人教版八年级下册18.2.2 菱形知识点教案

这是一份人教版八年级下册18.2.2 菱形知识点教案，共11页。教案主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学科：数学教学内容：菱形  学习目标 1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×SRt△.设对角线长分别为a，b．则菱形的面积=4××（）=ab，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件．例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（   ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（   ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等．错解：（1）（√）   （2）（×）正解：（2）（×）   （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点连结AE，AF.求证：AE＝AF错误分析：本题证明错在BE＝DF，因为并未证明BC＝CD，推理不严格错证：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，∠B＝∠D又∵E，F分别为BC，CD的中点，∴BE＝DF∴△ABE≌△ADF  ∴AE＝AF正证：∵菱形ABCD  ∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴BC=CD又∵EF分别为BC，CD的中点  ∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF  ∴AE＝AF典型例题例l．已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．分析：要求∠CEF的度数，可先求∠AEB的度数，而要求∠AEB的度数则必须求∠B的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D＝60°．如连结AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ACF，有AE＝AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B＝∠D＝60°.因为∠BAE＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180°所以∠CEF＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC  ∴四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD．∴△ABC和△CDA为等边三角形 ∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°∵∠EAF＝60°  ∴△BAE=∠CAF  ∴△ABE≌△ACF  ∴AE＝AF又∵∠EAF＝60°  ∴△EAF为等边三角形  ∴∠AEF＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF  ∴∠CEF＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N.求证：四边形AMNE是菱形．分析：要证AMNE是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN是∠DAC的平分线，只要证AM＝AE，则AN垂直平分ME，若证AN⊥ME，则再由BE平分∠ABN易知BE也垂直平分AN，即AN与ME互相垂直平分，故有AM＝MN＝NE＝AE，即AMNE是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE垂直平分AN后，可得AM＝MN，所以∠MNA＝∠MAN＝∠NAE，所以MNAE，则AMNE是平行四边形，又AM＝MN所以AMNE是菱形．证法一：因为∠BAC＝90°，AD⊥BC，所以∠BAD＝∠C因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC．因为∠AME＝∠BAD+∠ABE＝∠C+∠EBC＝∠AEM，所以AM＝AE，又因为AN平分∠DAC，所以AM＝MN，所以AM＝MN＝NE＝AE．所以AMNE是菱形．证法二：同上，若证AN垂直平分ME，再证BE垂直平分AN，则AM＝MN，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MNAE．所以AMNE是平行四边形，由AM＝MN得AMNE是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且OA＝DE，边长AD＝8，求菱形ABCD的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA是△ABD的边BD上的高，又由DE⊥AB，OA＝DE，易知△AOD≌△DEA从而知△ABD是等边三角形，从而菱形ABCD面积可求．解：在菱形ABCD中，因为AC⊥BD，所以△AOD是直角三角形，因为DE⊥AB，所以△AED是直角三角形．在Rt△AOD和Rt△AED中，因为AD＝AD，DE＝OA，所以Rt△AOD≌Rt△DEA．所以∠ADO＝∠DAE，因为ABCD为菱形，所以∠ADO＝∠ABO，所以△ABD是等边三角形．因为AD＝8，DE⊥AB，所以AE＝AD＝4，在Rt△AED中，DE＝=4.从而S菱形ABCD＝AB·DE＝8×4=32注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC，BD的长，按S菱形ABCD=AC·BD来计算，但后者较繁复．例4．已知：如图，□ABCD中，AD＝2AB，将CD向两边分别延长到E，F使CD＝CE＝DF.求证：AE⊥BF分析：注意□ABCD中，AD＝2AB这一特殊条件，因此□ABCD能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE交BC于点G，BF交AD于点H，连结GH.因为AB∥DF，所以∠F=∠ABH，∠FDH=∠BAH.又因为AB＝CD＝DF，所以△ABH≌△DFH.所以AH＝HD=AD=AB.所以BCAH，BG=AB．则四边形ABGH是菱形，所以AE⊥BF.例5．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF和△DOF是关于直线EF成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF＝∠ODF，再结合已知得到∠ODF＝∠OAE，从而判断DF∥AE，得到AEDF是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF是菱形。解：四边形AEDF是菱形，理由如下：因为，EF垂直平分AD，所以，△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．所以∠ODF＝∠OAF，又因为AD平分∠BAC，即∠OAF=∠OAE所以∠ODF＝∠OAE．所以AE∥DF同样的道理可得DE∥AF．所以四边形AEDF是平行四边形，所以EO=OF，即□AEDF的对角线AD，EF互相垂直平分．□AEDF是菱形．注意：用轴对称，平移和旋转的观点处理几何问题，往往会得到意想不到的效果．例6．如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在一起，得到重叠部分为四边形ABCD，四边形ABCD为菱形吗？为什么？分析：纸条的宽度即是图中线段AE，AF的长，而AE，AF又分别与BC，CD垂直．因此，如果ABCD是平行四边形，则AE，AF即为它的高，再从面积入手不难推出ABCD是菱形．解：四边形ABCD为菱形．因为：由已知可得，AB∥CD，AD∥BC，所以，四边形ABCD是平行四边形，由纸条的宽度为1，知AE＝AF＝1，又因为□ABCD的面积=BC·AE＝CD·AF，所以BC＝CD，故平行四边形ABCD为菱形例7．已知：如图所示，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE＝2∠BAE，求证：EB＝OA．分析：要EB＝OA，证它们所在的三角形全等，即△AOD≌△BEA证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB  ∴∠DAE＝∠AEB∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB  ∴∠ABC=∠DAE∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB又∵AD＝BA  ∴△AOD≌△BEA  ∴AO＝BE创新思维例1．已知：如图所示，菱形ABCD，E是AB中点，DE⊥AB，AB=a，求：（1）∠ABC的度数  （2）AC的长  （3）菱形ABCD的面积解（1）∵E为AB中点，ABCD为菱形∴EA＝EB＝AB＝AD∵DE⊥AB  ∴∠1＝30°，∠DAB＝60°∴△DAB为等边三角形  ∴∠ABC＝120°（2）OA＝DE＝a，AC＝2OA＝a（3）SABCD＝×AC×BD＝例2．四边形四边长为a、b、c、d，且a4+b4+c4+d4=4abcd.试判定四边形的形状．分析：由a4+b4+c4+d4=4abcd得a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=4abcd-2a2b2-2c2d2（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2-4abcd+2c2d2=0.（a2-b2）2+（c2-d2）2+2(ab-cd)2=0.所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.所以a＝b，c＝d，a＝c．解：此四边形为菱形．例3．如图：Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，自A作AH⊥BC于H，交BD于点E，自D点作DF⊥BC于F，求证：四边形AEFD为菱形．分析：由已知条件可选择菱形的判别方法，证明四边相等．证明∵∠AED＝90°-∠DBH，∠ADE＝90°-∠ABD，又∵∠DBH=∠ABD，∴∠AED＝∠ADE又∴AE＝AD∵∠ABD=∠DBH，DA⊥AB，DF⊥BF  ∴AD＝DF∵AH⊥BC，DF⊥BC  ∴AE∥DF∵AEDF，∴四边形ADFE为平行四边形又∵AD＝DF  ∴四边形ADFE为菱形例4．已知一张矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＞AB.如图所示，将纸片沿EF折叠，使顶点A与C重合．（1）试证，四边形AECF是菱形（2）若折叠后，纸片重叠的两部分面积和为2a2，求此矩形的周长．分析：由轴对称性，易知AF＝FC，AE＝EC．又由ABCD为矩形，知∠AFO＝∠OEC，所以∠OEC＝∠OFC，所以EC＝FC证明（1）由已知得△AEF与△EFC关于EF所在的直线对称：∴AF＝FC，AE＝EC，∠AFO＝∠CFO  又∵ABCD为矩形  ∴∠AFO＝∠OEC∴∠OEC＝∠OFC  ∴EC＝FC  即四边形AECF为菱形解（2）由S△EFC=a2，AB＝a得 EC＝2a在Rt△ECB′中，EB′＝EB＝==a，所以BC＝BE+EC=+2a=(2+)a，所以周长为（6+2）a中考练兵1．如图，已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，则对角线BD的长等       cm.解：∵四边形ABCD为菱形∴AB＝AD＝DC＝BC＝×20＝5cm  ∵AD∥BC∴∠A+∠ABC＝180°设∠A＝a则∠ABC＝2a，∴a+2a＝180°  ∴a＝60°，2a＝120°∴△ABD为等边三角形  ∴BD＝AD＝5cm  故应填5cm.2．已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为         cm.解：菱形的面积=ab  其中a＝12cm则b＝5cm  应填5cm．3．如图在菱形ABCD中，若∠ABC＝120°，则BC：AC的值等于（   ）A．:2    B．:3   C．1:2   D．解：BD：AC＝D0：AO  设OD＝a，因为∠DAB＝60°所以∠DA0＝30°，所以DA＝2a，所以OA==即BD：AC＝OD：OA＝a：=:3  故选B．4．已知，如图四边形ABCD为菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，求证：∠AFD=∠CBE证明：∵四边形ABCD为菱形∴BC＝CD，CD∥AB，∠BCA＝∠DCA∴△CBE≌△CDE  ∴∠CBE=∠CDE∵∠CDE=∠AFD  ∴∠AFD=∠CBE5．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为       .解：由菱形的性质可知，边长==5应填5  随堂演练一、填空题1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为         ，周长为        .2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为            ，           ，          ，         .3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为           .4．已知在菱形ABCD中，E，F是BC，CD上的点，且AE＝EF＝AF＝AB，则∠B=         .5．已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm，则较短对角线的长是         .6．已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为         .7．已知菱形ABCD中AE⊥BC，垂足E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为      .8．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为          形．二、选择题1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（   ）A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且对角相等C．对角线互相垂直D．两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角2．菱形ABCD，若∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（   ）A．相等        B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直     D．垂直且平分3．已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=AC，则菱形的面积为（   ）A．96cm2   B．94cm2   C．92cm2   D．90cm24．菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（   ）A．60°   B．90°   C．120°   D．150°5．菱形具有而矩形不具有的性质是（   ）A．对角线互相平分     B．对角线互相垂直C．对角线相等      D．对边平行且相等6．下列说法正确的是（   ）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．邻边相等的四边形为菱形7．矩形具有而菱形不具有的性质是（   ）A．对角相等且互补B．对角线互相平分C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相垂直8．菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（   ）A．4个   B．3个   C．2个   D．1个三、解答题1．如图，在菱形ABCD中，延长AD到E，连结BE交CD于H，交AC于F，且BF＝DE，求证：DH＝HF.2．如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分．3．已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离．    4．已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，若BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面积。5．如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证：四边形AFCE是菱形．6．已知：如图，四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形．     参考答案 一、填空题1．13，52  2．100°,80°,100°,80°  3．   4．80°5．10cm  点拨：两邻有为60°，120°，边长为10，两边和较短的对角线组成等边三角形．6.40cm   7．60°  8．矩形二、选择题1．D  2．D点拨：△ACD是等边三角形  3．A  4．D  点拨：画出图形即可求解  5．B 6．C  7．A  8．A三、解答题1．证明：如图(1)1所示，连结FD，在菱形ABCD中,AC平分∠BCD  CD＝CB∴∠DCF＝∠BCF∵FC＝FC  ∴△DCF≌△BCF（SAS）∴∠FDC＝∠CBF  DF=BF∵BF＝DE  ∴DF＝DE  ∴∠DFE=∠E∵AE∥BC  ∴∠E=∠CBF  ∴∠DFE=∠FDC  ∴DH＝HF点拨：欲证DH＝HF，在同一个三角形中，只要两对角相等，从而连结DF，证∠DFH≌∠FDH，因AC平分∠BCD得证∠BCF≌∠CDF，代换出BF＝DE＝DF，转成角相等即可证．2．证明：∵四边形ABCD是菱形  ∴AC平分∠BAD（菱形的对角线平分一组对角）又∵AC⊥EF  ∴APM≌△AEM  ∴AP=AE又∵AE=AD且AD＝AB∴AP=AB即AP＝PB  ∠F＝∠AEP，∠BPF＝∠APM∴△APE≌△BPE  ∴EP＝FP  即AB与EF互相平分点拨：证明时先审题，菱形的每一条对角线平分一组对角，并把菱形分成全等的等腰三角形和直角三角形，所以有关菱形的一些问题可以应用角平分线，等腰三角形、直角三角形的知识来解答．3．解：菱形的面积为：底×高，故24÷5＝4．8cm，即高为4．8cm，即一组对边之间的距离为4．8cm.4．解，由BD＝2DE只有∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝60°，∠ADE＝30°，故AE=AD＝2，DE＝，所以SABCD＝AB·DE＝85．证明:∵四边形ABCD为平行四边形  ∴AE∥FC  ∴∠CAE＝∠ACF又∵OF＝OE  ∴△AOE≌△COF  ∴AEFC  四边形∴AFCE是平形四边形又∵AE＝EC  ∴四边形AFCE是菱形  点拨：先证△AOE≌△COF，则有AEFC，故四边形AFCE为平行四边形．6．证明:E，F是△ABC的边AB，BC的中点  ∴EFAC同理可得GHAC,FGBD∴EFGH  ∴四边形EFGH为平行四边形∵EF=AC  ∴FG＝BD  ∵AC=BD∴EF＝FC  ∴□四边形EFGH为菱形点拨：此题中含众多的中点条件，很自然联想到三角形的中位线定理得EFAC，GHAC，则有EFGH得□EFGH，只需证明EF＝FG，考虑到EF=AC，FG=BD，而AC=BD，从而有EF=FG，即可得证.