初中数学人教版八年级下册18.2.2 菱形知识点教案

【基础知识精讲】

　　定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

　　定理1：四边都相等的四边形是菱形．

　　定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【重点难点解析】

　　1．菱形的性质

　　(1)菱形具有平行四边形的一切性质；

　　(2)菱形的四条边都相等；

　　(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

　　(4)菱形是轴对称图形．

　　2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．

　　A．重点、难点提示

　　1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）

　　2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；

　　3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；

　　4．体会特殊与一般的关系．

　　B．考点指要

　　菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．

　　一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

　　菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：

　　①菱形的四条边都相等；

　　②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）

　　③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）

　　菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）

　　菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）

　　①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

　　②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

　　③四条边都相等的四边形是菱形．

【难题巧解点拨】

　　例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．

　　思路分析

　　由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．

　　证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，

　　∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．

　　（这是略证，并不是完整的证明过程）

　　∵AD⊥BC，EF⊥BC，

　　∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

　　∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）

　　∴∠CEA=∠AGE，

　　∴AE=AG，

　　∴EF∥AG，且EF=AG，

　　∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

　　又∵AE=EF，

　　∴平行四边形AEFG是菱形．

　　例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数．

　　已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．

　　思路分析

　　利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．

　　解：在菱形ABCD中，

　　∵AB=BC=CD=DA，

　　又AB+BC+CD+DA=20cm，

　　∴AB=BC=CD=DA=5cm，

　　又∵AC=5cm，

　　∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，

　　∴△ABC和△DAC都是等边三角形，

　　（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）

　　∴∠ADC=∠ABC=60°，∠BCD=∠DAB=120°．

　　例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．

　　证法一：∵AF∥BE，

　　∴∠FAE=∠AEB  （两直线平行，内错角相等）

　　又∵∠BAE=∠FAE，

　　∴∠BAE=∠AEB，

　　∴AB=BE．（等角对等边）

　　同理，AB=AF，BE=EF，

　　∴AB=BE=EF=AF，

　　∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）

　　证法二：∵AF∥BE，

　　∴∠FAE=∠AEB，

　　又∵∠BAE=∠FAE，

　　∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．

　　又∵∠FBA=∠FBE，

　　∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）

　　同理，BO=OF，

　　∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

　　（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）

　　例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．

　　思路分析

　　本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：

　　解法一：如图4-27，

　　∠B：∠A=1：2，

　　∵四边形ABCD是菱形，

　　∴AD∥BC，

　　∴∠A+∠B=180°，

　　∴∠B=60°，∠A=120°，

　　过A作AE⊥BC于E，

　　∴∠BAE=30°，

　　，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）

　　，（勾股定理）

　　．（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）

　　解法二：如图4-28，

　　∠B∶∠A=1∶2，

　　∵四边形ABCD是菱形，

　　∴AD∥BC，

　　∴∠A+∠B=180°，

　　∴∠B=60°，∠A=120°，

　　连结AC、BD交于点O，

　　，AC⊥BD．

　　（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直）

　　在Rt△ABO中，，

　　，

　　∴AC=2，，

　　．

　　答：菱形的面积为．

【典型热点考题】

　　例1  如图4-13，已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．

　　点悟：由∠B=60°知，连接AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ADF，有AE=AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF．

　　解：连接AC．  ∵  四边形ABCD为菱形，

　　∴  ∠B=∠D= 60°，AB=BC=CD=DA，

　　∴  △ABC与△CDA为等边三角形．

　　∴  AB=AC，∠B=∠ACD=∠BAC=60°，

　　∵  ∠EAF=60°，  ∴  ∠BAE=∠CAF．

　　∴  AE=AF．

　　又∵  ∠EAF=60°，

　　∴  △EAF为等边三角形．

　　∴  ∠AEF=60°，

　　∵  ∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，

　　∴  60°+18°=60°+∠CEF，

　　∴  ∠CEF=18°．

　　例2  已知如图4-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．

　　点悟：可先证四边形AEFG为平行四边形，再证邻边相等(或对角线垂直)．

　　证明：∵  ∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠BCA，

　　∴  AE=FE，∠AEC=∠FEC．

　　∵  EF⊥BC，AD⊥BC，  ∴  EF∥AD．

　　∴  ∠FEC=∠AGE，  ∴  ∠AEC=∠AGE

　　∴  AE=AG，  ∴ 

　　∴  四边形AEFG为平行四边形．

　　又∵  AE=AG．  ∴  四边形AEFG为菱形．

　　点拨：此题还可以用判定菱形的另两种方法来证．

　　例3  已知如图4-15，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE．求证：EB=OA

　　证明：∵  四边形ABCD为菱形，

　　∴  ∠ABC=2∠ABD，  AD∥BC，

　　∴  ∠DAE=∠AEB，

　　∵  AB=AE，  ∴  ∠ABC=∠AEB．

　　∴  ∠DAE=2∠ABD．

　　∵  ∠DAE=2∠BAE，

　　∴  ∠ABD=∠BAE，  ∴  OA=OB．

　　∵  ∠BOE=∠ABD+∠BAE，

　　∴  ∠BOE=2∠BAE．

　　∴  ∠BEA=∠BOE，  ∴  OB=BE，

　　∴  AO=BE．

　　说明：利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路．

　　例4  已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为5：4，求菱形的各内角的度数．

　　点悟：先作出菱形ABCD和对角线AC、BD(如图4-16)．

　　解：∵  四边形ABCD是菱形，

　　∴  AC⊥BD，

　　∴  ∠1+∠2=90°，又∵  ∠1：∠2=4：5，

　　∴  ∠1=40°，∠2=50°，

　　∴  ∠DCB=∠DAB=2∠2=100°，

　　故  ∠CBA=∠CDA=2∠1=80°．

【同步达纲练习一】

　　一、选择题

　　1．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 (    )

　　(A)45°，  135°               (B)60°，  120°

　　(C)90°，  90°                (D)30°，  150°

　　2．若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2倍，且此菱形的面积为S，则它的边长为(    )

　　(A)       (B)       (c)        (D)

　　二、填空题

　　3．已知：菱形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，且AE=EF=AF=AB，则∠B=________.

　　4．已知：菱形的两条对角线长分别为a、b，则此菱形周长为_______，面积为__________.

　　5．菱形具有而矩形不具有的性质是_______.

　　6．已知一个菱形的面积为平方厘米，且两条对角线的比为1：，则菱形的边长为_________.

　　三、解答题

　　7．已知：O为对角线BD的中点，MN过O且垂直BD，分别交CD、AB于M、N．求证：四边形DNBM是菱形．

　　8．如图4-17，已知菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16cm，BD=12cm，求菱形的高．

【同步达纲练习二】

　　1．在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，则BD：AC等于(    )

　　A．   B．   C．1：2    D．

　　2．已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为(    )

　　A．6cm，8cm  B．3cm，4cm  C．12cm，16cm  D．24cm，32cm

　　3．菱形的对角线具有(    )

　　A．互相平分且不垂直

　　B．互相平分且相等

　　C．互相平分且垂直

　　D．互相平分、垂直且相等

　　（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）

　　4．已知菱形的面积等于，高等于8cm，则菱形的周长等于____________．

　　5．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，那么它的边长是______________．

　　6．菱形的周长是40cm，两邻角的比是1：2，则较短的对角线长是_________cm．

　　7．如图4-29，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，AG⊥BC，且BD、AG相交于点E，DF⊥BC于F．求证：四边形AEFD是菱形．

　　8．如图4-30，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O．求证：四边形AFCE是菱形．

参考答案

【同步达纲练习一】

　　一、1．B；  2．D；

　　二、3．80°；4．，；

　　5．对角线互相垂直，各边长相等．

　　6．4厘米．

　　三、7．由已知MN为BD的垂直平分线，

　　有  DM=BM，DN=BN，

　　又由△DOM≌△BON，得DM=BN，

　　∴  DM=BM=BN=DN．∴四边形DNBM是菱形.

　　8．过点D作DH⊥AB于H，则DH为菱形的一条高．

　　又∵  AC、BD互相垂直平分于O，

　　∴  厘米，厘米．

　　由勾股定理，得

　　 (厘米)．

　　又∵，

　　∴，DH=9.6厘米．

【同步达纲练习二】

　　1．B； 2．C； 3．C； 4．80cm； 5．5；  6．10；

　　7．证法一：在Rt△ABD和Rt△FBD中，

　　∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠FBD，∠DAB=∠DFB=90°，

　　又∵BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△FBD

　　∴AD=DF，∠ADE=∠EDF

　　又∵DF⊥BC，AG⊥BC，∴DF//AE，

　　∴∠EDF=∠DEA，∴∠ADE=∠DEA，∴AD=AE，

　　∴AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形．

　　∵AD=DF，∴四边形AEFD为菱形．

　　证法二：同证法一得DF=DA=AE，

　　∵Rt△ABD≌Rt△FBD，∴AB=BF，∴△ABE≌△FBE，

　　∴AE=EF，∴DF=DA=AE=EF，∴四边形AEFD是菱形．

　　证法三：同证法一：Rt△ABD≌Rt△FBD，∴AB=BF，

　　∴△ABE≌△FBE，∴∠GAB=∠EFB，

　　又∵∠C+∠ABC=90°，∠GAB+∠ABC=90°，

　　∴∠C=∠GAB，∴∠C=∠EFB，∴EF∥AC，

　　又∵DF∥AG，∴四边形AEFD是平行四边形，

　　∵AD=DF，∴四边形AEFD是菱形．

　　8．∵AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，又∵∠AOE=∠COF=90°，AO=CO，

　　∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又∵AE∥CF，

　　∴四边形AFCE是平行四边形．

　　又∵EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

　　∴四边形AFCE是菱形．