2019年湖北省随州市随县五校联考中考数学模拟试卷（6月份）解析版

这是一份2019年湖北省随州市随县五校联考中考数学模拟试卷（6月份）解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣3
2．（3分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2a+3b＝5abC．a8÷a2＝a6D．（a2b）2＝a4b
4．（3分）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．140°
5．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．4πB．3πC．2π+4D．3π+4
6．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围（ ）
A．m＞3B．m＜3C．m≤3D．m≥3
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（3分）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，a2009的值为（ ）
A．﹣B．C．4D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．（3分）2﹣1﹣tan60°+（π﹣2011）0+|﹣＝ ．
12．（3分）分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是 ．
13．（3分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为 ．
14．（3分）如图中（1）、（2）、…（m）分别是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
（1）3条弧的弧长的和为 ；
（2）4条弧的弧长的和为 ；
（3）求图（m）中n条弧的弧长的和 （用n表示）．
15．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是 ．
16．（3分）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为8；③四边形AOBO'的面积为24+15； ④∠AOB＝150°；⑤s△AOC+S△AOB＝9+24，其中正确的结论是 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．
19．（8分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
20．如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cs71°≈0.33，tan71°≈2.88）
（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；
（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若sin∠EFA＝，AF＝5，求线段AC的长．
22．（12分）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量y1（件）与时间t（天）的关系如图所示；未来40天内，每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y2＝（t为整数）；
（1）求日销售量y1（件）与时间t（天）的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a元（a为定值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a的值．
23．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AM，求S△AOM；
（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．
2019年湖北省随州市随县五校联考中考数学模拟试卷（6月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣3
【分析】根据负数的绝对值越大负数反而小，可得答案．
【解答】解：|﹣3|＞|﹣2|，
∴﹣3＜﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数大小比较，利用负数的绝对值越大负数反而小是解题关键．
2．（3分）下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2a+3b＝5abC．a8÷a2＝a6D．（a2b）2＝a4b
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，本选项错误；
B、2a+3b不能合并，本选项错误；
C、a8÷a2＝a6，本选项正确；
D、（a2b）2＝a4b2，本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．140°
【分析】根据已知平行线的性质推知∠2＝∠4；然后由等量代换和三角形外角定理来求∠3的度数．
【解答】解：如图，∵a∥b，∠2＝80°，
∴∠4＝∠2＝80°．
又∵∠3＝∠1+∠4，∠1＝40°，
∴∠3＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角定理．解答此题时，也可以根据三角形内角和定理，邻补角的定义来求∠3的度数．
5．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．4πB．3πC．2π+4D．3π+4
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，长方体的长为2，宽为1，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2＝3π+4，
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先根据三视图得到几何体的形状，难度不大．
6．（3分）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围（ ）
A．m＞3B．m＜3C．m≤3D．m≥3
【分析】根据“大大小小找不着”可得不等式2+m≥2m﹣1，即可得出m的取值范围．
【解答】解：，
由①得：x＞2+m，
由②得：x＜2m﹣1，
∵不等式组无解，
∴2+m≥2m﹣1，
∴m≤3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则，得出是解题关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4可知AB＝2BC＝8，再由作法可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8．
∵作法可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，
∴CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD＝4，
∴BF＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4+2＝6．
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．
把y＝b代入y＝得，b＝，则x＝，即A的横坐标是，；
同理可得：B的横坐标是：﹣．
则AB＝﹣（﹣）＝．
则S□ABCD＝×b＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．
9．（3分）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝，已知a1＝﹣，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，以此类推，a2009的值为（ ）
A．﹣B．C．4D．
【分析】计算出前面的几个数据即可发现规律，3个数一个轮回，于是a2009＝a2．
【解答】解：∵a1＝﹣，
∴a2＝＝，
a3＝＝4，
a4＝＝﹣，
…
∴每3个数为一周期循环，
∵2009÷3＝669…2，
∴a2009＝a2＝，
故选：B．
【点评】此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③c＞3a；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（）是该抛物线上的点，则y2＜y1＜y3，其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；
∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
所以③正确；
由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y2＞y1＞y3，故⑤错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题
11．（3分）2﹣1﹣tan60°+（π﹣2011）0+|﹣＝ ﹣1 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣×+1+
＝﹣3+1+
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
12．（3分）分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是 （a﹣2b）2 ．
【分析】首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（a﹣b）（a﹣4b）+ab
＝a2﹣5ab+4b2+ab
＝a2﹣4ab+4b2
＝（a﹣2b）2．
故答案为：（a﹣2b）2．
【点评】此题主要考查了多项式乘法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
13．（3分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s，把0.000000001用科学记数法表示为 1×10﹣9 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9；
故答案为1．×10﹣9．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（3分）如图中（1）、（2）、…（m）分别是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n条弧．
（1）3条弧的弧长的和为 π ；
（2）4条弧的弧长的和为 2π ；
（3）求图（m）中n条弧的弧长的和 （用n表示）． （n﹣2）π
【分析】（1）（2）利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算；
（3）利用多边形的内角和公式和弧长公式计算．
【解答】解：（1）∵n1+n2+n3＝180°
∴利用弧长公式可得：++＝π，
因为n1+n2+n3＝180°．
（2）∵因为四边形的内角和为360度；
∴四边形：+++＝2π，
（3）n条弧＝++++…+＝（n﹣2）π．
故答案为：π；2π；（n﹣2）π．
【点评】本题综合考查了多边形的内角和和弧长公式的应用．关键是掌握多边形的内角和公式和弧长计算公式．
15．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是 4π ．
【分析】扇形面积公式：S＝，梯形的计算问题一般要转换成平行四边形和三角形的问题来解决．
【解答】解：过点A向BC作垂线，垂足为E，
∵AD＝CE＝4，BC＝6，所以BE＝2，
∴∠EAB＝30°，∠DAB＝120°，
根据勾股定理可知AE2＝16﹣4＝12，
∴扇形面积为＝4π．
【点评】主要考查了扇形的面积公式和梯形中的计算问题．
16．（3分）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为8；③四边形AOBO'的面积为24+15； ④∠AOB＝150°；⑤s△AOC+S△AOB＝9+24，其中正确的结论是 ①②④⑤ ．
【分析】①证明△BO′A≌△BOC即可说明△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，则点O与O'的距离为8，②正确；
③利用：四边形AOBO'的面积＝等边△BOO′面积+Rt△AOO′面积，进行计算即可判断；
④∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，④正确；
⑤模仿原图的旋转方法，将线段，AO以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AO'，连接OO′，根据△AOC面积+△AOB面积＝四边形AO′BO面积＝△AOO′面积+△BOO′即可判断．
【解答】解：在△BO′A和△BOC中，
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
∴O′A＝OC．
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确；
如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，
∴点O与O'的距离为8，②正确；
在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．
∴Rt△AOO′面积为×6×8＝24，
又等边△BOO′面积为×8×4＝16，
∴四边形AOBO'的面积为24+16，③错误；
∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，④正确；
如图2，将线段，AO以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AO'，连接OO′，
则△AO′B≌△AOC（SAS），
△BOO′是直角三角形，∠BOO′＝90°，
△AOO′是等边三角形，
所以△AOC面积+△AOB面积＝四边形AO′BO面积＝△AOO′面积+△BOO′＝9+24，⑤正确．
故答案为①②④⑤．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解，使得问题迎刃而解．
三、解答题
17．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（2﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，由条件得x12+x22＝31+x1x2，再利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，所以2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定满足条件的m的值．
【解答】解：（1）根据题意得（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
解得m≥﹣；
（2）根据题意x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2+2，
因为x1x2＝m2+2＞0，
所以x12+x22＝31+x1x2，
即（x1+x2）2﹣3x1x2﹣31＝0，
所以（2m+3）2﹣3（m2+2）﹣31＝0，
整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，
而m≥﹣；
所以m＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．灵活应用整体代入的方法计算．
19．（8分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 100 人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；
（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；
（4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；
故答案为：100；
（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补图如下：
（3）选择“唱歌”的学生有：1200×＝480（人）；
（4）根据题意画树形图：
共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，
则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20．如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cs71°≈0.33，tan71°≈2.88）
（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；
（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）
【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH的长，利用正弦函数的定义即可得到结论；
（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．
【解答】解：（1）设AC于BE交于H，
∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，
∴AD∥CF∥HE，
∵AD＝30cm，CF＝30cm，
∴AD＝CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∵∠ADF＝90°，
∴四边形ADFC是矩形，
∴HE＝AD＝30cm，
∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，
∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，
∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；
答：车座B到地面的高度是81cm；
（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，
∴△B'H'C∽△BHC，得 ＝．
即＝，
∴B'C＝63cm．
故BB'＝B'C﹣BC＝63﹣54＝9（cm）．
∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是9cm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O是AB上一点，经过A，E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若sin∠EFA＝，AF＝5，求线段AC的长．
【分析】（1）连接OE，根据同圆的半径相等和角平分线可得：OE∥AC，则∠BEO＝∠C＝90°，解决问题；
（2）过A作AH⊥EF于H，根据三角函数先计算AH＝4，证明△AEH是等腰直角三角形，则AE＝AH＝8，证明△AED∽△ACE，可解决问题．
【解答】证明：（1）连接OE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∴OE∥AC，
∴∠BEO＝∠C＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过A作AH⊥EF于H，
Rt△AHF中，sin∠EFA＝，
∵AF＝5，
∴AH＝4，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝45°，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AE＝AH＝8，
∵sin∠EFA＝sin∠ADE＝＝，
∴AD＝10，
∵∠DAE＝∠EAC，∠DEA＝∠ECA＝90°，
∴△AED∽△ACE，
∴，
∴，
∴AC＝6.4．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22．（12分）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量y1（件）与时间t（天）的关系如图所示；未来40天内，每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y2＝（t为整数）；
（1）求日销售量y1（件）与时间t（天）的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a元（a为定值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a的值．
【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值．
【解答】解：（1）设一次函数为y＝kt+b，
将（30，36）和（10，76）代入一次函数y＝kt+b中，
有，
解得：．
故所求函数解析式为y＝﹣2t+96；
（2）设前20天日销售利润为W1元，后20天日销售利润为W2元．
由W1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）
＝（﹣2t+96）（t+5）
＝﹣t2+14t+480
＝﹣（t﹣14）2+578，
∵1≤t≤20，
∴当t＝14时，W1有最大值578（元）．
由W2＝（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）
＝（﹣2t+96）（﹣t+20）
＝t2﹣88t+1920
＝（t﹣44）2﹣16．
∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44，
∴函数W2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当t＝21时，W2有最大值为（21﹣44）2﹣16＝529﹣16＝513（元）．
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；
（3）由题意得：W＝（﹣2t+96）（t+25﹣20﹣a）（1≤t≤20），配方得：
W＝﹣[t﹣2（a+7）]2+2（a﹣17）2（1≤t≤20）
∵a为定值，而t＝18时，W最大，
∴2（a+7）＝18，解得：a＝2
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
23．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 7 + 4 ＝（ 2 + 1 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AM，求S△AOM；
（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．
【分析】（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；
（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从而可以求得S△AOM；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，
∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣），
∴，得，
∴该抛物线的解析式为y＝；
（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，
∵y＝＝，
∴点M的坐标为（1，），
设过点A（﹣1，﹣），M（1，）的直线解析式为y＝mx+n，
，得，
∴直线AM的函数解析式为y＝x﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴点D的坐标为（0，﹣），
∴OD＝，
∴S△AOM＝S△AOD+S△MOD＝＝；
（3）当△AOM∽△FBM时，
，
∵OA＝2，点O（0，0），点M（1，），点B（2，0），
∴OM＝，BM＝，
∴，
解得，BF＝2，
∴点F的坐标为（4，0），
设抛物线C2的函数解析式为：y＝+c，
∵点F（4，0）在抛物线C2上，
∴0＝+c，得c＝，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+3；
当△AOM∽△MBF时，
，
∵OA＝2，点O（0，0），点M（1，），点B（2，0），
∴OM＝，BM＝，
∴，
解得，BF＝，
∴点F的坐标为（，0），
设抛物线C2的函数解析式为：y＝+d，
∵点F（，0）在抛物线C2上，
∴0＝，得d＝，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+．
【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．