河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考理科数学试题含答案

河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考

理科数学试卷

全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是                                （     ）                             

.和    .

.和    .

2．已知点在椭圆上，则                                 （     ）

.点不在椭圆上      . 点不在椭圆上

.点在椭圆上   .无法判断点、、是否在椭圆上

3.平行六面体中，，

则                                                          （     ）

.1         .        .          .

4．已知向量则与的夹角为            （     ）．0° ．45°              ．90°              ．180°

5.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的个数是                                                            （     ）                                

①PA⊥AD                         

②平面ABC⊥平面PBC

③直线BC∥平面PAE               

④直线PD与平面ABC所成角为

．1个     .2个       .3个      .4个

6.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽为                                                       (     )

.米     .米   

  .米      .米 

7．给出下列命题：

①直线的方向向量为，直线的方向向量为则

②直线的方向向量为，平面的法向量为，则.

③平面的法向量分别为，则.

④平面经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量是平面的法向量，则u＋t＝1.

其中真命题的序号是                                                   (      )

.②③       .①④        .③④       .①②

8．若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则的值为 （       ）            

 A.            B.            C.             D.  

9．如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则点O到平面的距离为(　　)

  .    .       .    .

10．若双曲线()的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个, 则双曲线离心率的取值范围是                                             (      )

.    .       .       .

11.对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部.若点在抛物线内部，则直线与曲线C               （      ）  

.  恰有一个公共点            .  恰有2个公共点

.  可能有一个公共点，也可能有两个公共点   .  没有公共点

12.已知、是椭圆()的两个焦点, 是椭圆上任意一点,从任一焦点引的外角平分线的垂线,垂足为, 则点的轨迹           (       )     

. 圆      . 椭圆        . 双曲线      　. 抛物线

二、填空题.（本题共5小题，每小题6分，共30分）
13．在等差数列中，已知公差，且，则__________.
14．在中，若，则角A等于________；
15．设等比数列共有项，它的前项的和为100，后项之和为200，则该等比数列中间项的和等于__________.
16．在中，若，则角B等于__________.

三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.）

17. (本题满分10分)一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：）

（1）求该几何体的体积；

（2）求该几何体的表面积.

18．(本题满分12分)已知△ABC的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).

（1）求BC边上的中线所在直线的方程；

（2）求BC边上的高所在直线的方程.

19．(本题满分12分)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求证：AC⊥EF.

20．(本题满分12分)已知直线方程为，其中.

（1）求直线恒过定点的坐标。当变化时，求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程；

（2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.

21.(本题满分12分)已知四棱锥如图所示,，，，平面平面，点为线段的中点．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

22.(本题满分12分)如图1，在中，，，别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，

（1）求证：平面平面；

（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

理科数学答案

一、选择题答题卡：（512=60分）

二、填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.  145    14.    15.   16. 或          

三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17（10分）解：（1）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个正方体的组合体.且正四棱锥的底面边长为4，四棱锥的高为2，所以体积cm3........................................................................5分

（2）由三视图知，四棱锥的侧面三角形的高.

该几何体表面积为cm2....................10分18．（12分）解：（1）B(1，1)，C(7，3)，BC的中点为M(4，2).

又A(2，4)在BC边上的中线上，所求直线方程为=，即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.........................................6分

（2）B(1，1)，C(7，3)，直线BC的斜率为=. 而BC边上的高所在直线与直BC垂直，BC边上的高所在直线的斜率为-3.又A(2，4)在BC边上的高上，所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0....................................12分

19.（12分）解：(1)如图所示，连接CD1.∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.而CD1平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1......................................6分

(2)如图，取CD中点H，连接EH，FH.

∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D.而D1D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，而AC面ABCD，∴AC⊥FH.又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH.

因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，

而EF平面EFH，所以AC⊥EF............................................12分

20．（12分）解：（1）直线方程为，

可化为对任意都成立，

所以，解得，所以直线恒过定点..........................4分

设定点为当变化时，直线时，

点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即，此时直线过点且与垂直，

∴，解得   故直线的方程为................8分

（2）由于直线经过定点．直线的斜率存在且，

可设直线方程为可得与轴、轴的负半轴交于，两点∴，，解得．

∴

当且仅当时取等号，面积的最小值为4 ,  此时直线的方程为：

，即：．.............................12分

21.（12分）（1）证明：取中点，连接 ，

，，即又，，四边形为平行四边形，，，分别是，的中点，，

又平面,平面,平面，同理平面,

又平面,,平面平面，

平面，平面．.......................................6分

（2）解：平面，且，平面，

过点作平面的高，交平面于点，，

，，，

面面且面，面，，

，，

，记点到平面的距离为，，

作，则有且，

，

，，

点到平面的距离为．...........................12分

22.（12分）（1）证明：，分别为，中点，//．

，．．，．

又 =， 平面．

又平面，平面 平面．..............3分 

（2）解：  ，，，，，两两互相垂直．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，，，，，．则，，，，，．设平面的一个法向量，则有，即，令得，．

所以．设直线与平面所成角为，则．

故直线与平面所成角的正弦值为．......................7分          

（3）解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为．

设，，则，即 ．，，.易得平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量，则有，即，

令，则．若二面角的余弦值为，

则有，即，

解得，，．又因为，所以．

故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且...............12分