人教版八下数学 第17章 勾股定理的整理、拓展、归纳辅导


第十七章、勾股定理
一、知识精读
(一）、 勾股定理
　内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
（二）. 勾股定理的应用.
　　勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范. 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．
（三）. 勾股定理的证法.
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
　用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　
大正方形面积为 所以

方法三：，，化简得证

（四）.勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
（五）.勾股数
　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
　（为正整数）；
　　（为正整数）
（，为正整数）
　（六） 勾股定理的历史背景.
我国是最早了解勾股定理的国家之一，商朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”，被记载于《周髀算经》中．在欧洲，通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.
　　（七）. 与直角三角形有关的问题.
　　（1） 直角三角形的定义.
　　（2） 直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.
　 （八）、中考视点
　　勾股定理是几何中的一条重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系，中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用：
　　（１）运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边．
　　（２）利用勾股定理证明一些具有平方的关系式．
　　（３）运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点．
勾股定理的逆定理
●知识概要
　　勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数定形．
　　（1. ）勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
　（　２.）如果两个命题的题设结论正好相反，我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
　　（３.） 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．
二、中考考点分析
　　勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理，中考中经常利用它来求角，证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状．
教材解读
一、勾股定理的内容
　勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是a、b，斜边是c，那么a2+b2＝c2.
　因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形，即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.
二、正确判定一个三角形是否是直角三角形
　如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.
　这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反，即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.
　要判断一个三角形是不是直角三角形，一是确定最大边，即斜边c；二是验证c2与 a2+b2是否相等.若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°；若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.
三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用
　勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长为的线段为例，利用勾股定理作出长为…的线段，如下左图所示．
　用同样的方法我们可以在数轴上画出表示…的点，如下右图所示.
　
四、勾股定理逆定理的推导
勾股定理告诉我们，如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a２＋b２＝c２，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为a、b、c，边长之间满足关系a２＋b２＝c２，那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢？
　　下面是３组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形，
　　（１）a＝６，b＝８，c＝１０；
　　（２）a＝５，b＝１２，c＝１３；
　　（３）a＝１５，b＝２０，c＝２５．
　　　　　
　　我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现，上面三个三角形的边长都满足关系a２＋b２＝c２，我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形，我们发现三个三角形都是直角三角形．根据我们现在所掌握的这些个例的情况，我们可以先进行大胆的猜测：
　　如果一个三角形的三边长a、b、c满足a２＋b２＝c２，那么这个三角形是直角三角形．
　　我们的猜测是否正确呢？要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确，我们必须要在一般情况中对其加以证明．
　　【例题】 已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c且满足条件a２＋b２＝c２，试判断△ＡＢＣ是否为直角三角形．
　　　　　
　　【思考与分析】 根据前面学习的勾股定理，我们知道如果一个直角三角形以a、b为直角边，那么它的斜边c必满足c２＝a２+b２，那么这个直角三角形的三边就与△ＡＢＣ的三边分别对应相等，所以说如果△ＡＢＣ是直角三角形，那么它必与以a、b为直角边的直角三角形全等．
　　解：我们作Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′，∠Ｃ′＝９０°，Ａ′Ｃ′＝b，Ｂ′Ｃ′＝a．
　　根据勾股定理：Ａ′Ｂ′２＝a２＋b２．
　　又∵　△ＡＢＣ的三边a、b、c满足条件a２+b２＝c２，
　　∴　ＡＢ＝c＝Ａ′Ｂ′．
　　又∵在△ＡＢＣ中ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c，
　　∴　△ＡＢＣ≌ Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′（ＳＳＳ）．
　　∴　△ＡＢＣ是直角三角形，∠Ｃ＝９０°．
　　【小结】探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明.
中考考点指导
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．
三、经典例题分类精讲
题型一：直接考查勾股定理
例１.在中，．
　⑴已知，．求的长
⑵已知，，求的长分析：直接应用勾股定理
解：⑴
⑵
题型二：利用勾股定理测量长度
例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！
根据勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.
例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。
标准解题步骤如下（仅供参考）：
解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2
设水深AC= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5
x2+1.52=（ x+0.5）2
解之得x=2.
故水深为2米.
题型三：勾股定理和逆定理并用
例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三角形吗？为什么？
解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。
详细解题步骤如下：
解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a
在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2
同理EF2=5a2, DF2=25a2
在△DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2
∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：利用勾股定理求线段长度
例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。
详细解题过程如下：
解：根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF
∴∠AFE=90°, AF=10cm, EF=DE
设CE=xcm，
则DE=EF=CD－CE=8－x
在Rt△ABF中由勾股定理得：
AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，
∴BF=6cm
∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)
在Rt△ECF中由勾股定理可得：
EF2=CE2+CF2，即(8－x) 2=x2+42
∴64－16x+x2=2+16
∴x=3(cm),即CE=3 cm
注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直
例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？
解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。
①如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；
②如果MN=a≠15,则92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠ a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题——
例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6 所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。
题型六：旋转问题：
例1、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。
变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.
分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，
根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45°，
试探究间的关系，并说明理由.
题型七：关于翻折问题
例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.




题型八：关于勾股定理在实际中的应用：
例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型九：关于最短性问题
例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
四、常见错解剖析
（一）、勾股定理只能在直角三角形中运用
　　【例1】 在△ABC中，AC=3，BC=4，则AB的长为（      ）.
　　　A. 5　　　　B. 10
　　　C. 4　　　　D. 大于1且小于7
　　常见错误： A.
　　错误分析： 题意是已知三角形的两边求第三边，解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解，没有注意题目中并没有给出直角三角形的前提条件，所以不能用勾股定理，只能用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断出AB的范围.
　　正确答案： D.
（二）、运用勾股定理时要分清斜边和直角边
　　【例2】 在Ｒt△ABC中，AC=9，BC=12，则AB2=      　　.
　　常见错误： 在Ｒt△ABC中，利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225.
　　错误分析： 没有区分要求的AB是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件，对此我们应该分情况讨论，如果AB是斜边，则利用勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2=225；如果AB是直角边，因为BC>AC，所以BC为斜边，则利用勾股定理，得AB2＝BC2－AC2＝63.
　　∴ AB2为225或63.
　　正确答案： 225或63.
（三）、给定三角形要分形状运用勾股定理
　　【例3】 在△ＡＢＣ中，ＡＢ=13，ＡＣ=15，高ＡＤ=12，求△ＡＢＣ的周长．
　　常见错误：根据勾股定理，
　　ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2
　　　 ＝１３2－１２2
　　　 ＝２５，
　　ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2
　　　 ＝１５2－１２2
　　　 ＝８１，
　　∴　ＢＤ＝５，ＣＤ＝９， ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５＋９＝１４．
　　此时，△ＡＢＣ的周长为
　　ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋１４＋１５＝４２．
　　　　　
　　错误分析：△ＡＢＣ可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了△ＡＢＣ是锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况.
　　正确答案：应该分情况讨论，当△ＡＢＣ是锐角三角形时，解法如上.
　　当△ＡＢＣ是钝角三角形时，其图如下，
　　根据勾股定理，
　　ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2
　　　 ＝１３2－１２2
　　　 ＝２５，
　　ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１，
　　∴　ＢＤ＝５，ＣＤ＝９，ＢＣ＝ＣＤ－ＢＤ＝９－５＝４.
　　此时，△ＡＢＣ的周长为：
　　ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋４＋１５＝３２．
　　故△ＡＢＣ的周长为42或32.
　　　　　
（四）、不能正确区分直角边和斜边
　　【例4】 已知一个三角形的三边长a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？
　　错解： 不是.在三角形中，利用勾股定理，a2＋b2＝194，c2＝144. a2＋b2≠c2，故此三角形不是直角三角形.
　　错解分析：本题中虽然a2＋b2≠c2，但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形，我们应该首先分析一下这三个边，边长最长的应为斜边，即b为斜边，b2＝169，a2＋c2＝25＋144＝169，即a2＋c2＝b2，故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时，先找到最长边，即确定斜边，可以让我们少走弯路.
　　正确答案： 是.
　　【反思】勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理，我们在做题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边.
（五）、考虑不全面造成漏解
　　【例5】已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状.
　　错解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4 （1）
　　∴ c2（ a2－b2）＝（ a2＋b2） （a2－b2）（2）
　　∴ c2＝a2＋b2 （3）　∴ △ABC是直角三角形.
　　错解分析：本题在由第（2）步到第（3）步的化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数，从而导致了错误．
　　正解：∵ a2c2－b2c2＝a4－b4
　　∴ c2（ a2－b2）＝（ a2＋b2） （a2－b2）
　　（1）当a2－b2≠0时，化简后得c2＝a2＋b2
　　∴ △ABC是直角三角形.
　　（2）当a2－b2＝0时，a＝b
　　∴ △ABC是等腰三角形.
　　【反思】本题结合因式分解的知识，综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理，同时还考查了等式的性质2：在等式两边不能同时除以一个可能为0的数，这往往是我们最容易忽视的地方，应引起大家的注意.

（六）、不能仅凭模糊记忆
　　【例6】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且（a＋b）（a－b）＝c2，则（   ）
　　　A.∠A为直角       B.∠C为直角   
　　　C.∠B为直角       D.不是直角三角形
　　错解：选B
　　错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角∠C一定表示直角.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，应根据这一关系进行判断.
　　正解：∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2.
　　∴ a边所对的角∠Ａ为直角. 故选A.
　　【反思】我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论.
（七）、考虑不全造成漏解
　【例7】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
　错解：第三边长为
　错解剖析：因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边.
　正解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长为
　（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为.
（八）、理解流于形式，造成思维定势
　【例8】已知三角形的三边为，c=1，这个三角形是直角三角形吗？
　错解： ∵ a2＝，b2＝，c2＝1，而a2＋b2≠c2，
    ∴该三角形不是直角三角形.
　错解剖析：虽然a2＋b2≠c2，但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形，因为我们发现有a2＋c2＝b2，所以这个三角形是直角三角形.
　正解：这个三角形是直角三角形．
（九）、混淆勾股定理与逆定理
　【例9】 在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东６0°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
　错解:甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.
　∵＝34 （海里）且MP=34（海里）
　∴△MBP为直角三角形．
　∴∠MBP＝90°.
　∴乙船是沿着南偏东30°方向航行.
　错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的，但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明，犯了运用上的错误.
　正解：甲船航行的距离为BM=8×2＝16（海里），乙船航行的距离为BP=15×2＝30（海里）.
　∵ 162＋302＝1156，342＝1156，
　∴ BM2＋BP 2＝MP2.
　∴ △MBP为直角三角形.
　∴ ∠MBP＝90°.
　∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.
五、发散思维点拨
（一）、方程思想
　　【例1】 如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30cm2，那么△AED的面积为______.
　　　　　
　　【分析与解】 由△ABF的面积为30cm2，
　　可得BF=12cm.
　　则在Rt△ABF中，AB=5cm，BF=12cm，
　　根据勾股定理可知AF=13cm.
　　再由折叠的性质可知AD=AF=13cm.
　　所以FC=1cm.
　　可设DE=EF=x，则EC=5-x.
　　在Rt△EFC中，可得：
　　12+（5-x）2=x2.
　　解这个方程，得x=.
　　所以S△AED=××13=16.9（cm2）.
　（2）、化归思想
　　【例2】 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为（    ）
　　
　　　　　
　　【分析与解】 求几何体表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.
　　如上右图，可得展开图中的AB′的长为4π÷2＝2π，B′S′的长为4÷2＝2.
　　在Rt△AB′S′中，根据勾股定理，
　　得AS′=.
　　所以动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为.故选A.
　（三）、分类讨论思想
　　【例3】 在△ABC中，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高，AD=12，试求出BC边的长.
　　【分析与解】 此题没有给出图示，又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示，△ABC有两种情况.
　　　　　
　　当BC边上的高AD在△ABC的内部时，如图1.
　　由勾股定理，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，得BD2=AB2-AD2=152-122=81，
　　则BD=9.
　　CD2=AC2-AD2=202-122=256，
　　则CD=16.
　　所以BC=9+16=25.
　　当BC边上的高AD在△ABC的外部时，如图2.
　　同样由勾股定理可得BD=9，CD=16.
　　这时BC=16-9=7.
　　综上可得BC边的长为25或7.
【例4】 如图所示，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，BC＝１4，ＡＣ＝１３． 求△ＡＢＣ的面积.
　　　　　
　　【思考与分析】 要求△ＡＢＣ的面积，现在已经知道三边的长，我们只要再知道一边上的高就可以了，这就需要作一边的垂线．构造直角三角形ＡＢＤ和直角三角形ＡＣＤ，然后利用勾股定理求出高ＡＤ，进而求出△ＡＢＣ的面积.
　　解法一： 过点A作ＡＤ⊥ＢＣ于D，
　　则∠ADB=∠ADC=90°．
　　设DC=x，则ＢＤ＝14－x．
　　在Ｒt△ＡＢＤ中，由勾股定理得：ＡＤ２＝ＡＢ２-ＢＤ２＝１５２-（14－x）２．　①
　　在Ｒt△ＡＤＣ中，由勾股定理得：ＡＤ２＝１３２－x２.　②　　由①＝②，解得x=5.
　　所以ＡＤ２＝１３２－x２＝169－25＝144，故ＡＤ＝１２．
　　所以Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＣ·ＡＤ＝×１２×１４＝８４．
　　解法二： 设AD＝x，则在Ｒt△ＡＢＤ中，由勾股定理得：BＤ２＝ＡＢ２-AＤ２＝１５２-x２．
　　在Ｒt△ＡＤＣ中，由勾股定理得：CＤ２＝１３２－x２，
　　再根据题意，知 BC=BD+DC，
　　
（四）、勾股定理是直角三角形的一个重要性质
这个定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．下面就让我们通过一道例题来体会一下.
　　【例5】 已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm.则△ABC是等腰三角形吗？
　　【思考与分析】 先画出图形，如图，求出BD=5cm，利用直角三角形的判定方法，说明AD⊥BC，然后在△ADC中，利用勾股定理求出AC，从而得到AB=AC.
　　解： 由 AD是BC边上的中线，
　　得 BD=CD=BC=×10=5（cm）.（由形到数）
　　在△ABD中，有AD2+DB2=122+52=132 =AB2，
　　所以△ABD是直角三角形，
　　其中∠ADB=90°，
　　∠ADC=90°. （由数到形）
　　在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2=122+52=169，
　　又因为AC>0，所以AC=13（cm）.（由形到数）
　　即AB=AC.   故△ABC是等腰三角形.（由数到形）
　　　　　
　　【反思】 此题综合运用了勾股定理及直角三角形的判定方法，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合的思想，从中你可以体会到数形结合的奥妙.
【例6】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（     ）
　A. 2m
　B. 2.5m
　C. 2.25m
　D. 3m
　
　【思考与分析】为了顺利解决此题，我们首先要根据题中叙述的条件画出草图如上，则有BD=1.5m，AF=CE=0.5m，AD=BF=BE=水深，在Rt△ABD中，设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，BD=1.5m，根据勾股定理，列方程（0.5+x）2=1.52+x2，解之即可.
　解：如上图所示，在Rt△ABD中，　设河水的深度BF=xm，则有AB=（0.5+x）m，AD=xm，　BD=1.5m．
　根据勾股定理，列方程：（0.5+x）2=1.52+x2，解得x=2. 所以河水的深度为2m.　故答案选A.
【小结】本题是数学问题在生活中的实际应用，我们首先要通过分析，画出草图，把实际问题转化成数学问题，运用我们所学的数学知识来求解.这种通过分析题意，画出图形，将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思想方法，我们一般称为建模的数学思想方法.本题在画出草图，把题意抽象成纯数学问题后，实际上就是建立起“解直角三角形的数学模型（如上图）”，在此基础上，借助勾股定理来进行求解.解这种实际应用题的一般策略为：
　
　另外，在此题中还运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解，运用方程思想，有时可大大简化求解过程.
六、基础练习
一．填空题，
1、 在Rt△ABC中∠C= 则 （1）a=5 b=12 则 c=______
(2) b=8 c=17 则 a=______
2、 如果梯形低端离建筑物9m 那么15m长的梯形可达到建筑物的高度是________
3、 直角三角形的两直角边长分别为3m 4m 则斜边长为________ 斜边上的高为_______
4、 在Rt△ABC中∠C= 若 a:b=3:4 c=20 则a=________ b=_______
D
B
C
A

5、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米
６、如图所示，要从电线杆高4m 的点
处向地面斜拉一根长5m的缆绳 固
定点A到电线杆底部B的距离AB=_____

7、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续的偶数，则它的周长是__________
8、 一个三角形的三边长分别是 、 2m 、 则三角形中最大的角是________
9、 若三角形的三边a b c满足 则边______所对的角是直角
10、 在三角形ABC中 若三边分别是 9 、 12 、 15 则以两个这样的三角形所拼成的矩形面积为_________
二 选择题
1、 下列各组数为勾股数的是（ ）
A 7 、12、 13 B 3、 4 、7 C 8、 15、 17 D 1.5 、2 、2.5
2、下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）
A、a=1.5， b=2, c=3 B、a=7, b=24, c=25
C、a=6, b=8, c=10 D、a=3, b=4, c=5
3、若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（　　）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
4、如果Rt△ABC两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）
A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169
5、如果Rt△的两直角边长分别为n2－1、2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1
6、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2
7、 在三角形ABC中 AB=15 AC=13 高AD=12 则三角形ABC的周长为（ ）
A 42 B 32 C 42或 32 D 37 或 33
8、 若直角三角形中 有两边长是12和5 则第三边的平方为（ ）
A 169 B 169或119 C 13或15 D 15
9、 直角三角形有一直角边长为11 另外两条边长是两个连续的自然数 则周长是（ ）
A 132 B 121 C 120 D 123[来源:Zxxk.Com]
10、 三角形ABC的三边分别为a=1.2cm b=1.6cm c=2cm 则∠C是（ ）
A 锐角 B 直角 C 钝角 D 以上三种都有可能
三 解答题
1、 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4阴影部分的面积是______.
2、 某菜农修建一个塑料大棚（如图），若棚宽a=4m，高b=3m，长d=35m，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积.






3、 如图，正方形的面积为25cm，测量出=12cm,=13cm,问、、三点在一条直线上吗？为什么？
4、 已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
5、 如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条长7m的电缆，求地面电缆固定点A到电线杆底部B的距离.
A
D
E
B
C

A
B
C
D








6、 如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km
七、勾股定理的逆定理达标练习
(一)、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6
3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.
4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，试判断△EFC的形状.
5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7 图18－2－8
6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.
(二)、综合·应用
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？
8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角
9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

图18－2－9
10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；
②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.
11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.

图18－2－10
八、培优辅导
（一）、例题解析
【例１】 等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上任一点，求证：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ
　　【思考与分析】 本题要证明的等式中含有线段的平方，故可以考虑运用勾股定理，但我们知道运用勾股定理的先决条件是具有直角三角形，那么就需要我们首先构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，我们作ＡＰ⊥ＢＣ，则ＢＰ＝ＰＣ，那么ＢＤ·ＤＣ＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＰＣ－ＰＤ）＝ＢＰ２－ＰＤ２，又因为Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ有公共边ＡＰ，由勾股定理得ＡＢ２－ＢＰ２＝ＡＤ２－ＰＤ２，所以ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．
　　证明： （１）若Ｄ不是ＢＣ的中点时，作ＡＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，如图1．
　　∵　等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，
　　∴　ＢＰ＝ＰＣ．
　　在Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ中，由勾股定理得：
　　
　　两式相减得：
　　ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＢＰ－ＰＤ）＝（ＢＰ＋ＰＤ）（ＰＣ－ＰＤ）＝ＢＤ·ＤＣ，
　　即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．
　　　　　
　　（２）若Ｄ是ＢＣ的中点，如图2．
　　∵　等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ，
　　∴　ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＤ＝ＤＣ．
　　在Ｒt△ＡＤＢ中ＡＢ２＝ＡＤ２＋ＢＤ２，
　　∴  ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ２＝ＢＤ·ＢＤ＝ＢＤ·ＤＣ，
　　即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．
　　【例２】 如图3，在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＞ＡＣ，ＡＥ为ＢＣ边上的中线，ＡＦ为ＢＣ边上的高.
　　求证： ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·ＥＦ.
　　　　　
　　【思考与分析】 等式左边＝ＡＢ２－ＡＣ２，根据题中给出的条件ＡＦ为ＢＣ边上的高，而Ｒt△ＡＢＦ和Ｒt△ＡＣＦ中包含这三边，我们可以得到ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２，ＡＣ２－ＣＦ２＝ＡＦ２这两个等式，这时我们就可以发现两式相减得到ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝（ＢＦ＋ＣＦ）（ＢＦ－ＣＦ），再根据ＡＥ为ＢＣ边上的中线，继续化简可证得结论．
　　证明： ∵　ＡＦ为ＢＣ边上的高，
　　∴　根据勾股定理有ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２＝ＡＣ２－ＣＦ２，
　　∴　ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝（ＢＦ＋ＣＦ）（ＢＦ－ＣＦ）
　　　　　　　 ＝ＢＣ·（ＢＦ－ＣＦ）
　　又∵　ＡＥ为ＢＣ边上的中线，
　　∴　ＢＥ＝ＥＣ
　　∴　ＢＦ－ＣＦ＝（ＢＥ＋ＥＦ）－（ＥＣ－ＥＦ）
　　　　　　  ＝２ＥＦ
　　∴　ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·ＥＦ.
【例3】 如图所示，已知△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，Ｐ是△ＡＢＣ内一点，且ＰＡ＝３，ＰＢ＝１，ＰＣ＝２，求∠ＢＰＣ的度数．
　　　　　
　　【思考与分析１】 ∠ＢＰＣ在△ＰBＣ中，虽然我们已经知道ＰＢ、ＰＣ的长，但可以发现直接利用条件求它还是比较困难．既然直接求解比较困难，那么我们是否可以考虑将∠ＢＰＣ进行分割，转化成特殊角后再进行求解呢？我们作ＣE⊥PＣ，并截取ＣE=PＣ，连结BE、PE，就可以把∠ＢＰＣ分割为∠ＣＰE和∠EＰB两个角．根据我们做辅助线的过程可知∠ＣＰE＝４５°，要求∠ＢＰＣ，问题就转化到求∠EＰB，这个问题可以在△EＰB中得到解决．
　　　　　
　　方法１： 过Ｃ作ＣE⊥PＣ，并截取ＣE=PＣ=2，连结BE、PE．
　　则∠BＣE+∠PＣB=∠PＣＡ+∠PＣB=90°，
　　∴　∠BＣE=∠PＣＡ．
　　又∵　ＣE=ＣP，ＡＣ＝ＢＣ，
　　∴　△ＣBE≌△ＣＡP（ＳＡＳ），
　　∴　BE＝PＡ＝３．
　　∵　在Ｒt△ＰＣE中，∠ＣＰE＝４５°，
　　且ＰE２＝ＰＣ２＋ＣE２＝２ＰＣ２＝８，
　　∴　在△ＰBE中，
　　ＰB２＋ＰE２＝１＋８＝９＝BE２．
　　∴　△EＰB为直角三角形，∠EＰB＝９０°．
　　∴　∠ＢＰＣ＝∠BPE＋∠ＣPE
　　　　  　　＝９０°＋４５°＝１３５°．
　　【思考与分析２】 如果我们在△ＡＢＣ外取点Ｅ，使ＣＥ＝ＣＰ，ＢＥ＝ＡＰ，连结ＰＥ，则构造了△ＣBE和△ＣＡP全等，再利用它们之间的数量关系和勾股定理及其逆定理就可以解决问题．
　　　　　
　　方法２： 在△ＡＢＣ外取点Ｅ，使ＣＥ＝ＣＰ，ＢＥ＝ＡＰ，连结ＰＥ.
　　∵　ＣE=ＣP，ＢＥ＝ＡＰ，ＡＣ＝ＢＣ，
　　∴　△ＣBE≌△ＣＡP（ＳＳＳ）．
　　∴　∠BＣE=∠PＣＡ．
　　又∵　∠ＡＣＢ＝９０°，
　　即∠PＣＡ+∠PＣB=90°，
　　∴　∠BＣE+∠PＣB=90°，即∠PＣE=90°．
　　又∵　ＣE=ＣP＝２，
　　∴　ＰE２＝ＣE２＋ＣP２＝２２＋２２＝８，∠ＣPE=４５°．
　　∴　在△ＰBE中，ＰB２＋ＰE２＝１＋８＝９＝BE２.
　　∴　∠BPE=90°，∠ＢＰＣ＝∠BPE＋∠ＣPE＝９０°＋４５°＝１３５°．
　　【反思】 本题主要运用化归转化的数学思想方法，将比较难求的角通过分割转化成为比较好求的特殊角，在这里怎样分角存在一定的技巧，通常我们都是把所求的角分成３０°，４５°，６０°，９０°这样的一些特殊角．
【例4】李老师设计了这样一道探究题：如图1（1），有一个圆柱，它高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π 的取值为3）．
　【思考与分析】这是一道蚂蚁怎么走最近的问题，同学们可以这样思考：（1） 自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短？
　（2） 如图1（2）所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A到B的最短路线是什么？你画对了吗？
　（3） 蚂蚁从A点，想吃到B点上的食物，它需要爬行的最短路线是多少？
　由A到B，有无数条路线，如果将圆柱侧面从A点（蚂蚁爬行路径的起始点）垂直向上剪开，则剪开的侧面展开图的形状是长方形.最短路线是线段AB，因为两点之间线段最短.这个最短距离就是AB的长.
　
　解：圆柱的底面周长为2πr＝2×3×3＝18，展开图中CB的长是底面周长的一半，为×18＝9，圆柱的高为12，即AC＝12，在Rt△ABC中，根据勾股定理有：AB2＝AC2＋BC2＝92＋122，所以AB=15厘米．
　【反思】 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时，要从A点开始并垂直于A点剪开，这样展开的侧面才是个矩形，得到直角，才能用勾股定理解决问题．
　本题的设计与应用不止如此，我们在弄清此题的基础上，就可以进一步地引导学生进行变式训练，进一步地演变成如下的问题．
　演变一：“变圆柱为圆锥”
　【例5】如图2（1），圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点A出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（      ）．
　
　开，在其侧面展开图如图2（2）所示的扇形中求出AB的长即可.由扇形的弧长公式可知：＝2π，
　∴ ∠ACB=120°．　∴∠ACD=60°．
　∴在Rt△ACD中，∠CAD＝30°．
　∴ CD＝AC，根据勾股定理有CD2＋AD2＝AC2，即AC2＋AD2＝AC2，又∵ AC=3，
　∴ AD=．　∴ AB=3．
　故答案选Ｃ．
　【反思】本例是旋转体的问题，也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题--即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题．
　利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论．
　　定理 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．

证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D， 则CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，　AB2=AD2+BD2， ①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2， ②　又　BD2=(BC-CD)2③　②，③代入①得　AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD　=AC2+BC2-2BC·CD，　即c2=a2+b2-2a·CD． ④(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影．在直角三角形ABD中，　AB2=AD2+BD2， ⑤　在直角三角形ACD中，　AD2=AC2-CD2， ⑥又　BD2=(BC+CD)2， ⑦　将⑥
⑦代入⑤AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD
　　　=AC2+BC2+2BC·CD，即　c2=a2+b2+2a·cd． ⑧　综合④，⑧就是我们所需要的结论　特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2．因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)．
　　由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC中，
　　(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．
　　勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．
　　例1 如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．

分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE．
　证 因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，　所以 AF=AB． ①　在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以AG=FG，　AF2=AG2+FG2=2FG2． ②由①，②得AB2=2FG2．
说明 事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了．
　　例2 如图2-22所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．

　　证 过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，
　　AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ①　在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ②①+②，并注意到MB=MC，所以　AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
　　如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．
推论 △ABC的中线长公式：　
　
　　　
　　说明 三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外)．利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长．
　　例3 如图2-23所示．求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

　　分析 如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题．
　　证 设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，

　　即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①　在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以
　　　在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以
　　
　　将②，③代入①得
　　　=4PQ2+BD2，
　　即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
　　说明 本题是例2的应用．善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法．下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用．
　　例4 如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．
　　分析 求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手．
　　证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以
　　AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
　　例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍．
　　如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线．求证：
4(AM2+BN2)=5AB2．
　

　　分析 由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况——即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁．
　　证 连接MN，利用例4的结论，我们有
AM2+BN2=AB2+MN2，
　　所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①
　　由于M，N是BC，AC的中点，所以

　　所以 4MN2=AB2． ②
　　由①，②
4(AM2+BN2)=5AB2．
　　说明 在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S．由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．

（二）、拓展练习
一、填空题（每小题2分，共24分）
1. 如图，在长方形ABCD中，已知BC=10cm，AB=5cm，则对角线BD= cm。
2. 如图，在正方形ABCD中，对角线为2，
则正方形边长为 。
3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的 。
4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是 三角形。
5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米。
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a= ，b= 。
7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为 。


8. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么AF= 。



9. 如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是 。

10. 如图，数轴上有两个Rt△ABC、Rt△ABC，OA、OC是斜边，且
OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O为圆心，OA、OC为半径
画弧交x轴于E、F，则E、F分别对应的数是 。
11. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里。
12. 所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个自然数。我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数。请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和 组成一组勾股数。
二、选择题（每小题3分，共18分）
13. 在△ABC中，∠A=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，则下列结论错误的是（ ）
（A）a2+b2=c2 （B）b2+c2=a2 （C）a2-b2=c2 （D）a2-c2=b2
14. 在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（ ）
（A）108cm2 （B）90cm2 （C）180cm2 （D）54cm2
15. 在直角坐标系中，点P（-2，3）到原点的距离是 （ ）
（A） （B） （C） （D）2
16. 池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（ ）
（A）3.75尺 （B）3.25尺 （C）4.25尺 （D）3.5尺
17. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股园方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形式面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为 （ ）
（A）13 （B）19 （C）25 （D）169






18. 如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面距离为7m，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根O距离为3m，同时梯子顶端B下降至B′，那么BB′ （ ）
（A）等于1m （B）小于1m （C）大于1m （D）以上都不对
三、解答题（共58分）
19.（8分）如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？



20.（8分）三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由。



21.（12分）求知中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？




22.（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
23.（10分）如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD和BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了有刻度的卷尺。
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长30厘米，AB长40厘米，BD长50厘米，则AD边垂直于AB边吗？
24.（8分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25 92=40+41……
这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132= +
（2）请写出你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。
本章参考答案
基础练习参考答案
一 1．13 15 2，12m 3, 5m 2.4m 4. 12 16 5, 15 6, 3m 7, 24 8, 90 9, a 10, 108
二 1 C 2 A 3 C 4 D 5 D 6 C 7 A 8 B 9 A 10 B
三1 19 2 175 3 在 略 4 36 5 6 10km
逆定理达标练习参考答案
一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5
思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.
由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.
答案：D
2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4
解：过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，
∴AB=DE.
∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.
根据勾股定理的逆定理得，DE= cm.
∴AB= cm.
3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

图18－2－5 图18－2－6
思路分析：因为△ABC是Rt△，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,所以AB=.
答案：
4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD，试判断△EFC的形状.
思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
解：∵E为AB中点，∴BE=2.
∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.
同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.
∵CE2+EF2=CF2,
∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.
5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7
思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.
解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°.
在△BDC中,
BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.
所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°.
因此这个零件符合要求.
6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.
思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.
证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.
∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,
∴△ABC是直角三角形.
二、综合·应用
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？
思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.
解：略
8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形.

图18－2－8
思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.
证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=（AD+BD）2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

图18－2－9
思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.
解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10,
OB2=OB12+B1B2=22+42=20,
AB2=AC2+BC2=12+32=10,
∴OA2+AB2=OB2.
∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.
10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；
②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.
思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.
答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.
11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.
解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,
配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.
∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.
∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.
解得a=5,b=12,c=13.
又∵a2+b2=169=c2,
∴△ABC是直角三角形.
12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.

图18－2－10
思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.
解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,
∴DE=AB=4，BE=AD=3.
∵BC=6,∴EC=EB=3.
∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,
∴△DEC为直角三角形.
又∵EC=EB=3,
∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.
在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,
∴△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为S△BDA=×3×4=6;S△DBC=×6×4=12.
∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
拓展练习参考答案
一、填空题1. 5 2. 2 3. 2倍 4. 直角 5. 540 6. 12、167. 5或 8. 10 9. 12cm≤a≤13cm 10. -、11. 30 12. 13
二、选择题13. A 14. D 15. B 16. A 17. C 18. B
三、解答题
19. 13米20. △ABC一定是直角三角形。理由略。21. 学校需投入7200元购买草皮。22. 3cm
23. （1）用卷尺分别测量AD、AB、BD的长，然后计算AD2+AB2，看是否与BD2相等，如果相等，则△ABC是直角三角形，AD⊥AB；否则不是直角三角形， DA不垂直AB，同理，可判断BC与AB是否垂直。（2）∵AD2+AB2=302+402=502=BD2∴∠DAB=90° ∴AD边垂直AB边
24. （1）132=84+85（2）任意一个大于1的奇数的平方可拆成两个连续整数的和，并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数。（3）略