初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理教学设计

《三角形内角和定理2》

教学设计

一  课标要求

    掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。

二  基于对教材的理解

   本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。

三  基于对考试要求的分析

    能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。

四  基于对学情的分析

 1、学生已有知识基础。

学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。

2、已有的活动经验

具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象的材料来理解相关知识和概念。

3、学习本节可能出现的难点

    学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。

4、学生座次表

   AB层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用，CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。

五  学习目标

    1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角；

    2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程；

3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题

【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用

【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几何计算问题，特别是证明两个角的不等关系。

六  学习过程

（一） 复习巩固，引入外角

活动1：回顾三角形内角和定理及推理证明思路

   问题 三角形内角和定理？

   问题在推理三角形内角和定理时我们用的证明方法有什么共同的地方？

活动2：引入外角

   视频引入，为了测量△ABC中的一个内角，在受条件限制的情况下，一种方法就是是用到了把边BC延长得到∠ACD，通过测量这个角而得到要测的角，这个角叫做什么呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。

    引入外角定义。

针对性练习1：

△ADC的外角是（     ）

   A.∠ABC     B.∠ACD   C.∠BDC       D.∠BCD

【学生活动】能画出△ABC的其它外角，并说明其特点每一个三角形有几个外角？每一个顶点处相对应的外角有几个？这些外角中有几个外角相等？（所有同学能独立完成，D层同学可以借助同桌帮忙完成）

【设计意图】通过设置学生熟悉的数学问题，引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣，让学生不知不觉中进入思考。

（二） 新课探究，交流解惑

活动3：三角形外角与内角关系

1.问题：猜想∠1与其他各角角有什么关系？

预设：80%学生可以说出∠1与∠4，∠1与∠2，∠3的等量关系，但是不等关系可能猜想不到，一方面可以看看预习的效果，一方面可以在上课的时候适当的引导。

2.问题④：你能推理证明你的猜想吗？

∠1+∠4=180°

∠1=∠2+∠3  预设：学生可能通过“同角的补角相等”得到证明，如若有作辅助线的方法要及时给与鼓励 

∠1>∠2,∠1>∠3

3.及时小结：外角与相邻的内角的关系

                        外角与不相邻的两个内角的数量关系

            外角与任何一个不相邻的内角的数量关系

针对性练习2：

1.如图:△ABC中，D是BC延长线上一点

(1)则∠         ＞∠       ，   ∠         ＞∠    

(2)若∠A=35°, ∠DCA=80°，则 ∠ACB=     °∠B=    

2.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是(  )

A.直角三角形    B.锐角三角形   C.钝角三角形    D.无法确定

【学生活动】会描述自己的猜想并进行口述的推理证明，CD层能叙述推论的内容，并能完成针对练习1，AB层同学在此基础上能正确叙述出两个推论的证明思路。

【设计意图】推理证明形成产生过程实际上就是思维发展提升的过程，会通过交流提升自己的表达能力，反思能力等等这些看似无形实则会使学生的数学能力在逐步提升。

活动4：推论的概念

问题⑤：刚刚我们证明出的结论是通过三角形内角和定理直接推导出的两个新定理，那么它又叫什么呢？

活动5：三角形外角有关定理的应用

1、例题解析：

已知：如图，在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求证：AD∥BC.

问题⑥证明两条线段平行的一般方法有哪些？

问题⑦认真阅读例题，想一想例题是运用了什么定理得到了证明？

问题⑧请在例题的基础上通过增加或者适当修改，换一种方法试试。

【设计意图】能在读懂例题思路的基础上进行方法的修改，培养学生认真读题的习惯及学习规范证明过程的书写，ABC层同学能进行方法的修改，D层同学能看懂例题。

2.小组互相讨论，说一说其推理过程，看看哪组最快，方法最多？

（奖励小组3积分）

已知：如图P是△ABC内一点，连接PB、PC。求证：∠BPC ＞ ∠A

预设：会有三种方法延长BP交AC一点，延长CP交AB于一点，前两种BC层同学能描述，连接AP延长AP交BC于一点，A层同学能描述。

3. 根据本节课的学习，你能猜想一个关于角之间等量关系的结论吗？并说明理由。

预设：从刚刚的不等关系到找到相应的数量关系，学生可能会无从下手，通过小组讨论或者给出∠BPC与∠ABP、 ∠A、∠ACP确定三角关系

【设计意图】学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习,

（三） 课堂小结，分享收获

    请以同桌为单位总结本节课你获得了哪些收获？还有哪些疑问？可以围绕知识点，或者易错点或者数学思想方法等角度展开。

【设计意图】通过学生对一节课的学习进行梳理，有利于学生理清框架，在知识，技能，数学思想方面获得提升，同时有利于培养学生的表达能力。

（四）  巩固练习，深化理解

活动6：独立完成，教师给出答案，小组交流释疑。

1.求下列各图中∠1的度数。（目标3）

2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为____.（目标1、3）

（涉及分类讨论）补救：提醒一个外角指的是顶角的外角还是底角的外角。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.   （目标3）

4.已知：在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证: ∠1>∠2.（目标2、3）

【设计意图】依据学习目标设置必要的练习，让学生通过练习，用所学知识去解决问题，提升运用能力，再一次巩固深化对概念的理解和把握。

七  作业设计

1、AB层  p183的T2

2、CD层  p183的T3/4

【设计意图】学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解，通过运用所学知识解决习题，进一步强化对定理的理解，同时规范自己的证明步骤。

八  板书设计

九  教学反思

本节课力图让每个同学在课堂中都有不同的收获，通过一题多解、小组讨论积分、修改“例题过程”、猜想证明等过程，使学生在证明过程中信心更足。

其中在对例题进行分析时，对其进行修改或者增加变成另外一种方法进行证明，大部分同学能认真进行阅读模仿、修改，对规范自己的证明步骤起到了很好的作用。另外，小组讨论如何验证推论“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的时候，出现了有同学说出了在三角形的一个顶点利用作平行线的方法进行推理证明，虽然表述不清，但是引起了其他同学的思考，同三角形内角和定理的证明方法很好的联系起来了，效果不错。但在推论应用的环节，增加的一个猜想，可能是问题还不够清楚，也或者是从不等关系到数量关系过渡有些快，部分学生一开始不知道从哪些角下手，不过经过提示后思路豁然开朗。推理证明本就是一个严谨的逻辑思维的展示，需要学生不断的尝试，最终达到一个较好的结果。