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山东省菏泽市郓城县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份山东省菏泽市郓城县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省菏泽市郓城县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A．2x+3y＝4 B．x2＝0 C．x2﹣2x+1＞0 D．＝x+2
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（ ）
A．22.5° B．30° C．35° D．45°
4．从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ）
A．10个 B．20个 C．30个 D．无法确定
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
6．一元二次方程x（x﹣2）＝﹣3根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
7．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．BC：DE＝1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2
C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2
D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2
8．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB＝BC；②AB⊥BC；③AD＝BC；④AC⊥BD；⑤AC＝BD，从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为 ．
10．如图线段AB＝20cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PA的长为 cm．（结果保留根号）
11．如图，要在长100m、宽90m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6块绿地的面积共8448m2，设道路的宽为xm，可列方程为 ．
12．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为 ．
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）*1＝0的解为 ．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 ．
三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解下列方程：
（1）x2+2x﹣10＝0．
（2）（x﹣3）（x+4）＝18．
16．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
17．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣3，0）、C（0，0）、
（1）请直接写出点A关于x轴对称的点A′的坐标；
（2）以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A1B1C1，使放大前后位似比为1：2，请画出图形，并求出△A1B1C1的面积；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
19．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）OE AE（填＜、＝、＞）；
（2）求证：四边形OEFG是矩形；
（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．
22．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
23．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月增长率；
（2）该经销商决定开拓市场，此电动自行车的进价为2000元/辆，经测算在新市场中，当售价为2750元/辆时，月销售量为200辆，若在原售价的基础上每辆降价50元，则月销售量可多售出10辆．为使月销售利润达到75000元，则该品牌电动自行车的实际售价应定为多少元？
24．如图，矩形ABCD的一条边AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（3）若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2＝AD•OB．
参考答案
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A．2x+3y＝4 B．x2＝0 C．x2﹣2x+1＞0 D．＝x+2
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、含有不等号，不是一元二次方程；
D、含有分式，不是一元二次方程．
故选：B．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：EC＝BD：DF＝2：5，
AC：AE＝BD：BF＝2：7．
故选：A．
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（ ）
A．22.5° B．30° C．35° D．45°
【分析】根据正方形的性质可得∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质即可得到结果．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE＝ACB＝22.5°．
故选：A．
4．从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ）
A．10个 B．20个 C．30个 D．无法确定
【分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是＝，
设口袋中大约有x个白球，则＝，
解得x＝20．
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝1，
∴OB＝3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
6．一元二次方程x（x﹣2）＝﹣3根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：方程化为一般式为：x2﹣2x+3＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
7．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．BC：DE＝1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2
C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2
D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2
【分析】根据相似三角形对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各选项分析判断即可得解．
解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE＝1：2不一定成立，故本选项错误；
B、△ABC的面积：△DEF的面积＝1：4，故本选项错误；
C、∠A的度数：∠D的度数＝1：1，故本选项错误；
D、△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2正确，故本选项正确．
故选：D．
8．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点B重合时是矩形．
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB＝BC；②AB⊥BC；③AD＝BC；④AC⊥BD；⑤AC＝BD，从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为 ．
【分析】根据菱形的判定方法确定能得到菱形的方法，然后利用概率公式求解即可．
解：能判断▱ABCD是菱形的有：①AB＝BC、④AC⊥BD，
所以从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为，
故答案为：．
10．如图线段AB＝20cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PA的长为 （10﹣10） cm．（结果保留根号）
【分析】直接运用黄金分割的比值进行计算即可．
解：∵线段AB＝20cm，点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），
∴PA＝AB＝×20＝10﹣10（cm），
故答案为：（10﹣10）．
11．如图，要在长100m、宽90m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6块绿地的面积共8448m2，设道路的宽为xm，可列方程为 （100﹣2x）（90﹣x）＝8448 ．
【分析】把所修的3条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣2x）（90﹣x）＝8448，
故答案为：（100﹣2x）（90﹣x）＝8448．
12．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为 4 ．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝2AB，再根据矩形的对角线相等解答．
解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝4．
故答案为：4．
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）*1＝0的解为 x1＝1，x2＝3 ．
【分析】直接根据定义的这种运算的规则求解．
解：∵a*b＝a2﹣b2，
∴（x﹣2）*1＝（x﹣2）2﹣12，
解方程（x﹣2）2﹣12＝0，
（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 1：3 ．
【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的长，由相似三角形的性质可得＝（）2＝，即可求解．
解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，
∴△AEM∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴EM＝5，
∵△AEM∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，
故答案为：1：3．
三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解下列方程：
（1）x2+2x﹣10＝0．
（2）（x﹣3）（x+4）＝18．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x2+2x﹣10＝0，
移项得：x2+2x＝10，
配方得：x2+2x+1＝10+1，
（x+1）2＝11，
开方得：x+1＝，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）整理得：x2+x﹣30＝0，
（x+6）（x﹣5）＝0，
x+6＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣6，x2＝5．
16．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此即可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）代入x＝﹣1即可求出k值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝﹣1代入原方程，得：1﹣k﹣2＝0，
∴k＝﹣1．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1•x1＝﹣2，
∴x1＝2．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
17．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣3，0）、C（0，0）、
（1）请直接写出点A关于x轴对称的点A′的坐标；
（2）以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A1B1C1，使放大前后位似比为1：2，请画出图形，并求出△A1B1C1的面积；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【分析】（1）易得点A的坐标，让点A的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，即为点A′的坐标；
（2）连接AC延长到A′使A1C＝2AC，延长BC到B1，使B1C＝2BC，点C1的对应点为C，顺次连接各点即可，△A1B1C1的面积＝×底边×高．
（3）根据平行四边形的对比平行且相等画出相应的平行四边形，可得点A的坐标．
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，2），
∴点A关于x轴对称的点A′的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2，
∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）△A1B1C1的面积＝×6×4＝12；
（3）点D的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣4，2），（2，2）．
19．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B＝∠C，D又是BC的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD．
（2）利用（1）的结论可知，DE＝DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF．
∴四边形DFAE为正方形．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）OE ＝ AE（填＜、＝、＞）；
（2）求证：四边形OEFG是矩形；
（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质即可得出答案；
（2）先证OE是三角形ABD的中位线，得到推出OE∥FG，再证四边形OEFG是平行四边形，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（3）先由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝5；再由菱形的性质得FG＝OE＝5，然后由勾股定理得到AF＝3，于是得到结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝AE，
故答案为：＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．
【分析】充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．由∠BAD+∠ABC＝90°，∠C+∠ABC＝90°得∠BAF＝∠C；由∠ABO+∠AOB＝90°，∠AOB+∠COE＝90°得∠ABF＝∠COE．两对角对应相等判定三角形相似．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE＝90°．
∵∠BOA+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠COE．
∴△ABF∽△COE．
22．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．
解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB
∴△CGE∽△AHE
∴
即：
∴
∴AH＝11.9
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
23．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月增长率；
（2）该经销商决定开拓市场，此电动自行车的进价为2000元/辆，经测算在新市场中，当售价为2750元/辆时，月销售量为200辆，若在原售价的基础上每辆降价50元，则月销售量可多售出10辆．为使月销售利润达到75000元，则该品牌电动自行车的实际售价应定为多少元？
【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月增长率为x，根据该品牌电动自行车1月份及3月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月销售量为（200+10y）辆，根据月销售利润＝每辆电动自行车的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，再将其代入（2750﹣50y）中即可求出结论．
解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌电动自行车销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月销售量为（200+10y）辆，
依题意，得：（2750﹣2000﹣50y）（200+10y）＝75000，
整理，得：y2+5y﹣150＝0，
解得：y1＝﹣15（不合题意，舍去），y2＝10，
∴2750﹣50y＝2250．
答：该品牌电动自行车的实际售价应定为2250元．
24．如图，矩形ABCD的一条边AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（3）若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2＝AD•OB．
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠APO＝∠B＝90°，根据相似三角形的判定定理证明△OCP∽△PDA；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答；
（3）根据直角三角形的性质得到∠DAP＝30°，根据折叠的性质和相似三角形的性质解答即可．
解：（1）由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠OPC＝90°，∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠APD＝∠POC，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△OCP∽△PDA；
（2）∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴△OCP与△PDA的相似比为1：2，
∴PC＝AD＝3，
设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣3，
在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，即x2＝62+（x﹣3）2，
解得：x＝7.5，
即AB＝7.5；
（3）∵点P是CD边的中点，
∴DP＝DC，
∵AP＝AB＝CD，
∴DP＝AP，
∴∠DAP＝30°，
由折叠的性质可知，∠OAB＝∠OAP＝30°，
∵AD＝6，
∴DP2＝AP2﹣AD2，
∴DP2＝4DP2﹣62，
解得：DP＝2，
∴2DP＝AP＝4，
∴PC＝DP＝2，
由折叠性质可得：△APO≌△ABO，
∴AB＝AP＝4，
∵OB＝AB，
由勾股定理得：OB＝4，
∴2PC2＝2×（2）2＝24，AD•OB＝6×4＝24，
∴2PC2＝AD•OB．
2021-2022学年山东省菏泽市郓城县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A．2x+3y＝4 B．x2＝0 C．x2﹣2x+1＞0 D．＝x+2
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（ ）
A．22.5° B．30° C．35° D．45°
4．从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ）
A．10个 B．20个 C．30个 D．无法确定
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
6．一元二次方程x（x﹣2）＝﹣3根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
7．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．BC：DE＝1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2
C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2
D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2
8．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB＝BC；②AB⊥BC；③AD＝BC；④AC⊥BD；⑤AC＝BD，从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为 ．
10．如图线段AB＝20cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PA的长为 cm．（结果保留根号）
11．如图，要在长100m、宽90m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6块绿地的面积共8448m2，设道路的宽为xm，可列方程为 ．
12．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为 ．
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）*1＝0的解为 ．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 ．
三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解下列方程：
（1）x2+2x﹣10＝0．
（2）（x﹣3）（x+4）＝18．
16．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
17．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣3，0）、C（0，0）、
（1）请直接写出点A关于x轴对称的点A′的坐标；
（2）以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A1B1C1，使放大前后位似比为1：2，请画出图形，并求出△A1B1C1的面积；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
19．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）OE AE（填＜、＝、＞）；
（2）求证：四边形OEFG是矩形；
（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．
22．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
23．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月增长率；
（2）该经销商决定开拓市场，此电动自行车的进价为2000元/辆，经测算在新市场中，当售价为2750元/辆时，月销售量为200辆，若在原售价的基础上每辆降价50元，则月销售量可多售出10辆．为使月销售利润达到75000元，则该品牌电动自行车的实际售价应定为多少元？
24．如图，矩形ABCD的一条边AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（3）若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2＝AD•OB．
参考答案
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂到答题卡上，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程是（ ）
A．2x+3y＝4 B．x2＝0 C．x2﹣2x+1＞0 D．＝x+2
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
C、含有不等号，不是一元二次方程；
D、含有分式，不是一元二次方程．
故选：B．
2．如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：EC＝2：5 B．AB：CD＝2：5 C．CD：EF＝2：5 D．AC：AE＝2：5
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：EC＝BD：DF＝2：5，
AC：AE＝BD：BF＝2：7．
故选：A．
3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（ ）
A．22.5° B．30° C．35° D．45°
【分析】根据正方形的性质可得∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质即可得到结果．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAE＝ACB＝22.5°．
故选：A．
4．从口袋中随机摸出一球，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中有黑球10个和若干个白球，由此估计口袋中大约有多少个白球（ ）
A．10个 B．20个 C．30个 D．无法确定
【分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是＝，
设口袋中大约有x个白球，则＝，
解得x＝20．
故选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴＝，
∴＝，
解得：OA＝1，
∴OB＝3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
6．一元二次方程x（x﹣2）＝﹣3根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：方程化为一般式为：x2﹣2x+3＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0，
∴方程无实数根．
故选：C．
7．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．BC：DE＝1：2
B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2
C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2
D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2
【分析】根据相似三角形对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各选项分析判断即可得解．
解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE＝1：2不一定成立，故本选项错误；
B、△ABC的面积：△DEF的面积＝1：4，故本选项错误；
C、∠A的度数：∠D的度数＝1：1，故本选项错误；
D、△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2正确，故本选项正确．
故选：D．
8．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点B重合时是矩形．
解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB＝BC；②AB⊥BC；③AD＝BC；④AC⊥BD；⑤AC＝BD，从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为 ．
【分析】根据菱形的判定方法确定能得到菱形的方法，然后利用概率公式求解即可．
解：能判断▱ABCD是菱形的有：①AB＝BC、④AC⊥BD，
所以从中随机抽取一张卡片，能判定▱ABCD是菱形的概率为，
故答案为：．
10．如图线段AB＝20cm，若点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），则线段PA的长为 （10﹣10） cm．（结果保留根号）
【分析】直接运用黄金分割的比值进行计算即可．
解：∵线段AB＝20cm，点P是AB的黄金分割点（PA＞PB），
∴PA＝AB＝×20＝10﹣10（cm），
故答案为：（10﹣10）．
11．如图，要在长100m、宽90m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6块绿地的面积共8448m2，设道路的宽为xm，可列方程为 （100﹣2x）（90﹣x）＝8448 ．
【分析】把所修的3条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣2x）（90﹣x）＝8448，
故答案为：（100﹣2x）（90﹣x）＝8448．
12．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为 4 ．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝2AB，再根据矩形的对角线相等解答．
解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴AC＝2AB＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝4．
故答案为：4．
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）*1＝0的解为 x1＝1，x2＝3 ．
【分析】直接根据定义的这种运算的规则求解．
解：∵a*b＝a2﹣b2，
∴（x﹣2）*1＝（x﹣2）2﹣12，
解方程（x﹣2）2﹣12＝0，
（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 1：3 ．
【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的长，由相似三角形的性质可得＝（）2＝，即可求解．
解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，
∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，
∴△AEM∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF＝，
∴EM＝5，
∵△AEM∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，
∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，
故答案为：1：3．
三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解下列方程：
（1）x2+2x﹣10＝0．
（2）（x﹣3）（x+4）＝18．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x2+2x﹣10＝0，
移项得：x2+2x＝10，
配方得：x2+2x+1＝10+1，
（x+1）2＝11，
开方得：x+1＝，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）整理得：x2+x﹣30＝0，
（x+6）（x﹣5）＝0，
x+6＝0或x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣6，x2＝5．
16．已知：关于x的方程x2+kx﹣2＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此即可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）代入x＝﹣1即可求出k值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝k2﹣4×1×（﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝﹣1代入原方程，得：1﹣k﹣2＝0，
∴k＝﹣1．
设方程的另一个根为x1，
根据题意得：﹣1•x1＝﹣2，
∴x1＝2．
∴方程的另一个根为2，k值为﹣1．
17．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．
18．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣3，0）、C（0，0）、
（1）请直接写出点A关于x轴对称的点A′的坐标；
（2）以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A1B1C1，使放大前后位似比为1：2，请画出图形，并求出△A1B1C1的面积；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【分析】（1）易得点A的坐标，让点A的横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，即为点A′的坐标；
（2）连接AC延长到A′使A1C＝2AC，延长BC到B1，使B1C＝2BC，点C1的对应点为C，顺次连接各点即可，△A1B1C1的面积＝×底边×高．
（3）根据平行四边形的对比平行且相等画出相应的平行四边形，可得点A的坐标．
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，2），
∴点A关于x轴对称的点A′的横坐标为﹣1，纵坐标为﹣2，
∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）△A1B1C1的面积＝×6×4＝12；
（3）点D的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣4，2），（2，2）．
19．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B＝∠C，D又是BC的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD．
（2）利用（1）的结论可知，DE＝DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF．
∴四边形DFAE为正方形．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）OE ＝ AE（填＜、＝、＞）；
（2）求证：四边形OEFG是矩形；
（3）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质即可得出答案；
（2）先证OE是三角形ABD的中位线，得到推出OE∥FG，再证四边形OEFG是平行四边形，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
（3）先由菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝5；再由菱形的性质得FG＝OE＝5，然后由勾股定理得到AF＝3，于是得到结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AD＝AE，
故答案为：＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．
【分析】充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．由∠BAD+∠ABC＝90°，∠C+∠ABC＝90°得∠BAF＝∠C；由∠ABO+∠AOB＝90°，∠AOB+∠COE＝90°得∠ABF＝∠COE．两对角对应相等判定三角形相似．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE＝90°．
∵∠BOA+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠COE．
∴△ABF∽△COE．
22．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．
解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB
∴△CGE∽△AHE
∴
即：
∴
∴AH＝11.9
∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．
23．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据我市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月增长率；
（2）该经销商决定开拓市场，此电动自行车的进价为2000元/辆，经测算在新市场中，当售价为2750元/辆时，月销售量为200辆，若在原售价的基础上每辆降价50元，则月销售量可多售出10辆．为使月销售利润达到75000元，则该品牌电动自行车的实际售价应定为多少元？
【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月增长率为x，根据该品牌电动自行车1月份及3月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月销售量为（200+10y）辆，根据月销售利润＝每辆电动自行车的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，再将其代入（2750﹣50y）中即可求出结论．
解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌电动自行车销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌电动自行车应降价50y元销售，则月销售量为（200+10y）辆，
依题意，得：（2750﹣2000﹣50y）（200+10y）＝75000，
整理，得：y2+5y﹣150＝0，
解得：y1＝﹣15（不合题意，舍去），y2＝10，
∴2750﹣50y＝2250．
答：该品牌电动自行车的实际售价应定为2250元．
24．如图，矩形ABCD的一条边AD＝6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（3）若点P恰好是CD边的中点，求证：2PC2＝AD•OB．
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠APO＝∠B＝90°，根据相似三角形的判定定理证明△OCP∽△PDA；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答；
（3）根据直角三角形的性质得到∠DAP＝30°，根据折叠的性质和相似三角形的性质解答即可．
解：（1）由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠OPC＝90°，∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠APD＝∠POC，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△OCP∽△PDA；
（2）∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴△OCP与△PDA的相似比为1：2，
∴PC＝AD＝3，
设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣3，
在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，即x2＝62+（x﹣3）2，
解得：x＝7.5，
即AB＝7.5；
（3）∵点P是CD边的中点，
∴DP＝DC，
∵AP＝AB＝CD，
∴DP＝AP，
∴∠DAP＝30°，
由折叠的性质可知，∠OAB＝∠OAP＝30°，
∵AD＝6，
∴DP2＝AP2﹣AD2，
∴DP2＝4DP2﹣62，
解得：DP＝2，
∴2DP＝AP＝4，
∴PC＝DP＝2，
由折叠性质可得：△APO≌△ABO，
∴AB＝AP＝4，
∵OB＝AB，
由勾股定理得：OB＝4，
∴2PC2＝2×（2）2＝24，AD•OB＝6×4＝24，
∴2PC2＝AD•OB．
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