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江苏省常州市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份江苏省常州市2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+cC．y＝x2+D．s＝2t2﹣2t+1
2．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A．B．πC．D．
3．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠B＝128°，则∠D的度数为（ ）
A．108°B．106°C．104°D．102°
4．某校航模兴趣小组共有50位同学，他们的年龄分布如表：
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
5．若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（ ）
A．2B．4﹣C．D．﹣
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 ．
8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ °．
9．将二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为 ．
10．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会 （填“变大”、“变小”、“不变”或“不能确定”）．
11．一个袋子中有2个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的情况下，随机摸出一个红球的概率是，则袋中有 个白球．
12．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若＝，则∠B＝ °．
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0；②当时x＝2，y的值等于1；③当x＞3，y的值小于0．正确的序号是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为 cm．
15．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．射击爱好者甲、乙的近8次比赛的分析如下表（成绩单位：环）：
（1）求a、b的值；
（2）从两个不同角度评价两人的射击水平．
18．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
19．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．
20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积为 ．
21．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m为常数，且m＜0）．
（1）若该函数图象与y轴交于点（0，5），
①求图象与x轴的交点坐标；
②当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ．
（2）将该二次函数的图象向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图象经过点（0，﹣2），则k的取值范围是 ．
22．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
23．根据函数表达式y＝，画出它的图象，并描述它的图象具有哪些特征．
24．如图，在△ABC中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
25．2020年12月12日零时，某电商平台“双十二”购物狂欢节预售付尾款活动正式开启，如图是织里童装某产品每小时的成交量y（万件）与时间x（时）的函数图象，y与x的关系正好可用两段二次函数y1，y2的图象来表示，点A是两段函数的顶点，其中0≤x≤1时，图象的解析式为y1＝﹣3x2+mx；1≤x≤7时，图象的解析式为y2；
（1）根据函数图象，求几时成交量达到最大值？最大值为多少？
（2）系统平台显示，当成交量达到2.25万件以上时（包括2.25万件），需要专门安排后台技术人员做维护，请问：需要维护多少时间才能保证系统全程正常运行？
26．如图，已知线段AB和直线l．
（1）用直尺和圆规在图①的直线l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°；
（2）你能在图②的直线l上找到点P，使得∠APB最大吗？在图中画出示意图，并写出你的思路．
27．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+cC．y＝x2+D．s＝2t2﹣2t+1
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A．B．πC．D．
【分析】利用弧长公式l＝即可直接求解．
解：弧长是：＝．
故选：D．
3．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠B＝128°，则∠D的度数为（ ）
A．108°B．106°C．104°D．102°
【分析】连接AD．首先证明∠ADC＝∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
解：连接AD．
∵，
∴∠ADC＝∠ADE，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣128°＝52°，
∴∠CDE＝2×52°＝104°，
故选：C．
4．某校航模兴趣小组共有50位同学，他们的年龄分布如表：
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
【分析】根据众数、中位数的定义进行判断即可．
解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而13岁的有5人，14岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是14岁，因此中位数是14岁，不会受15岁，16岁人数的影响；
因为14岁有23人，而13岁的有5人，15岁、16岁共有22人，因此众数是14岁；
故选：B．
5．若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】先求出二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性即可解答．
解：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴A（﹣，y1）与点（，y1）关于直线x＝﹣2对称，
∵﹣＜＜，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（ ）
A．2B．4﹣C．D．﹣
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：连接AC交EF于M，连接OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝4，
∴OA＝OC＝2，
∵△AEF是等边三角形，
∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，
∴OM＝OF＝，
∴CM＝，
∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，
∴∠CGM＝45°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴GH＝2CM＝2．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 x1＝1，x2＝2 ．
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．
解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x＝．
又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．
故答案是：x1＝1，x2＝2．
8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ 150 °．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•5，然后解关于θ的方程即可．
解：根据题意得＝2π•5，
解得θ＝150．
故答案为150．
9．将二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为 y＝﹣（x﹣2）2+3 ．
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出函数解析式．
解：将函数y＝﹣x2的图象先向右平移2个单位长度得到y＝﹣（x﹣2）2，
再向上平移3个单位长度后，得到y＝﹣（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+3．
10．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会 变小 （填“变大”、“变小”、“不变”或“不能确定”）．
【分析】求出去掉一个最高分和一个最低分后的数据的方差，比较得出答案．
解：去掉一个最高分和一个最低分后为88，90，92，
平均数为＝90，
方差为[（88﹣90）2+（90﹣90）2+（92﹣90）2]＝≈2.67（分2），
因为5.2＞2.67，
所以方差变小了，
故答案为：变小．
11．一个袋子中有2个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的情况下，随机摸出一个红球的概率是，则袋中有 8 个白球．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，求出即可．
解：设白球x个，根据题意可得：＝，
解得：x＝8，
故袋中有8个白球．
故答案为：8
12．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若＝，则∠B＝ 18 °．
【分析】如图，连接OC．首先证明＝，即可推出∠AOC＝×180°＝36°解决问题；
解：如图，连接OC．
∵＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∴∠AOC＝×180°＝36°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠AOC＝∠B+∠OCB，
∴∠B＝18°，
故答案是：18
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0；②当时x＝2，y的值等于1；③当x＞3，y的值小于0．正确的序号是 ①③ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①如图所示，抛物线开口方向向下，则a＜0．
对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
综上所述，a＜0，b＞0，c＜0．
故①正确；
②∵抛物线与x轴另一交点横坐标0＜x＜1，
∴抛物线的顶点横坐标1.5＜x＜2．
∵抛物线开口向下，且过点（1，1），
∴点（1，1）关于对称轴对称的点的横坐标大于2，
∴当x＝2时，y的值大于1，故②错误；
③观察函数图象，可知：当x＞3时，y的值小于0，
故③正确；
故答案为：①③．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为 10 cm．
【分析】连接OC，设⊙O的半径是rcm，根据垂径定理得出CM＝DM＝4cm，根据勾股定理得出关于r的方程，再求出方程的解即可．
解：连接OC，设⊙O的半径是rcm，则OB＝OC＝rcm，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8cm，
∴CM＝DM＝4cm，∠OMC＝90°，
由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径是5cm，
∴直径AB的长是10cm，
故答案为：10．
15．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是 ﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2 ．
【分析】根据题意得到（x﹣m）2﹣1＜0，即，解得m﹣1＜x＜m+1，把x的值分别代入即可求得．
解：由题意得y＝（x﹣m）2﹣1＜0，
∴，
∴m﹣1＜x＜m+1，
当x＝﹣3时，则﹣4＜m＜﹣2，
当x＝﹣1时，则﹣2＜m＜0，
当x＝1时，则0＜m＜2，
∴m的取值范围是﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2，
故答案为：﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 5π ．
【分析】由AB是直径，得∠APB＝90°，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，由三角形中位线知ME⊥MF，即∠EMF＝90°，则点M在以EF为直径的半圆上，即可得出答案．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝＝20，
连接AP，BP，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
即AP⊥BP，
取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，
在△BPC中，
∵M，E为PC、BC的中点，
∴ME∥BP，ME＝，
在△APC中，
∵点M、F为PC、AC的中点，
∴MF∥AP，MF＝，
∴ME⊥MF，
即∠EMF＝90°，
∴点M在以EF为直径的半圆上，
∴EF＝AB＝10，
∴点M的运动路径长为＝5π，
故答案为：5π．
三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．射击爱好者甲、乙的近8次比赛的分析如下表（成绩单位：环）：
（1）求a、b的值；
（2）从两个不同角度评价两人的射击水平．
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式分别求出a和b即可；
（2）从平均数上来看，甲和乙的发挥水平相当，再从方差上进行分析，甲的方差小，发挥稳定，从而得出答案．
解：（1）甲的平均数是：a＝×（9+6+6+8+7+6+6+8）＝7（环），
乙的方差b＝[3（7﹣7）2+（4﹣7）2+（5﹣7）2+2（8﹣7）2+（10﹣7）2]＝3（环）；
（2）甲和乙的平均数一样，射击水平相当；甲的方差比乙的方差小，则甲发挥稳定．
18．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案为：．
19．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．
【分析】（1）证法一：令y＝0，可得关于x的一元二次方程，解得两个不同的实数根，即可证得结论；
证法二：令y＝0，可得关于x的一元二次方程，运用根的判别式即可证得结论；
（2）根据抛物线与x轴两交点横坐标分别为m、m+1，利用中点公式可得点C坐标为（m+，n），由S△ABC＝AB•|n|＝|n|＝1，可得n＝±2，将点C（m+，2）和C（m+，﹣2）分别代入抛物线解析式，即可求得答案．
【解答】（1）证法一：令y＝0，得a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，
化简得：a（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+1，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
证法二：令y＝0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，
设z＝x﹣m，则az2﹣az＝0，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2，
∵a≠0，
∴a2＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）由（1）得，抛物线与x轴两交点横坐标分别为m、m+1，
∴AB＝1，且根据抛物线对称性得顶点横坐标为：＝m+，
设点C坐标为（m+，n），
∴S△ABC＝AB•|n|＝|n|＝1，
∴|n|＝2，
∴n＝±2，
将点C（m+，2）和C（m+，﹣2）分别代入抛物线解析式y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m），
得：2＝a（m+﹣m）2﹣a（m+﹣m）或﹣2＝a（m+﹣m）2﹣a（m+﹣m），
整理得：﹣a＝2或﹣a＝﹣2，
解得：a＝﹣8或8．
20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC＝∠ACO，加上∠ACO＝∠CAO，从而得到∠DAC＝∠CAO；
（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27＝（r+3）2，解得r＝3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，
∵OE2+EC2＝OC2，
∴r2+27＝（r+3）2，
解得r＝3，
∴OC＝3，OE＝6，
∴cs∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB＝3×3﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
21．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m为常数，且m＜0）．
（1）若该函数图象与y轴交于点（0，5），
①求图象与x轴的交点坐标；
②当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ﹣4≤y＜5 ．
（2）将该二次函数的图象向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图象经过点（0，﹣2），则k的取值范围是 k≥ ．
【分析】（1）①运用待定系数法可求得函数解析式为y＝x2+6x+5，令y＝0，得x2+6x+5＝0，解方程即可求得答案；
②利用二次函数的最值和增减性质即可求得答案；
（2）平移后的函数解析式为：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1﹣k，将（0，﹣2）代入，可得k＝（m+）2+，即可得出答案．
解：（1）①∵该函数过点（0，5），
∴将（0，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1，
得：m2+m﹣1＝5，
解得：m1＝﹣3，m2＝2，
∵m＜0，
∴m＝﹣3，
∴该函数解析式为y＝x2+6x+5，
令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣5，0）；
②∵抛物线y＝x2+6x+5的对称轴为直线x＝﹣3，
∴在﹣4＜x＜0范围内，当x＝﹣3时，函数值取到最小值y＝﹣4，
当x＝0时，函数值取到最大值y＝5．
∴y的取值范围是﹣4≤y＜5；
故答案为﹣4≤y＜5．
（2）∵二次函数的图象向下平移k（k＞0）个单位长度，
∴平移后的函数解析式为：
y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1﹣k，
将（0，﹣2）代入，得：﹣2＝m2+m﹣1﹣k，
整理得：k＝m2+m+1，
∴k＝（m+）2+，
∵m＝﹣时，k有最小值，
∴k的范围为k≥；
故答案为k≥．
22．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
【分析】（1）直接利用直角三角形面积求法得出答案；
（2）利用已知得出y＝35，进而解方程得出答案；
（3）利用配方法得出函数顶点式，再利用二次函数增减性得出答案．
解：（1）由题意可得：y＝（8﹣x）（6﹣x）
＝x2﹣14x+48（0＜x＜6）；
（2）由题意可得：y＝48﹣13＝35，
则x2﹣14x+48＝35，
即（x﹣1）（x﹣13）＝0，
解得：x1＝1，x2＝13，
经检验得：x＝13不合题意，舍去，
答：x的值为1；
（3）y＝x2﹣14x+48
＝（x﹣7）2﹣1
当0.5≤x≤1时，y随x的增大而减小，
故当x＝0.5时，y最大，y＝m2．
23．根据函数表达式y＝，画出它的图象，并描述它的图象具有哪些特征．
【分析】根据函数的解析式作出函数的图象，然后描述其所处的位置及其增减性即可．
解：列表如下：
函数y＝表达式y＝的图象如下图：
函数的图象是两条曲线，关于y轴对称，两个分支分别位于一、二象限，在第二象限y随着x的增大而增大，在第一象限y随着x的增大而减小．
24．如图，在△ABC中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，证明OC∥AE，则∠OCD＝∠CDE＝90°，由切线的判定定理即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AC的长，再由等腰三角形的性质得EC＝BC＝6，再用面积法列方程求出CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵AB＝AE，
∴∠E＝∠B，
∴∠OCB＝∠E，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE于点D，
∴∠CDE＝90°，
∴∠OCD＝∠CDE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BE，
∵AB＝AE，
∴EC＝BC＝6，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵∠ACE＝90°，CD⊥AE，AE＝AB＝10，
∴AE•CD＝AC×EC＝S△ACE，
∴×10CD＝×8×6，
∴CD＝，
∴CD的长为．
25．2020年12月12日零时，某电商平台“双十二”购物狂欢节预售付尾款活动正式开启，如图是织里童装某产品每小时的成交量y（万件）与时间x（时）的函数图象，y与x的关系正好可用两段二次函数y1，y2的图象来表示，点A是两段函数的顶点，其中0≤x≤1时，图象的解析式为y1＝﹣3x2+mx；1≤x≤7时，图象的解析式为y2；
（1）根据函数图象，求几时成交量达到最大值？最大值为多少？
（2）系统平台显示，当成交量达到2.25万件以上时（包括2.25万件），需要专门安排后台技术人员做维护，请问：需要维护多少时间才能保证系统全程正常运行？
【分析】（1）根据函数图象，点A是两段函数的顶点，其中0≤x≤1时，图象的解析式为y1＝﹣3x2+mx，可知对称轴，从而根据x＝﹣＝﹣＝1，可求得m的值，则可得y1的解析式，根据二次函数的性质可得答案．
（2）由（1）可知，顶点A（1，3），设y2＝n（x﹣1）2+3，把（7，0）代入，求得n的值，则可知y2的解析式，分别令y1＝2.25，y2＝2.25，得到关于x的方程，求得方程的解，再结合相应的取值范围即可得出答案．
解：（1）∵x＝﹣＝﹣＝1，
∴m＝6，
∴y1＝﹣3x2+6x，
∴当x＝1时，y1有最大值，最大值为：﹣3+6＝3．
（2）由（1）可知，顶点A（1，3），设y2＝n（x﹣1）2+3，
把（7，0）代入得：0＝n（7﹣1）2+3，
解得：n＝﹣，
∴y2＝﹣（x﹣1）2+3，
当y1＝2.25时，2.25＝﹣3x2+6x，
解得：x1＝1.5（舍），x2＝0.5；
当y2＝2.25时，2.25＝﹣（x﹣1）2+3，
解得：x3＝﹣2（舍），x4＝4．
4﹣0.5＝3.5（小时）．
∴需要维护3.5小时才能保证系统全程正常运行．
26．如图，已知线段AB和直线l．
（1）用直尺和圆规在图①的直线l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°；
（2）你能在图②的直线l上找到点P，使得∠APB最大吗？在图中画出示意图，并写出你的思路．
【分析】（1）在线段AB的上方作等边△OAB，以O为圆心，OA为半径作⊙O交直线l于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2即可；
（2）当经过A，B两点的圆与直线l相切于点P时，∠APB的值最大．
解：（1）如图①中，点P1，P2即为所求；
（2）能．如图②中，∠APB即为所求．
27．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ﹣ ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ﹣1 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 7 ．
【分析】（1）在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）连接OA交⊙O于点P，根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【解答】（1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，
连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OP﹣OP＝﹣，
故答案是﹣；
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）是A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝，
∴A1B＝；
故答案是﹣1；
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝
＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN
＝10﹣1﹣2
＝7，
故答案是7．
年龄/岁
13
14
15
16
人数
5
23
▃
▃
次序
一
二
三
四
五
六
七
八
平均数
方差
甲
9
6
6
8
7
6
6
8
a
1.25
乙
7
7
4
5
8
7
10
8
7
b
年龄/岁
13
14
15
16
人数
5
23
▃
▃
次序
一
二
三
四
五
六
七
八
平均数
方差
甲
9
6
6
8
7
6
6
8
a
1.25
乙
7
7
4
5
8
7
10
8
7
b
x
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
y
﹣1
1
1．下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+cC．y＝x2+D．s＝2t2﹣2t+1
2．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A．B．πC．D．
3．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠B＝128°，则∠D的度数为（ ）
A．108°B．106°C．104°D．102°
4．某校航模兴趣小组共有50位同学，他们的年龄分布如表：
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
5．若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（ ）
A．2B．4﹣C．D．﹣
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 ．
8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ °．
9．将二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为 ．
10．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会 （填“变大”、“变小”、“不变”或“不能确定”）．
11．一个袋子中有2个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的情况下，随机摸出一个红球的概率是，则袋中有 个白球．
12．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若＝，则∠B＝ °．
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0；②当时x＝2，y的值等于1；③当x＞3，y的值小于0．正确的序号是 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为 cm．
15．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．射击爱好者甲、乙的近8次比赛的分析如下表（成绩单位：环）：
（1）求a、b的值；
（2）从两个不同角度评价两人的射击水平．
18．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
19．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．
20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积为 ．
21．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m为常数，且m＜0）．
（1）若该函数图象与y轴交于点（0，5），
①求图象与x轴的交点坐标；
②当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ．
（2）将该二次函数的图象向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图象经过点（0，﹣2），则k的取值范围是 ．
22．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
23．根据函数表达式y＝，画出它的图象，并描述它的图象具有哪些特征．
24．如图，在△ABC中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
25．2020年12月12日零时，某电商平台“双十二”购物狂欢节预售付尾款活动正式开启，如图是织里童装某产品每小时的成交量y（万件）与时间x（时）的函数图象，y与x的关系正好可用两段二次函数y1，y2的图象来表示，点A是两段函数的顶点，其中0≤x≤1时，图象的解析式为y1＝﹣3x2+mx；1≤x≤7时，图象的解析式为y2；
（1）根据函数图象，求几时成交量达到最大值？最大值为多少？
（2）系统平台显示，当成交量达到2.25万件以上时（包括2.25万件），需要专门安排后台技术人员做维护，请问：需要维护多少时间才能保证系统全程正常运行？
26．如图，已知线段AB和直线l．
（1）用直尺和圆规在图①的直线l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°；
（2）你能在图②的直线l上找到点P，使得∠APB最大吗？在图中画出示意图，并写出你的思路．
27．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列函数中一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1B．y＝ax2+bx+cC．y＝x2+D．s＝2t2﹣2t+1
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
解：A．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（ ）
A．B．πC．D．
【分析】利用弧长公式l＝即可直接求解．
解：弧长是：＝．
故选：D．
3．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠B＝128°，则∠D的度数为（ ）
A．108°B．106°C．104°D．102°
【分析】连接AD．首先证明∠ADC＝∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
解：连接AD．
∵，
∴∠ADC＝∠ADE，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣128°＝52°，
∴∠CDE＝2×52°＝104°，
故选：C．
4．某校航模兴趣小组共有50位同学，他们的年龄分布如表：
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（ ）
A．平均数、众数B．众数、中位数
C．平均数、方差D．中位数、方差
【分析】根据众数、中位数的定义进行判断即可．
解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而13岁的有5人，14岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是14岁，因此中位数是14岁，不会受15岁，16岁人数的影响；
因为14岁有23人，而13岁的有5人，15岁、16岁共有22人，因此众数是14岁；
故选：B．
5．若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】先求出二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性即可解答．
解：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴A（﹣，y1）与点（，y1）关于直线x＝﹣2对称，
∵﹣＜＜，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
6．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（ ）
A．2B．4﹣C．D．﹣
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：连接AC交EF于M，连接OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD＝4，
∴OA＝OC＝2，
∵△AEF是等边三角形，
∴AM⊥EF，∠OFM＝30°，
∴OM＝OF＝，
∴CM＝，
∴∠ACD＝45°，∠CMG＝90°，
∴∠CGM＝45°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴GH＝2CM＝2．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 x1＝1，x2＝2 ．
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．
解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x＝．
又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．
故答案是：x1＝1，x2＝2．
8．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝ 150 °．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到＝2π•5，然后解关于θ的方程即可．
解：根据题意得＝2π•5，
解得θ＝150．
故答案为150．
9．将二次函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为 y＝﹣（x﹣2）2+3 ．
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出函数解析式．
解：将函数y＝﹣x2的图象先向右平移2个单位长度得到y＝﹣（x﹣2）2，
再向上平移3个单位长度后，得到y＝﹣（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+3．
10．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会 变小 （填“变大”、“变小”、“不变”或“不能确定”）．
【分析】求出去掉一个最高分和一个最低分后的数据的方差，比较得出答案．
解：去掉一个最高分和一个最低分后为88，90，92，
平均数为＝90，
方差为[（88﹣90）2+（90﹣90）2+（92﹣90）2]＝≈2.67（分2），
因为5.2＞2.67，
所以方差变小了，
故答案为：变小．
11．一个袋子中有2个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的情况下，随机摸出一个红球的概率是，则袋中有 8 个白球．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，求出即可．
解：设白球x个，根据题意可得：＝，
解得：x＝8，
故袋中有8个白球．
故答案为：8
12．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与相交于点D．若＝，则∠B＝ 18 °．
【分析】如图，连接OC．首先证明＝，即可推出∠AOC＝×180°＝36°解决问题；
解：如图，连接OC．
∵＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∴∠AOC＝×180°＝36°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵∠AOC＝∠B+∠OCB，
∴∠B＝18°，
故答案是：18
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0；②当时x＝2，y的值等于1；③当x＞3，y的值小于0．正确的序号是 ①③ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：①如图所示，抛物线开口方向向下，则a＜0．
对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0．
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
综上所述，a＜0，b＞0，c＜0．
故①正确；
②∵抛物线与x轴另一交点横坐标0＜x＜1，
∴抛物线的顶点横坐标1.5＜x＜2．
∵抛物线开口向下，且过点（1，1），
∴点（1，1）关于对称轴对称的点的横坐标大于2，
∴当x＝2时，y的值大于1，故②错误；
③观察函数图象，可知：当x＞3时，y的值小于0，
故③正确；
故答案为：①③．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为 10 cm．
【分析】连接OC，设⊙O的半径是rcm，根据垂径定理得出CM＝DM＝4cm，根据勾股定理得出关于r的方程，再求出方程的解即可．
解：连接OC，设⊙O的半径是rcm，则OB＝OC＝rcm，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8cm，
∴CM＝DM＝4cm，∠OMC＝90°，
由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径是5cm，
∴直径AB的长是10cm，
故答案为：10．
15．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是 ﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2 ．
【分析】根据题意得到（x﹣m）2﹣1＜0，即，解得m﹣1＜x＜m+1，把x的值分别代入即可求得．
解：由题意得y＝（x﹣m）2﹣1＜0，
∴，
∴m﹣1＜x＜m+1，
当x＝﹣3时，则﹣4＜m＜﹣2，
当x＝﹣1时，则﹣2＜m＜0，
当x＝1时，则0＜m＜2，
∴m的取值范围是﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2，
故答案为：﹣4＜m＜2且m≠0，m≠﹣2．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 5π ．
【分析】由AB是直径，得∠APB＝90°，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，由三角形中位线知ME⊥MF，即∠EMF＝90°，则点M在以EF为直径的半圆上，即可得出答案．
解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，
∴AB＝＝＝20，
连接AP，BP，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
即AP⊥BP，
取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，
在△BPC中，
∵M，E为PC、BC的中点，
∴ME∥BP，ME＝，
在△APC中，
∵点M、F为PC、AC的中点，
∴MF∥AP，MF＝，
∴ME⊥MF，
即∠EMF＝90°，
∴点M在以EF为直径的半圆上，
∴EF＝AB＝10，
∴点M的运动路径长为＝5π，
故答案为：5π．
三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．射击爱好者甲、乙的近8次比赛的分析如下表（成绩单位：环）：
（1）求a、b的值；
（2）从两个不同角度评价两人的射击水平．
【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式分别求出a和b即可；
（2）从平均数上来看，甲和乙的发挥水平相当，再从方差上进行分析，甲的方差小，发挥稳定，从而得出答案．
解：（1）甲的平均数是：a＝×（9+6+6+8+7+6+6+8）＝7（环），
乙的方差b＝[3（7﹣7）2+（4﹣7）2+（5﹣7）2+2（8﹣7）2+（10﹣7）2]＝3（环）；
（2）甲和乙的平均数一样，射击水平相当；甲的方差比乙的方差小，则甲发挥稳定．
18．某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．
解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案为：．
19．已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．
【分析】（1）证法一：令y＝0，可得关于x的一元二次方程，解得两个不同的实数根，即可证得结论；
证法二：令y＝0，可得关于x的一元二次方程，运用根的判别式即可证得结论；
（2）根据抛物线与x轴两交点横坐标分别为m、m+1，利用中点公式可得点C坐标为（m+，n），由S△ABC＝AB•|n|＝|n|＝1，可得n＝±2，将点C（m+，2）和C（m+，﹣2）分别代入抛物线解析式，即可求得答案．
【解答】（1）证法一：令y＝0，得a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，
化简得：a（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+1，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
证法二：令y＝0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，
设z＝x﹣m，则az2﹣az＝0，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2，
∵a≠0，
∴a2＞0，
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）由（1）得，抛物线与x轴两交点横坐标分别为m、m+1，
∴AB＝1，且根据抛物线对称性得顶点横坐标为：＝m+，
设点C坐标为（m+，n），
∴S△ABC＝AB•|n|＝|n|＝1，
∴|n|＝2，
∴n＝±2，
将点C（m+，2）和C（m+，﹣2）分别代入抛物线解析式y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m），
得：2＝a（m+﹣m）2﹣a（m+﹣m）或﹣2＝a（m+﹣m）2﹣a（m+﹣m），
整理得：﹣a＝2或﹣a＝﹣2，
解得：a＝﹣8或8．
20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB、DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积为 ﹣ ．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC＝∠ACO，加上∠ACO＝∠CAO，从而得到∠DAC＝∠CAO；
（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27＝（r+3）2，解得r＝3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，
∵OE2+EC2＝OC2，
∴r2+27＝（r+3）2，
解得r＝3，
∴OC＝3，OE＝6，
∴cs∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB＝3×3﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
21．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m为常数，且m＜0）．
（1）若该函数图象与y轴交于点（0，5），
①求图象与x轴的交点坐标；
②当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ﹣4≤y＜5 ．
（2）将该二次函数的图象向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图象经过点（0，﹣2），则k的取值范围是 k≥ ．
【分析】（1）①运用待定系数法可求得函数解析式为y＝x2+6x+5，令y＝0，得x2+6x+5＝0，解方程即可求得答案；
②利用二次函数的最值和增减性质即可求得答案；
（2）平移后的函数解析式为：y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1﹣k，将（0，﹣2）代入，可得k＝（m+）2+，即可得出答案．
解：（1）①∵该函数过点（0，5），
∴将（0，5）代入y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1，
得：m2+m﹣1＝5，
解得：m1＝﹣3，m2＝2，
∵m＜0，
∴m＝﹣3，
∴该函数解析式为y＝x2+6x+5，
令y＝0，得x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣5，0）；
②∵抛物线y＝x2+6x+5的对称轴为直线x＝﹣3，
∴在﹣4＜x＜0范围内，当x＝﹣3时，函数值取到最小值y＝﹣4，
当x＝0时，函数值取到最大值y＝5．
∴y的取值范围是﹣4≤y＜5；
故答案为﹣4≤y＜5．
（2）∵二次函数的图象向下平移k（k＞0）个单位长度，
∴平移后的函数解析式为：
y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1﹣k，
将（0，﹣2）代入，得：﹣2＝m2+m﹣1﹣k，
整理得：k＝m2+m+1，
∴k＝（m+）2+，
∵m＝﹣时，k有最小值，
∴k的范围为k≥；
故答案为k≥．
22．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；
（3）若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
【分析】（1）直接利用直角三角形面积求法得出答案；
（2）利用已知得出y＝35，进而解方程得出答案；
（3）利用配方法得出函数顶点式，再利用二次函数增减性得出答案．
解：（1）由题意可得：y＝（8﹣x）（6﹣x）
＝x2﹣14x+48（0＜x＜6）；
（2）由题意可得：y＝48﹣13＝35，
则x2﹣14x+48＝35，
即（x﹣1）（x﹣13）＝0，
解得：x1＝1，x2＝13，
经检验得：x＝13不合题意，舍去，
答：x的值为1；
（3）y＝x2﹣14x+48
＝（x﹣7）2﹣1
当0.5≤x≤1时，y随x的增大而减小，
故当x＝0.5时，y最大，y＝m2．
23．根据函数表达式y＝，画出它的图象，并描述它的图象具有哪些特征．
【分析】根据函数的解析式作出函数的图象，然后描述其所处的位置及其增减性即可．
解：列表如下：
函数y＝表达式y＝的图象如下图：
函数的图象是两条曲线，关于y轴对称，两个分支分别位于一、二象限，在第二象限y随着x的增大而增大，在第一象限y随着x的增大而减小．
24．如图，在△ABC中，AB＝AE，以AB为直径作⊙O，与边BE交于点C，过点C作CD⊥AE，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，证明OC∥AE，则∠OCD＝∠CDE＝90°，由切线的判定定理即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，根据勾股定理求出AC的长，再由等腰三角形的性质得EC＝BC＝6，再用面积法列方程求出CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵AB＝AE，
∴∠E＝∠B，
∴∠OCB＝∠E，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE于点D，
∴∠CDE＝90°，
∴∠OCD＝∠CDE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BE，
∵AB＝AE，
∴EC＝BC＝6，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵∠ACE＝90°，CD⊥AE，AE＝AB＝10，
∴AE•CD＝AC×EC＝S△ACE，
∴×10CD＝×8×6，
∴CD＝，
∴CD的长为．
25．2020年12月12日零时，某电商平台“双十二”购物狂欢节预售付尾款活动正式开启，如图是织里童装某产品每小时的成交量y（万件）与时间x（时）的函数图象，y与x的关系正好可用两段二次函数y1，y2的图象来表示，点A是两段函数的顶点，其中0≤x≤1时，图象的解析式为y1＝﹣3x2+mx；1≤x≤7时，图象的解析式为y2；
（1）根据函数图象，求几时成交量达到最大值？最大值为多少？
（2）系统平台显示，当成交量达到2.25万件以上时（包括2.25万件），需要专门安排后台技术人员做维护，请问：需要维护多少时间才能保证系统全程正常运行？
【分析】（1）根据函数图象，点A是两段函数的顶点，其中0≤x≤1时，图象的解析式为y1＝﹣3x2+mx，可知对称轴，从而根据x＝﹣＝﹣＝1，可求得m的值，则可得y1的解析式，根据二次函数的性质可得答案．
（2）由（1）可知，顶点A（1，3），设y2＝n（x﹣1）2+3，把（7，0）代入，求得n的值，则可知y2的解析式，分别令y1＝2.25，y2＝2.25，得到关于x的方程，求得方程的解，再结合相应的取值范围即可得出答案．
解：（1）∵x＝﹣＝﹣＝1，
∴m＝6，
∴y1＝﹣3x2+6x，
∴当x＝1时，y1有最大值，最大值为：﹣3+6＝3．
（2）由（1）可知，顶点A（1，3），设y2＝n（x﹣1）2+3，
把（7，0）代入得：0＝n（7﹣1）2+3，
解得：n＝﹣，
∴y2＝﹣（x﹣1）2+3，
当y1＝2.25时，2.25＝﹣3x2+6x，
解得：x1＝1.5（舍），x2＝0.5；
当y2＝2.25时，2.25＝﹣（x﹣1）2+3，
解得：x3＝﹣2（舍），x4＝4．
4﹣0.5＝3.5（小时）．
∴需要维护3.5小时才能保证系统全程正常运行．
26．如图，已知线段AB和直线l．
（1）用直尺和圆规在图①的直线l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°；
（2）你能在图②的直线l上找到点P，使得∠APB最大吗？在图中画出示意图，并写出你的思路．
【分析】（1）在线段AB的上方作等边△OAB，以O为圆心，OA为半径作⊙O交直线l于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2即可；
（2）当经过A，B两点的圆与直线l相切于点P时，∠APB的值最大．
解：（1）如图①中，点P1，P2即为所求；
（2）能．如图②中，∠APB即为所求．
27．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ﹣ ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ﹣1 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 7 ．
【分析】（1）在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）连接OA交⊙O于点P，根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【解答】（1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，
连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OP﹣OP＝﹣，
故答案是﹣；
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）是A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝，
∴A1B＝；
故答案是﹣1；
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝
＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN
＝10﹣1﹣2
＝7，
故答案是7．
年龄/岁
13
14
15
16
人数
5
23
▃
▃
次序
一
二
三
四
五
六
七
八
平均数
方差
甲
9
6
6
8
7
6
6
8
a
1.25
乙
7
7
4
5
8
7
10
8
7
b
年龄/岁
13
14
15
16
人数
5
23
▃
▃
次序
一
二
三
四
五
六
七
八
平均数
方差
甲
9
6
6
8
7
6
6
8
a
1.25
乙
7
7
4
5
8
7
10
8
7
b
x
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
y
﹣1
1
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