高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板20 导数及其应用（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板20 导数及其应用（解析版），共17页。试卷主要包含了求函数的单调区间，求函数的极值，求函数的最值等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模板一、求函数的单调区间1.模板解决思路求函数的单调区间即为求使其导函数为正(或负)的x值的范围，先正确求出函数的导函数，然后再在函数的定义域内解导函数的不等式即可.2.模板解决步骤①第一步；根据所给函数的特点，确定函数的定义域.②第二步；利用导数运算法则求出函数的导数.③第三步；在函数定义域内，解不等式>0,得函数的单调递增区间;解不等式<0,得函数的单调递减区间.知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下) 例题1已知函数在点处的切线斜率为0.函数（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在､处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于，的公共点.【答案】（1）.（2）答案见解析.（3）证明见解析【详解】（1）由，得，∵在点处的切线斜率为0，∴，∴；（2）由（1）得，则，令，则或，①当时，，当时，，此时单调递减；当时，，此时在和上单调递增；②当时，，此时恒成立，且仅有时，∴在上单调递增；③当时，，同理可得的增区间为和，单调减区间为；综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为和；当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为和；（3）当时，，令，则或，由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，∴函数在和3处取得极值，∴，，所以.∴直线的方程为，由得，令，易得，，而的图象在(0，2)内是一条连续不断的曲线，故在(0，2)内存在零点，即线段与曲线有异于，的公共点. 例题2已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，不等式恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【详解】解：（1）由题知当时，恒成立，在R上单调递增；当时，，列表得：极大值极小值所以的单调递增区间是和的单调递减区间是（2）令（负值舍去）当时，单调递增，当时，单调递减所以即  模板二、求函数的极值1.模板解决思路求函数的极值的重点在于解使导函数等于0的方程的根，再观察导函数的值在根的两侧是否变号,根据符号的变化特点判断函数值是否为极值.2.模板解决步骤①第一步求出已知函数的导函数.②第二步解方程=0,求出其解.③第三步观察符号的变化情况，当=0时:如果在附近的左侧>0，右侧<0,那么是极大值,是极大值点;在附近的左侧<0,右侧>0，那么是极小值,是极小值点.知识点一、函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二、函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．例题1已知函数，是的导函数．（1）若函数极小值为-1，求实数的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数，求在上的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】（1）由题意，函数，可得，所以，可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极小值，解得.即实数的值.（2）由题意，当，不等式恒成立，即在恒成立，即在恒成立，令，，根据二次函数的性质，可得，解得，即实数的范围.（3）因为，①若，则时，，所以，从而的最小值为，②若，则时，，所以，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为，③若，则时，，当时，的最小值为；当时，的最小值为．因为，，所以的最小值为．综上所述：． 例题2已知函数.（1）求的极值；（2）已知，函数，若关于的不等式恒成立，试确定的取值范围.【答案】（1）的极大值为，不存在极小值；（2）.【详解】（1），当时，，∴在区间上是增函数，∴不存在极值，当时，由得：，∴在区间上是增函数，在上是减函数.∴的极大值为，不存在极小值.（2）由题意在内无零点.当时，若时，，在上单调递减，；若时，，在上单调递减，且此时.所以，在上有一个零点.当时，若，则，所以此时单调递减，令，则，所以，即，故在上无零点.若时，.（ⅰ）当时，，单调递增，又，，所以此时在上有一个零点.（ⅱ）当时，，此时在上没有零点.（ⅲ）当时，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增.，所以此时没有零点.故的取值范围为.模板三、求函数的最值1.模板解决思路解决本模板的依据是在闭区间上，函数的最值一定在极 值点或端点处取得，故可通过比较函数在极值点和端点处的函数值的大小求得最值，若在其他区间类型上，则可结合函数的单调性求解.2.模板解决步骤①第一步求出导数,令=0,得，②第二步求出，,和定义域区间端点函数值(a) ,(b).③第三步比较,,和(a)，(b),最大的即为最大值,最小的即为最小值知识点一、函数最值的定义1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．知识点二、求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三、解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，-定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使=0的情形.如果函数在这点有极大(小值，那么不与端点比较，也可以知道过锁是最大(小)值.(3)东决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间例题1设函数，其中，，为常数．（1）若，，试讨论函数的单调区间；（2）若函数在上单调递增，且，证明：，并求的最小值（用，的代数式表示）．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）解：依题意得的定义域为，当时，．若，，则，从而在上单调递增；若，，则，从而在上单调递减；若，，令，得，列表如下：极小值若，，令得，列表如下：极大值（2）证明：函数在上单调递增，则对任意实数均成立，取实数，，则两式相加得：，令，则，从而．又由，当时，，若，则不恒成立，又，从而，从而．下证．记，，，由于，在点处的切线方程为：．接下来，我们证明，构造函数，．当时，，单调递减；当时，，单调递增；从而，故成立．考虑到直线与直线斜率相等，即它们平行，又由于恒成立，从而恒成立，即，即．　 例题2已知函数．（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）当时，若关于的不等式恒成立，求正数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【详解】解：（1）当时，，有，令，有，令，可得，令，可得，即函数的增区间为，减区间为，故，即，所以函数单调递增，又由，，故函数在区间上的值域为；（2）令，则恒成立可化为时恒成立.令，有，①当时，在递增，故，可得此时函数单调递增，又由，故有，满足题意；②当时，令，可得函数单调递增，又由，，可得存在，使得，可得函数的减区间为，又由，有，不合题意.综上所述，正数的取值范围为．