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江苏省无锡市锡山区锡北片2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份江苏省无锡市锡山区锡北片2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共37页。试卷主要包含了若⊙O的半径为5，圆心的坐标为等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级第一学期期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2y+1＝0
C．x2﹣6＝（x+3）2 D．x2﹣1＝0
2．若⊙O的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），则点P与⊙O位置关系（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜﹣1 C．k＞1 D．k＞﹣1
4．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（ ）
A．4.5m B．6m C．7.2m D．8m
5．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．36° B．45° C．54° D．72°
7．某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元．下列所列方程中正确的是（ ）
A．150（1+2a%）＝216
B．150（1+a%）×2＝216
C．150（1+a%）2＝216
D．150（1+a%）+150（1+a%）2＝216
8．如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝16，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF＝12，则DF的值为（ ）
A．4.8 B．6 C．10 D．5
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD：AD＝4：3，若反比例函数y＝经过A，B两点，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．4
10．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12，AC＝4，D为OB中点，E为AB上一动点，则DE+CE的最小值为（ ）
A． B． C．18 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）
11．已知，则＝ ．
12．在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为 km．
13．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 m．
15．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．下列说法：（1）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（2）等弧所对的圆心角相等；（3）平分弦的直径，也平分这条弦所对的两条弧；（4）内心到三角形三条边的距离相等，其中正确的序号是 ．
17．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别在BC，CD上，若BE＝，∠EAF＝45°，则AF＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）解方程：
（1）（x﹣2）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0；
（3）x2﹣2x﹣6＝0（配方法）；
（4）x（x﹣3）+x﹣3＝0．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 ；
（2）△ABC外接圆的半径是 ；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
23．如图，点M，N在以AB为直径的⊙O上，，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，直线EF过点M，且EF⊥BD，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线
（2）若CM＝5，CN＝6，求BN的长．
24．如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．
（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．
25．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
26．在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
（1）问题情境：如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，则△ABC的外接圆的半径为 ；
（2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）迁移应用：已知，在△ABC中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝4，求BC的取值范围．
27．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ cm，点Q的运动速度为 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2y+1＝0
C．x2﹣6＝（x+3）2 D．x2﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．x2+2y+1＝0是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C．x2﹣6＝（x+3）2，整理后化为：6x+15＝0，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．x2﹣1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．若⊙O的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），则点P与⊙O位置关系（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定
【分析】先利用勾股定理计算出点P到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O位置关系．
解：∵圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），
∴点P到圆心的距离＝＝5，
而⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜﹣1 C．k＞1 D．k＞﹣1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣1．
故选：D．
4．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（ ）
A．4.5m B．6m C．7.2m D．8m
【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得身高与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度．
解：设旗杆的高度为xm，
根据题意得：，
解得：x＝8，
即旗杆的高度为8m，
故选：D．
5．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．36° B．45° C．54° D．72°
【分析】如图，连接BC．求出∠ABC即可解决问题．
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，
∴∠ADC＝∠ABC＝54°，
故选：C．
7．某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元．下列所列方程中正确的是（ ）
A．150（1+2a%）＝216
B．150（1+a%）×2＝216
C．150（1+a%）2＝216
D．150（1+a%）+150（1+a%）2＝216
【分析】根据该纪念品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：150（1+a%）2＝216．
故选：C．
8．如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝16，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF＝12，则DF的值为（ ）
A．4.8 B．6 C．10 D．5
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再次利用三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求解即可．
解：∵点F是△ABC的重心，
∴EF＝BF＝×12＝6，
∵AB＝BC，BE是中线，
∴AE＝AC＝×16＝8，BE⊥AC，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF＝＝＝10，
∴DF＝AF＝5．
故选：D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD：AD＝4：3，若反比例函数y＝经过A，B两点，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．4
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，可得△COD∽△AED，根据对应边成比例可知CO＝4，进而可得A的坐标，代入即可得k．
解：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵∠ODC＝∠EDA，∠COD＝∠AED＝90°，
∴△COD∽△AED，
∴＝＝，
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为直角三角形，
∴CO＝AB＝×8＝4，
∴AE＝3，
∴OE＝＝＝，
∴A（，﹣3），
把A的坐标代入y＝可得k＝﹣3．
故选：C．
10．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12，AC＝4，D为OB中点，E为AB上一动点，则DE+CE的最小值为（ ）
A． B． C．18 D．
【分析】可以延长OA至点F，使OF＝OA＝18，证明△FOE∽△EOC，当FE与ED共线时，DE+CE最小，且最小值为FD的长，根据勾股定理即可求得FD的长．
解：如图，
延长OA至点F，使OF＝OA＝18，
则＝＝，∠FOE＝∠EOC
∴△FOE∽△EOC，
∴FE＝CE
当FE与ED共线时，DE+CE最小，且最小值为FD的长，
FD＝＝＝．
∴DE+CE的最小值为6．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）
11．已知，则＝ ﹣ ．
【分析】根据合分比定理[如果a：b＝c：d那么（a+b）：（a﹣b）＝（c+d）：（c﹣d））（b、d、a﹣b、c﹣d≠0）]来解答即可．
解：由已知，得
，
即＝﹣．
12．在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为 1.5 km．
【分析】设A、B两地的实际距离为x厘米，根据比例尺的定义得到，然后利用比例性质计算出x，再把单位化为千米即可．
解：设A、B两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，
解得x＝150000，
150000cm＝1.5km．
故答案为1.5．
13．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 12π cm2．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12πcm2．
故答案为：12π．
14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 6π m．
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
解：l＝＝6π，
故答案为：6π．
15．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 ．
【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．
解：x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，
∴x1＝3，x2＝6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理，
∴此时不能组成三角形，
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15，
故答案为：15．
16．下列说法：（1）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（2）等弧所对的圆心角相等；（3）平分弦的直径，也平分这条弦所对的两条弧；（4）内心到三角形三条边的距离相等，其中正确的序号是 （2）（4） ．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对（1）（2）进行判断；根据垂径定理的推论对（3）进行判断；根据三角形内心的性质对（4）进行判断．
解：在同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的弧对应相等，所以（1）错误；
等弧所对的圆心角相等，所以（2）正确；
平分弦（非直径）的直径，也平分这条弦所对的两条弧，所以（3）错误；
内心到三角形三条边的距离相等，所以（4）正确．
故答案为：（2）（4）．
17．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ．
【分析】由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，然后根据条件求出所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．
解：∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的圆上运动，
以AC为直径画半圆AC，连接OA，
当点E与B重合时，此时点F与G重合，
当点E与D重合时，此时点F与A重合，
∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，
∵点G为OD的中点，
∴OG＝OD＝OA＝2，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG＝60°，AG＝2，
∵OA＝OC，
∴∠ACG＝30°，
∴AC＝2AG＝4，
∴所在圆的半径为2，圆心角为60°，
∴的长为，
故答案为：．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别在BC，CD上，若BE＝，∠EAF＝45°，则AF＝ ．
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，则NF＝x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝6，
∴NF＝x，AN＝6﹣x，
∵AB＝3，
∴AM＝BM＝，
∵BE＝，
∴，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAE+∠NAF＝45°，
∵∠MAE+∠AEM＝45°，
∴∠MEA＝∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴．
解得，x＝2．
∴AF＝＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）解方程：
（1）（x﹣2）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0；
（3）x2﹣2x﹣6＝0（配方法）；
（4）x（x﹣3）+x﹣3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（3）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（4）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵（x﹣2）2﹣9＝0，
∴（x﹣2）2＝9，
则x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（3x+1）＝0，
则x﹣1＝0或3x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣；
（3）∵x2﹣2x﹣6＝0，
∴x2﹣2x＝6，
则x2﹣2x+1＝6+1，即（x﹣1）2＝7，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（4）∵x（x﹣3）+x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，
解得：x＝﹣，a＝，
即a＝，方程的另一个根为﹣；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 （2，6） ；
（2）△ABC外接圆的半径是 ；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 （3，6） ；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）利用两点间距离公式计算即可；
（3）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；
（4）根据相似三角形的性质求出△A1B1C1的三边即可解决问题；
解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．
故答案为（2，6）．
（2）连接CO′．CO′＝＝，
∴△ABC外接圆的半径是．
故答案为．
（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，
∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．
观察图象可知M（3，6）
故答案为（3，6）．
（4）如图，△A1B1C1即为所求；
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
23．如图，点M，N在以AB为直径的⊙O上，，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，直线EF过点M，且EF⊥BD，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线
（2）若CM＝5，CN＝6，求BN的长．
【分析】（1）连接OM，根据垂直定义及角平分线定义得∠OMB＝∠MBF．然后再根据平行线的性质可得∠OME＝∠BFM＝90°，最后由切线的判定方法可得结论；
（2）根据圆的性质得∠ABN＝∠BMN．然后由相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】证明：（1）连接OM，
∵MF⊥BD，
∴∠BFM＝90°．
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM．
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF．
∴∠OMB＝∠MBF．
∴OM∥BF．
∴∠OME＝∠BFM＝90°．
∴MF是⊙O的切线．
（2）解：∵，
∴∠ABN＝∠BMN．
又∵∠N＝∠N，
∴△BCN∽△MBN．
∴．
∴．
∴BN＝．
24．如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．
（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．
【分析】（1）由∠AFB＝∠CFD、∠ABF＝∠CDF可得出△ABF∽△CDF，根据相似三角形的性质可求出AB的长度，此题得解；
（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，由∠AQB＝∠C′QD′、∠ABQ＝∠C′D′Q＝90°可得出△ABQ∽△C′D′Q，根据相似三角形的性质可求出D′Q的长度，进而可求出BQ的长，由BQ的长大于18米可得出小丽的影子不能完全落在地面上，同理可得出△PQN∽△AQB，再利用相似三角形的性质可求出PN的长度，此题得解．
解：（1）∵∠AFB＝∠CFD，∠ABF＝∠CDF，
∴△ABF∽△CDF，
∴＝，
∴AB＝•CD＝×1.6＝6.4．
∴灯杆AB的高度为6.4米．
（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，如图所示．
∵∠AQB＝∠C′QD′，∠ABQ＝∠C′D′Q＝90°，
∴△ABQ∽△C′D′Q，
∴＝，即＝，
∴D′Q＝，
BQ＝9+7+＝＞18，
∴小丽的影子不能完全落在地面上．
同理，可得出△PQN∽△AQB，
∴＝，即＝，
∴PN＝1．
∴小丽落在墙上的影长为1米．
25．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
【分析】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据1件A产品与1件B产品售价和为500元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，
依题意得：x+100+x＝500，
解得：x＝200，
∴x+100＝300．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，
依题意得：300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），
设a%＝m，则原方程可化简为5m2﹣m＝0，
解得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去），
∴a＝20．
答：a的值为20．
26．在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
（1）问题情境：如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，则△ABC的外接圆的半径为 6 ；
（2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）迁移应用：已知，在△ABC中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝4，求BC的取值范围．
【分析】（1）连接OB、OC，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案；
（2）作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径画圆，交垂直平分线于点P，可得图；
（3）作△ABC的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
解：（1）连接OB、OC，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
∴△ABC的外接圆的半径为6．
故答案为：6．
（2）如图，作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径画圆，交垂直平分线于点P，
（3）如图，作△ABC的外接圆，
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
当∠BAC＝90°时，BC为最长直径，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，
∴AC＝，
∴BC＝2AC＝，
当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC的取值范围为：4＜BC≤．
27．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ 30 cm，点Q的运动速度为 6 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
【分析】（1）设点Q的运动速度为acm/s，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由OF＝QC可求出t的值；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．
解：（1）设点Q的运动速度为acm/s，
则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，
∵AP＝6t，
∴S△PDQ＝（60﹣6×5）×5a＝450，
∴a＝6，
∴AB＝5a＝30，
故答案为：30，6；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，
QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，
∵OF∥QC且点F是DC的中点，
∴OF＝QC，
即4t＝（90﹣6t），
解得，t＝；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，
如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，
∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，
∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，
∵QP＝QH，
∴150﹣20t＝30，
∴t＝；
如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，
∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，
PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，
∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，
∵QP＝QH，
∴20t﹣150＝30，
∴t＝，
综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤．
28．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．
【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO，
∴∠BAD＝∠DOB，
∴∠ADB＝∠COD，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠COD＝∠CDO，
∴CD＝CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：
∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），
∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，
Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，
而OA∥MN，
∴∠AOM＝∠OMN，
∴tan∠AOM＝，即＝，
设AM＝3n，则OM＝8n，
Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，
又A的坐标为（﹣，0），
∴OA＝，
∴（3n）2+（8n）2＝（）2，
解得n＝1（n＝﹣1舍去），
∴AM＝3，OM＝8，
∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，
等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，
∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，
∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：
（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
Rt△BOC中，BC＝＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若＝，则＝，
解得x＝4，
∴此时OB＝4；
②若＝，则＝，
解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），
∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝•（8+x），
Rt△BOC中，BC＝＝•，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，
解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，
∴OB＝1，
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB 的长度为：4或4+或4﹣或9或1；
2021-2022学年江苏省无锡市锡山区锡北片九年级第一学期期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2y+1＝0
C．x2﹣6＝（x+3）2 D．x2﹣1＝0
2．若⊙O的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），则点P与⊙O位置关系（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜﹣1 C．k＞1 D．k＞﹣1
4．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（ ）
A．4.5m B．6m C．7.2m D．8m
5．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．36° B．45° C．54° D．72°
7．某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元．下列所列方程中正确的是（ ）
A．150（1+2a%）＝216
B．150（1+a%）×2＝216
C．150（1+a%）2＝216
D．150（1+a%）+150（1+a%）2＝216
8．如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝16，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF＝12，则DF的值为（ ）
A．4.8 B．6 C．10 D．5
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD：AD＝4：3，若反比例函数y＝经过A，B两点，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．4
10．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12，AC＝4，D为OB中点，E为AB上一动点，则DE+CE的最小值为（ ）
A． B． C．18 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）
11．已知，则＝ ．
12．在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为 km．
13．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 cm2．（结果保留π）
14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 m．
15．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
16．下列说法：（1）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（2）等弧所对的圆心角相等；（3）平分弦的直径，也平分这条弦所对的两条弧；（4）内心到三角形三条边的距离相等，其中正确的序号是 ．
17．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别在BC，CD上，若BE＝，∠EAF＝45°，则AF＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）解方程：
（1）（x﹣2）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0；
（3）x2﹣2x﹣6＝0（配方法）；
（4）x（x﹣3）+x﹣3＝0．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 ；
（2）△ABC外接圆的半径是 ；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 ；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
23．如图，点M，N在以AB为直径的⊙O上，，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，直线EF过点M，且EF⊥BD，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线
（2）若CM＝5，CN＝6，求BN的长．
24．如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．
（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．
25．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
26．在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
（1）问题情境：如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，则△ABC的外接圆的半径为 ；
（2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）迁移应用：已知，在△ABC中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝4，求BC的取值范围．
27．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ cm，点Q的运动速度为 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
28．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2y+1＝0
C．x2﹣6＝（x+3）2 D．x2﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．x2+2y+1＝0是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C．x2﹣6＝（x+3）2，整理后化为：6x+15＝0，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D．x2﹣1＝0是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：D．
2．若⊙O的半径为5，圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），则点P与⊙O位置关系（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定
【分析】先利用勾股定理计算出点P到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O位置关系．
解：∵圆心的坐标为（0，0），点P的坐标为（﹣4，3），
∴点P到圆心的距离＝＝5，
而⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜﹣1 C．k＞1 D．k＞﹣1
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣1．
故选：D．
4．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（ ）
A．4.5m B．6m C．7.2m D．8m
【分析】由于光线是平行的，影长都在地面上，那么可得身高与影长构成的三角形和旗杆和影长构成的三角形相似，利用对应边成比例可得旗杆的高度．
解：设旗杆的高度为xm，
根据题意得：，
解得：x＝8，
即旗杆的高度为8m，
故选：D．
5．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝36°，则∠ADC的度数为（ ）
A．36° B．45° C．54° D．72°
【分析】如图，连接BC．求出∠ABC即可解决问题．
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，
∴∠ADC＝∠ABC＝54°，
故选：C．
7．某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元．下列所列方程中正确的是（ ）
A．150（1+2a%）＝216
B．150（1+a%）×2＝216
C．150（1+a%）2＝216
D．150（1+a%）+150（1+a%）2＝216
【分析】根据该纪念品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：150（1+a%）2＝216．
故选：C．
8．如图，△ABC中，AB＝BC，AC＝16，点F是△ABC的重心（即点F是△ABC的两条中线AD、BE的交点），BF＝12，则DF的值为（ ）
A．4.8 B．6 C．10 D．5
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再次利用三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的一半求解即可．
解：∵点F是△ABC的重心，
∴EF＝BF＝×12＝6，
∵AB＝BC，BE是中线，
∴AE＝AC＝×16＝8，BE⊥AC，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF＝＝＝10，
∴DF＝AF＝5．
故选：D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，直线AB经过原点O，点C在y轴上，AC交x轴于点D，CD：AD＝4：3，若反比例函数y＝经过A，B两点，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．4
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，可得△COD∽△AED，根据对应边成比例可知CO＝4，进而可得A的坐标，代入即可得k．
解：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵∠ODC＝∠EDA，∠COD＝∠AED＝90°，
∴△COD∽△AED，
∴＝＝，
∵A、B关于原点对称，
∴OA＝OB，
∵△ABC为直角三角形，
∴CO＝AB＝×8＝4，
∴AE＝3，
∴OE＝＝＝，
∴A（，﹣3），
把A的坐标代入y＝可得k＝﹣3．
故选：C．
10．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12，AC＝4，D为OB中点，E为AB上一动点，则DE+CE的最小值为（ ）
A． B． C．18 D．
【分析】可以延长OA至点F，使OF＝OA＝18，证明△FOE∽△EOC，当FE与ED共线时，DE+CE最小，且最小值为FD的长，根据勾股定理即可求得FD的长．
解：如图，
延长OA至点F，使OF＝OA＝18，
则＝＝，∠FOE＝∠EOC
∴△FOE∽△EOC，
∴FE＝CE
当FE与ED共线时，DE+CE最小，且最小值为FD的长，
FD＝＝＝．
∴DE+CE的最小值为6．
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）
11．已知，则＝ ﹣ ．
【分析】根据合分比定理[如果a：b＝c：d那么（a+b）：（a﹣b）＝（c+d）：（c﹣d））（b、d、a﹣b、c﹣d≠0）]来解答即可．
解：由已知，得
，
即＝﹣．
12．在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为 1.5 km．
【分析】设A、B两地的实际距离为x厘米，根据比例尺的定义得到，然后利用比例性质计算出x，再把单位化为千米即可．
解：设A、B两地的实际距离为x厘米，
根据题意得，
解得x＝150000，
150000cm＝1.5km．
故答案为1.5．
13．若圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为 12π cm2．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12πcm2．
故答案为：12π．
14．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，扇形的圆心角∠AOB＝120°，半径为9m，则扇形的弧长是 6π m．
【分析】直接利用弧长公式求解即可．
解：l＝＝6π，
故答案为：6π．
15．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 15 ．
【分析】求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．
解：x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，
∴x1＝3，x2＝6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理，
∴此时不能组成三角形，
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6＝15，
故答案为：15．
16．下列说法：（1）两条弦相等，它们所对的弧也相等；（2）等弧所对的圆心角相等；（3）平分弦的直径，也平分这条弦所对的两条弧；（4）内心到三角形三条边的距离相等，其中正确的序号是 （2）（4） ．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对（1）（2）进行判断；根据垂径定理的推论对（3）进行判断；根据三角形内心的性质对（4）进行判断．
解：在同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的弧对应相等，所以（1）错误；
等弧所对的圆心角相等，所以（2）正确；
平分弦（非直径）的直径，也平分这条弦所对的两条弧，所以（3）错误；
内心到三角形三条边的距离相等，所以（4）正确．
故答案为：（2）（4）．
17．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ．
【分析】由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，然后根据条件求出所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．
解：∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的圆上运动，
以AC为直径画半圆AC，连接OA，
当点E与B重合时，此时点F与G重合，
当点E与D重合时，此时点F与A重合，
∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为的长，
∵点G为OD的中点，
∴OG＝OD＝OA＝2，
∵OG⊥AB，
∴∠AOG＝60°，AG＝2，
∵OA＝OC，
∴∠ACG＝30°，
∴AC＝2AG＝4，
∴所在圆的半径为2，圆心角为60°，
∴的长为，
故答案为：．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E，F分别在BC，CD上，若BE＝，∠EAF＝45°，则AF＝ ．
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，则NF＝x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝6，
∴NF＝x，AN＝6﹣x，
∵AB＝3，
∴AM＝BM＝，
∵BE＝，
∴，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAE+∠NAF＝45°，
∵∠MAE+∠AEM＝45°，
∴∠MEA＝∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴．
解得，x＝2．
∴AF＝＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（16分）解方程：
（1）（x﹣2）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0；
（3）x2﹣2x﹣6＝0（配方法）；
（4）x（x﹣3）+x﹣3＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；
（3）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（4）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
解：（1）∵（x﹣2）2﹣9＝0，
∴（x﹣2）2＝9，
则x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴（x﹣1）（3x+1）＝0，
则x﹣1＝0或3x+1＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣；
（3）∵x2﹣2x﹣6＝0，
∴x2﹣2x＝6，
则x2﹣2x+1＝6+1，即（x﹣1）2＝7，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（4）∵x（x﹣3）+x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，
解得：x＝﹣，a＝，
即a＝，方程的另一个根为﹣；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）△ABC外接圆的圆心坐标是 （2，6） ；
（2）△ABC外接圆的半径是 ；
（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标是 （3，6） ；
（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，且相似比为：1．
【分析】（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心；
（2）利用两点间距离公式计算即可；
（3）如图2中，由△ABC∽△DEF，推出点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；
（4）根据相似三角形的性质求出△A1B1C1的三边即可解决问题；
解：（1）如图1中，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O′，点O′即为△ABC的外接圆的圆心，O′（2，6）．
故答案为（2，6）．
（2）连接CO′．CO′＝＝，
∴△ABC外接圆的半径是．
故答案为．
（3）如图2中，∵△ABC∽△DEF，
∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求．
观察图象可知M（3，6）
故答案为（3，6）．
（4）如图，△A1B1C1即为所求；
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
23．如图，点M，N在以AB为直径的⊙O上，，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，直线EF过点M，且EF⊥BD，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线
（2）若CM＝5，CN＝6，求BN的长．
【分析】（1）连接OM，根据垂直定义及角平分线定义得∠OMB＝∠MBF．然后再根据平行线的性质可得∠OME＝∠BFM＝90°，最后由切线的判定方法可得结论；
（2）根据圆的性质得∠ABN＝∠BMN．然后由相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】证明：（1）连接OM，
∵MF⊥BD，
∴∠BFM＝90°．
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM．
∵BM平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF．
∴∠OMB＝∠MBF．
∴OM∥BF．
∴∠OME＝∠BFM＝90°．
∴MF是⊙O的切线．
（2）解：∵，
∴∠ABN＝∠BMN．
又∵∠N＝∠N，
∴△BCN∽△MBN．
∴．
∴．
∴BN＝．
24．如图，灯杆AB与墙MN的距离为18米，小丽在离灯杆（底部）9米的D处测得其影长DF为3m，设小丽身高为1.6m．
（1）求灯杆AB的高度；
（2）小丽再向墙走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长．
【分析】（1）由∠AFB＝∠CFD、∠ABF＝∠CDF可得出△ABF∽△CDF，根据相似三角形的性质可求出AB的长度，此题得解；
（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，由∠AQB＝∠C′QD′、∠ABQ＝∠C′D′Q＝90°可得出△ABQ∽△C′D′Q，根据相似三角形的性质可求出D′Q的长度，进而可求出BQ的长，由BQ的长大于18米可得出小丽的影子不能完全落在地面上，同理可得出△PQN∽△AQB，再利用相似三角形的性质可求出PN的长度，此题得解．
解：（1）∵∠AFB＝∠CFD，∠ABF＝∠CDF，
∴△ABF∽△CDF，
∴＝，
∴AB＝•CD＝×1.6＝6.4．
∴灯杆AB的高度为6.4米．
（2）将CD往墙移动7米到C′D′，作射线AC′交MN于点P，延长AP交地面BN于点Q，如图所示．
∵∠AQB＝∠C′QD′，∠ABQ＝∠C′D′Q＝90°，
∴△ABQ∽△C′D′Q，
∴＝，即＝，
∴D′Q＝，
BQ＝9+7+＝＞18，
∴小丽的影子不能完全落在地面上．
同理，可得出△PQN∽△AQB，
∴＝，即＝，
∴PN＝1．
∴小丽落在墙上的影长为1米．
25．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．
【分析】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据1件A产品与1件B产品售价和为500元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据总销售额＝销售单价×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，
依题意得：x+100+x＝500，
解得：x＝200，
∴x+100＝300．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，
依题意得：300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），
设a%＝m，则原方程可化简为5m2﹣m＝0，
解得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去），
∴a＝20．
答：a的值为20．
26．在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
（1）问题情境：如图1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，则△ABC的外接圆的半径为 6 ；
（2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）迁移应用：已知，在△ABC中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝4，求BC的取值范围．
【分析】（1）连接OB、OC，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案；
（2）作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径画圆，交垂直平分线于点P，可得图；
（3）作△ABC的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
解：（1）连接OB、OC，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
∴△ABC的外接圆的半径为6．
故答案为：6．
（2）如图，作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径画圆，交垂直平分线于点P，
（3）如图，作△ABC的外接圆，
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
当∠BAC＝90°时，BC为最长直径，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，
∴AC＝，
∴BC＝2AC＝，
当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC的取值范围为：4＜BC≤．
27．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．
（1）AB＝ 30 cm，点Q的运动速度为 6 cm/s；
（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．
①当点O在QD上时，求t的值；
②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．
【分析】（1）设点Q的运动速度为acm/s，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由OF＝QC可求出t的值；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．
解：（1）设点Q的运动速度为acm/s，
则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，
∵AP＝6t，
∴S△PDQ＝（60﹣6×5）×5a＝450，
∴a＝6，
∴AB＝5a＝30，
故答案为：30，6；
（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，
QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，
∵OF∥QC且点F是DC的中点，
∴OF＝QC，
即4t＝（90﹣6t），
解得，t＝；
②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，
如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，
∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，
∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，
∵QP＝QH，
∴150﹣20t＝30，
∴t＝；
如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，
∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，
∴HP＝QH＝AB＝30，
∴△QHP是等腰直角三角形，
∵CG＝DN＝OF＝4t，
∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，
PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，
∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，
∵QP＝QH，
∴20t﹣150＝30，
∴t＝，
综上所述，当PQ与⊙O有公共点时，t的取值范围为：≤t≤．
28．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；
②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．
【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，
∴∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO，
∴∠BAD＝∠DOB，
∴∠ADB＝∠COD，
∵∠ADB＝∠CDO，
∴∠COD＝∠CDO，
∴CD＝CO；
②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：
∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），
∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，
Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，
而OA∥MN，
∴∠AOM＝∠OMN，
∴tan∠AOM＝，即＝，
设AM＝3n，则OM＝8n，
Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，
又A的坐标为（﹣，0），
∴OA＝，
∴（3n）2+（8n）2＝（）2，
解得n＝1（n＝﹣1舍去），
∴AM＝3，OM＝8，
∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，
∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，
等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，
∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，
∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；
（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：
（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝，
Rt△BOC中，BC＝＝，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：
①若＝，则＝，
解得x＝4，
∴此时OB＝4；
②若＝，则＝，
解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），
∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；
（二）当B在线段MO延长线上时，如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，
∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，
∴△AMB∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴OC＝•（8+x），
Rt△BOC中，BC＝＝•，
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，
解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，
∴OB＝1，
综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB 的长度为：4或4+或4﹣或9或1；
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