专题11. 全等三角形涉及的数学思想与方法-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版

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数形结合思想
数与形,本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘,几何代数统一体
永远联系莫分离
----华罗庚
数形结合思想
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
例1如图，把放置在平面直角坐标系中，已知，，，，点在第四象限，则点的坐标是 ．
解题分析：过点作轴于点，通过角的计算可找出，结合、，即可证出，根据全等三角形的性质即可得出、，再结合点、的坐标即可得出、的长度，进而可得出点的坐标．
解：过点作轴于点，如图所示．，，
，，．
在和中，，，
，．，，，，，
点的坐标为．故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．
练2 已知，点、分别在的正半轴和的正半轴上，，∠PAO+∠PBO=90°则OA+OB的值为 10 ．
练3 如图,将长方形ABCD 沿DE 折叠,使点C 恰好落在BA 边上的点C′处,若∠C′EB=40°,求∠EDC′的度数.
解：由题意,得△DEC≌△DEC′,∴∠DEC′=∠DEC,∠DC′E=∠C=90°.
∵∠C′EB+∠DEC′+∠DEC=180°,
∴∠DEC′= eq \f(180°-40°,2) =70°.在△DEC′中,∠EDC′=180° -∠DC′E-∠DEC′=180° -90°-70°=20°.
类型二转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.是将不易解决的问题,设法变成容易解决的问题,在研究数学问题时,我们通常是将未知的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题.将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题,将不熟悉的问题转化为已学过的问题.本章中最为常见的是把证明线段、角相等转化为证明三角形全等,把测量长度、选址等实际问题转化为数学问题来解决.
练1 如图所示，有一池塘，要测量池塘两端、的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案（画出图形），并说明测量步骤和依据．
解题分析：本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．
解：在平地任找一点，连、，延长至使，延长至，使，则，依据是．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
练1 如图所示，要测量池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，再从C点观测，在BA的延长线上测得一点B′，使∠ACB′＝∠ACB.这时量得AB′的长度就是AB的长度．请根据图中信息写出已知、求证，并加以证明．
解：已知：在△ABC中，AC⊥AB，点B′在BA的延长线上，∠ACB′＝∠ACB.
求证：AB＝AB′.
证明：在△ACB和△ACB′中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CAB＝∠CAB′＝90°，,AC＝AC，,∠ACB＝∠ACB′，))∴△ACB≌△ACB′(ASA)，∴AB＝AB′.
练2如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．
解：；理由如下：延长交的延长线于点，，，是的中点，，在和中，，，，是的平分线，
，，，，
类型三分类讨论思想
分类讨论思想是指当一个数学问题在一定的题设下,其结论并不唯一时,我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况,在每一种情况中分别求解,最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类,可将一个复杂的问题大大的简化,达到化繁就简,化难为易,分而达到目的。对本章中点的运动变化所形成的三角形全等，要充分考虑对应边相等的不同可能性，要不重不漏的对情况分析进而得出结论.
例1 如图，在中，，，，、是边、上的两个动点，于点，于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒3个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒1个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当 2或4 时，和全等．
解题分析：分两种情况：①时，点从到运动，则，，求得，②时，点从到运动，则，，求得．
解：①时，点从到运，，
当时，则，即，解得：，
②时，点从到运动，则，，
当时，则，即，解得：，
综上所述：当或时，．故答案为：2或4．
练1在直角坐标系中，有点，，若有一个直角三角形与全等且它们只有一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标（不要求写计算过程）．（至少写出三个）
解：如图所示，符合要求的点有：
若以为公共边，点的坐标为；
若以为公共边，点的坐标为；
若以为公共边，点的坐标为和．
练2如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．
（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由．
（2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
解：（1）经过1秒后，，，，中，，
在和中，
，．
（2）设点的运动速度为，经过与全等；则可知，，，
，，
根据全等三角形的判定定理可知，有两种情况：①当，时，②当，时，两三角形全等；
①当且时，且，解得，，舍去此情况；
②，时，且，解得：；
故若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为时，能够使与全等．
练3在平面直角坐标系中，点，，，如图作，，交轴于点，直线交于点．
（1）①求证：；②求出线段、的位置关系和数量关系；
（2）动点从出发，沿路线运动，速度为1，到点处停止运动；动点从出发，沿运动，速度为2，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点，于点．问两动点运动多长时间时与全等？
解：（1）①如图，，，，，
，，
在与中，；
②由①知，，，，，；
（2）设运动的时间为秒，
当点、分别在轴、轴上时得：，解得（秒，
当点、都在轴上时得：，解得（秒，
当点在轴上，在轴时若二者都没有提前停止，则得：，解得（秒不合题意；
当点提前停止时，有，解得（秒，
综上所述：当两动点运动时间为2、、12秒时，与全等