专题08. 角平分线的性质与判定-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版

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例1如图，在中，，平分，于点，点在上，．求证：．
解题分析：因为，，所以，又因为平分，所以，已知，则可根据判定，根据全等三角形的性质即可得到结论．
证明：平分，，，
，
在和中，，
，，
．
【点评】1.应用角的平分线的性质时,角的平分线、角的平分线上的点到角两边的距离两个条件缺一不可,不能错用为角的平分线上的点到角两边任意点距离相等.
2.由角的平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等,这是证线段相等的一个简便方法.
练1到三角形的三边距离相等的点是(B )
A.三角形三条高的交点
B.三角形三条内角平分线的交点
C.三角形三条中线的交点
D.以上均不对
练2如图，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON=8 cm，则OM长为( A )

A．8 cmB．4 cmC．5 cmD．不能确定
练3如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8 cm，AC=6 cm，S△ABD=12 cm2，则S△ABD∶S△ACD=( A )
A．4∶3B．3∶4C．16∶9D．9∶16
练4如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC＝3，那么AE＋DE等于（B）
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
练4如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（ B ）
A．15B．30C．45D．60
练5四边形中，，平分，于，于．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
（1）证明：平分，，
，．
在与中，，；
（2）在与中，，，
，，，，
．
知识点2角平分线的判定
例2如图，于，于，若，
求证：平分．
解题分析：由于，于，若，，即可判定，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分．
证明：，，，
在和中，，，
，平分．
【点评】此题考察了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
练6已知点P在∠AOB的内部且点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=45°，则∠AOB等于( D )
A．30°B．45°C．60°D．90°
练7如图，点O是△ABC内一点，且到三边的距离相等，若∠A＝64°，则∠BOC＝__122______°.
练8如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．
解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△DEB和△DFC中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠B＝∠C，,∠BED＝∠CFD，,BD＝CD，))，
∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
知识点3角平分线的实际应用
例3如图，直线、、表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有
A．1处B．2处C．3处D．4处
解题分析：由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
D【解析】内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
内角平分线的交点满足条件；如图：点是两条外角平分线的交点，
过点作，，，，，，点到的三边的距离相等，两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，可供选择的地址有4个．故选：．
【点评】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
练9如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市.张、李两村坐落在两相交公路内.超市的位置应满足下列条件：(1)使其到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
解：如图，连接EF，作∠ACB的平分线交EF于点O，则点O就是所要建超市的位置．
练10如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=5.2km，CB=CD=5km，村庄C到公路l1的距离为4km，则C村到公路l2的距离是(B )
A．3kmB．4kmC．5kmD．5.2km