+2经过点A（2，y1），B（，y2），C（﹣1，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y3＞y1D．y2＞y1＞y3
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝3，然后比较三个点离直线x＝3的远近得到y1，y2，y3的大小关系．
解：∵y＝﹣2（x﹣3）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵A（2，y1），B（，y2），C（﹣1，y3），
∴点C（﹣1，y3）离直线x＝3最远，点B（，y2）离直线x＝3近，
而抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3．
故选：D．
11．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y＝ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选：C．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x＝1的右侧得到﹣＞1，于是利用不等式的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；由x＝1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x＝﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0．
解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣＞1，
∴2a+b＞0，故①正确；
②∵a＜0，﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故③正确；
④∵x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故④错误；
⑤∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解：∵y＝x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，
∴抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
14．已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】把x＝3代入方程计算即可求出k的值．
解：把x＝3代入方程得：9+3k+3＝0，
移项合并得：3k＝﹣12，
解得：k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．设x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x12+x22的值为 27 ．
【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25+2＝27，
故答案为：27．
16．如图，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝135°，△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，图中 点B 是旋转中心，若BE＝1，则EF＝ ．
【分析】根据旋转的定义可知旋转中心为点B，旋转角为90°，由旋转的性质可知△BEF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得EF．
解：由△AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为△CFB，
∴旋转中心为点B，且旋转角为90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵BE＝1，
∴由勾股定理可求得EF＝，
故答案为：点B；．
17．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是 x＜﹣2或x＞8 ．
【分析】根据图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．
解：∵交点A（﹣2，4），B（8，2），
∴不等式的解集是x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
18．如图，在边长为a的正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为 a2 ．（用含a的式子表示）．
【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据旋转变换的性质得到△MBC是等边三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出MH、CH，根据三角形的面积公式计算即可．
解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，
则BG＝GC，AB∥MG∥CD，
∴AM＝MN，
∵MH⊥CD，∠D＝90°，
∴MH∥AD，
∴NH＝HD，
由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，
∴MC＝BC＝a，
由题意得，∠MCD＝30°，
∴MH＝MC＝a，CH＝a，
∴DH＝a﹣a，
∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，
∴△MNC的面积＝××（﹣1）a＝a2，
故答案为a2．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．计算：|﹣2|﹣+（）0．
【分析】化简绝对值，二次根式，零指数幂，然后再计算．
解：原式＝+1
＝．
20．按要求解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0（用配方法）
（2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）（方法自选）
【分析】（1）将常数项移项，左边用配方法；
（2）将右边移到左边，把（x﹣5）看作整体提公因式．
解：（1）原方程化为x2﹣4x＝﹣1，
配方，得x2﹣4x+4＝﹣1+4，
即（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，
解得x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）移项，得3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
提公因式，得（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0，
解得x1＝5，x2＝．
21．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF，求证：∠ABF＝∠CBE．
【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C，
∵在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE．
22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点A、B、C的坐标分别为（1，1），（4，2），（2，3）．（提示：一定要用2B铅笔作图）
（1）画出△ABC向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为 5 ．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
解：（1）、（2）答案如图所示；
（3）以点A、A1、A2为顶点的三角形的面积为：
3×4﹣×3×2﹣×2×2﹣×1×4
＝12﹣3﹣2﹣2
＝5．
故答案为：5．
23．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．
（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．
方案A：每件商品涨价不超过5元；
方案B：每件商品的利润至少为16元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【分析】（1）利用销量×每件利润＝总利润，进而求出即可；
（2）利用二次函数的性质得出销售单价；
（3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案．
解：（1）根据题意得：w＝（25+x﹣20）（250﹣10x）
即：w＝﹣10x2+200x+1250或w＝﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25）
（2）∵﹣10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，
当时，销售利润最大
此时销售单价为：10+25＝35（元）
答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大．
（3）由（2）可知，抛物线对称轴是直线x＝10，开口向下，对称轴左侧w随x
的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小
方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5
当x＝5时，利润最大
最大利润为w＝﹣10×52+200×5+1250＝2000（元），
方案B：根据题意得，25+x﹣20≥16，
解得：x≥11
则11≤x≤25，
故当x＝11时，利润最大，
最大利润为w＝﹣10×112+200×11+1250＝2240（元），
∵2240＞2000，
∴综上所述，方案B最大利润更高．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，结合x12+x22＝8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得：m≤．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为﹣．
25．如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）先判断出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得OF+OG＝OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC＝90°，
∴∠OCD＝60°，
∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，
在Rt△OCD中，OD＝OC•cs30°＝OC，
同理：OE＝OC，
∴OD+OE＝OC；
（2）（1）中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，
∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣EG，
∴OF+OG＝OD+EG+OE﹣EG＝OD+OE，
∴OD+OE＝OC；
（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD＝OC，
理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠FCG＝120°，
同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，
∴OF+OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，
∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF＝EG，
∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣EG，
∴OF+OG＝EG﹣OD+OE﹣EG＝OE﹣OD，
∴OE﹣OD＝OC．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线QD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标．
【分析】（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求y＝x2+2x﹣3；用待定系数法求直线AD的解析式；
（2）先求出P（m，m﹣1），点Q（m，m2+2m﹣3），则l＝|（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）|，分两种情况讨论：①当m﹣1≥m2+2m﹣3时，l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3），则当m＝﹣时，l有最大值；即此时线段PQ最长；②当m﹣1＜m2+2m﹣3时，l＝﹣（m﹣1）+（m2+2m﹣3），则l此时有最小值；不合题意，舍去；
（3）求出A（1，0）、D（﹣2，﹣3），设R（x，y），分三种情况讨论①当P（﹣1，﹣2）时，Q（﹣1，﹣4），当PQ、PD、PR为对角线时，分别求R点坐标；②当P（0，﹣1）时，Q（0，﹣3），当PQ、PD、PR为对角线时，分别求R点坐标；③当P点与A、D 重合时，点Q点也同时会相应的与A、D重合时，该四边形不存在．
【解答】解（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3，
∵点D的横坐标为﹣2，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
∴D（﹣2，﹣3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），D（﹣2，﹣3），
∴，
解得，
∴y＝x﹣1；
（2）∵点P（m，n），过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，
∴点P和点Q的横坐标相等，
当x＝m时代入y＝x﹣1，得y＝m﹣1，
∴P（m，m﹣1），
当x＝m时代入y＝x2+2x﹣3，
∴y＝m2+2m﹣3，
∴点Q（m，m2+2m﹣3），
∴PQ＝|（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）|，
∴l＝|（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）|，
①当m﹣1≥m2+2m﹣3时，l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3），
整理得l＝﹣m2﹣m+2，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，l有最大值；即此时线段PQ最长；
②当m﹣1＜m2+2m﹣3时，l＝﹣（m﹣1）+（m2+2m﹣3），
整理得l＝m2+m+2，
∵a＝1＞0，
∴l此时有最小值；不合题意，舍去；
综上所述：当m＝﹣ 时，线段PQ最长；
（3）存在R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵P（m，n）是线段AD上的动点，
∴A（1，0）、D（﹣2，﹣3），
设R（x，y），
①当P（﹣1，﹣2）时，Q（﹣1，﹣4），
当PQ为对角线，PQ的中点为（﹣1，﹣3），DR的中点（，），
∴﹣1＝，﹣3＝，
∴x＝0，y＝﹣3，
∴R（0，﹣3）；
当PD为对角线，PD的中点为（﹣，﹣），QR的中点为（，），
∴﹣＝，﹣＝，
∴x＝﹣2，y＝﹣1，
∴R（﹣2，﹣1）；
当PR为对角线，PR的中点为（，），QD的中点为（﹣，﹣），
∴＝﹣，＝﹣，
∴m＝﹣2，n＝﹣5，
∴R（﹣2，﹣5）；
②当P（0，﹣1）时，Q（0，﹣3）
当PQ为对角线时，PQ的中点为（0，﹣2），DR的中点为（，），
∴＝0，＝﹣2，
∴x＝2，y＝﹣1，
∴R（2，﹣1）；
当PD为对角线时，PD的中点为（﹣1，﹣2），QR的中点为（，），
∴﹣1＝，﹣2＝，
∴x＝﹣2，y＝﹣1，
∴R（﹣2，﹣1）；
当PR为对角线时，PR的中点为（，），QD的中点为（﹣1，﹣3），
∴＝﹣1，＝﹣3，
∴x＝﹣2，y＝﹣5，
∴R（﹣2，﹣5）；
③当P点与A、D 重合时，点Q点也同时会相应的与A、D重合时，该四边形不存在；
综上所述，满足条件的整点R的坐标有（﹣2，﹣1）、（﹣2，﹣5）、（0，﹣3）、（2，﹣1）．
相关试卷
2022年四川省自贡市中考数学试卷（Word版，含解析）： 这是一份2022年四川省自贡市中考数学试卷（Word版，含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省自贡市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）： 这是一份2021-2022学年四川省自贡市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版），共20页。试卷主要包含了0分，0分），【答案】A，【答案】C，【答案】140°等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省自贡市七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）： 这是一份2021-2022学年四川省自贡市七年级（下）期末数学试卷（Word解析版），共16页。试卷主要包含了【答案】A，【答案】B，【答案】C，【答案】D，【答案】3，【答案】m<0等内容，欢迎下载使用。
