高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板13 双曲线与方程（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板13 双曲线与方程（解析版），共9页。试卷主要包含了求双曲线的标准方程，求双曲线的离心率或渐近线方程等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模板一、求双曲线的标准方程1.模板解决思路待定系数法:先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2,b2的值,即“先定型，再定量”:如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为=λ(λ≠0),再根据条件求m2，n2及λ的值2.模板解决步骤①第一-步作判断；根据条件判断双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能②第二步设方程；根据上述判断设方程等=l(a>0,b>0)或=l(a>0,b>0)，或设出含其他待定系数的方程.③第三步找关系；根据已知条件， 建立方程(组),求出待定系数.④第四步得方程；解方程(组 ),将解代人所设方程知识点一　双曲线的定义1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦点：两个定点F1，F2.4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.知识点二　双曲线标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2 例题1已知双曲线C的焦点F(，0)，双曲线C上一点P到F的最短距离为.（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程;（2）已知点M(0，1)，设P是双曲线C上的点，Q是P关于原点的对称点.设λ=，求λ的取值范围.【答案】（1），；（2）.【详解】（1）设双曲线的方程为=1，∵双曲线C的焦点F(，0)，双曲线C上一点P到F的最短距离为，，，，，则双曲线的方程为，令，则， 即渐近线方程为.（2）设P的坐标为(x0，y0)， 则Q的坐标为，.，的取值范围是. 例题2已知双曲线C的离心率为，且过点，过双曲线C的右焦点，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，为左焦点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）过点，所以，，所以，又，所以，所以双曲线的方程为.（2）结合题意可得直线AB的方程为，设，，联立方程，消去y，得.∴，，∴，直线AB的方程变形为.∴原点O到直线AB的距离为，∴. 模板二、求双曲线的离心率或渐近线方程1.模板解决思路求双曲线的离心率有如下两种情况:(1),c易求出，代入即可得离心率(2),c不易单独求出，可依据已知条件建立,b,c的关系式，再结合c2=2+b2,整体求出C的值，即得离心率e.此时要注意关于,c的齐次方程的解法技巧.2.模板解决步骤①第一步根据已知条件， 得到关于,b,c的关系式或方程(组).②第二步直接求出 ,b,c的值;也可根据2+b2=c2,消去b或消去c得到,c之间的关系式或,b之间的关系式.③第三步根据求离心率或 根据渐近线方程求其渐近线方程.知识点一、双曲线的性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)特别提示(1)离心率e的取值范围;e>1.当e越接近大于1时，双曲线开口越小;e越接近于+∞时，双曲线开口越大，(2)双曲线的焦点永远在实轴上，(3)双曲线的渐近线方程可以看成是将标准方程中等号右侧的1换成0后得到的两个方程.双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交.例题1已知双曲线的左、右焦点分别是，P 是双曲线右支上一点，，垂足为点 H，，.（1）当时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e 的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）如图所示，当时，代入双曲线，可得由与相似，可得，因为，所以，整理得，可得，所以，当时，可得，所以，所以双曲线渐近线方程为.（2）由（1）可得，则，又由函数在上单调递增函数，所以当时，取得最大值，当时，取得最小值，即，所以. 例题2已知双曲线：上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）椭圆：的离心率等于，过椭圆上任意一点作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设为双曲线上任意一点，则①双曲线的顶点为，，由题设知，故，代入①式可得.又为双曲线上任意一点，故，所以，双曲线的渐近线方程为.（2）由椭圆的离心率，可得，故椭圆方程为，即.设，，则.②设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去，联立②式整理得，即，故，从而.所以.而直线的方程为，同理可求得.于是，由可得，整理得.结合②式可得，所以椭圆的方程为，即.