专题06 三角形专题突破-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版

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专题解读：确定一个图形中三角形的个数时，应用分类讨论的思想和列举法按照一定的规律来计数，比如按照不同的边或顶点来寻找
例1 如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…
（1）完成下表：
（2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？
（3）若一直连接到An，则图中共有 12（n+1）（n+2）． 个三角形．
【点拨】（1）根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4＝10；4个分点时，有10+5＝15；5个分点时，有15+6＝21；6个分点时，有21+7＝28；7个分点时，有28+8＝36；
（2）若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点；（3）若有n个分点，则有1+2+3+…+n+1=12（n+1）（n+2）．
解：（1）
（2）8个点；
（3）1+2+3+…+（n+1）
=12[1+2+3+…+（n+1）+1+2+3+…+（n+1）]
=12（n+1）（n+2）．
故答案为12（n+1）（n+2）．
【点评】此题注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数．能够正确计算1+2+…+n+（n+1）=12（n+1）（n+2）．
练1如图，图中三角形的个数为（ D ）
A．6B．15C．18D．21
专题2直角三角形的有关计算
专题解读：“直角三角形的两个锐角互余”是直角三角形的性质；“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，在运用直角三角形的性质和判定的过程中，常与三角形的角平分线、高等结合起来.
例2 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（ ）
A．图中有三个直角三角形
B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角
D．∠2＝∠A
【点拨】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．
B【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；
B、应为∠1＝∠B、∠2＝∠A；故本选项错误；
C、∵∠1＝∠B、∠2＝∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；
D、∵∠2＝∠A；故本选项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似．
练2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠B＝42°，则∠ADE的大小为（ C ）
A．42°B．45°C．48°D．58°
练3 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．操作发现：
（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．
解：（1）∵∠BCA＝90°，∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝44°；
（2）理由如下：过点B作BD∥a，则∠ABD＝180°﹣∠2，∵a∥b，BD∥a，
∴BD∥b，∴∠DBC＝∠1，∵∠ABC＝60°，∴180°﹣∠2+∠1＝60°，
∴∠2﹣∠1＝120°；
（3）∠1＝∠2，理由如下：∵AC平分∠BAM，∴∠BAM＝2∠BAC＝60°，
过点C作CE∥a，∴∠2＝∠BCE，∵a∥b，CE∥a，∴CE∥b，∠1＝∠BAM＝60°，
∴∠ECA＝∠CAM＝30°，∴∠2＝∠BCE＝60°，∴∠1＝∠2．
专题3 三角形三边关系的应用
专题解读：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这两种关系可用一句话概括：设三角形的三边长分别为a，b，c，则b-c＜a＜b+c
例3 已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状．
【点拨】（1）首先根据三角形的三边关系定理可得5﹣2＜AC＜5+2，再根据AC为奇数确定AC的值，进而可得周长；
（2）根据等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形．
解：（1）由题意得：5﹣2＜AC＜5+2，
即：3＜AC＜7，∵AC为奇数，∴AC＝5，
∴△ABC的周长为5+5+2＝12；
（2）∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
练4△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝a，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（ A ）
A．B．
C．D．
练5已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；
（2）在（1）的条件下，若a＝10，b＝8，c＝6，求这个式子．
解：（1）∵a，b，c是三角形的三边长，∴b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|＝b+c﹣a+c+a﹣b+a+b﹣c＝a+b+c，
（2）把a＝10，b＝8，c＝6，代入a+b+c＝10+8+6＝24．
专题4 复杂图形中角度的计算
专题解读：求复杂图形中的角度时，常利用转化的思想将分散的角转化成到一个多边形中，再利用多边形的内角和与外角和来解答.
例4 如图，若∠A＝30°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ 150° ．
【点拨】根据三角形的内角和和三角形的外角的性质即可得到结论．
150°【解析】如图所示，AE与CD交于点M，AB与CD交于点N，
∵∠ANC是△BCN的一个外角，∴∠ANM＝∠B+∠C，又∵∠DME是△AMN的一个外角，
∴∠DME＝∠A+∠ANM，∴∠DME＝∠A+∠B+C，又∵∠DME+∠D+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+C+∠D+∠E＝180°，即30°+∠B+C+∠D+∠E＝180°，∴∠B+C+∠D+∠E＝180°﹣30°＝150°，故答案为：150°．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
练6如图，的度数为（A ）.
A
B
C
D
E
F
O
A.360° B. 300° C. 220° D. 180°
练7如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
解：如图所示，连接CG，∵∠COG＝∠AOB，∴∠6+∠7＝∠OCG+∠OGC，
又∵五边形CDEFG中，∠1+∠2+∠OCG+∠OGC+∠3+∠4+∠5＝540°，
∴∠1+∠2+∠6+∠7+∠3+∠4+∠5＝540°．
专题5三角形内角和定理与外角的性质
专题解读:三角形内角和定理和外角的性质是求与角有关问题的主要依据，是中考的热点内容，在中考题中主要以填空题、选择题的形式出现.解答题中也常用到相关的知识.
例5 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠1+∠2＝2∠A
B．∠1+∠2＝∠A
C．∠A＝2（∠1+∠2）
D．∠1+∠2=12∠A
【点拨】根据折叠得出∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，求出2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，推出∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），代入求出即可．
A【解析】如图，延长BD和CE交于A′，
∵把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，∴∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，∵在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），∴∠A=12∠1+12∠2，即2∠A＝∠1+∠2．故选：A．
【点评】本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，关键是得出等式∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE）．
练8如图，在△ABC中，∠BAC=50°．
（1）若点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，则∠BIC=°．
（2）若点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，则∠BDC=°．
（3）若点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，若CE∥AB，求∠ACB的度数．
解：（1）∵△ABC中，∠BAC=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°，
∵点I是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，∴∠IBC+∠ICB=65°，
∴△IBC中，∠BIC=180°-65°=115°；
（2）∵△ABC中，∠BAC=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠ABC，∠ACB的外角之和=360°-130°=230°，
∵点D是∠ABC，∠ACB的外角平分线的交点，∴∠DBC+∠DCB=115°，
∴△DBC中，∠BDC=180°-115°=65°；
（3）∠BEC=∠BAC．
∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠E=∠DCE-∠CBE，
∵点E是∠ABC，∠ACG的平分线的交点，
∴∠DCE=∠ACD，∠CBE=∠ABC，∠E=∠ACD-∠ABC=（∠ACD-∠ABC）=∠A，
即∠BEC=∠BAC；
（4）∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE=50°，
∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=100°，∴∠ACB=180°-100=80°．
连接个数
出现三角形个数
连接个数
1
2
3
4
5
6
出现三角形个数
3
6
10
15
21
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