高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板19 不等式专项练习 （解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板19 不等式专项练习 （解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模板19不等式
专项练习
一、单选题
1.若 x>0 ， y>0 且 x+y=xy ，则 xx-1+2yy-1 的最小值为（    ）
A. 3                                  B. 52+6                                  C. 3+6                                  D. 3+22
【答案】 D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】因 x>0 ， y>0 且 x+y=xy ，则 xy=x+y>y ，即有 x>1 ，同理 y>1 ，
由 x+y=xy 得： (x-1)(y-1)=1 ，
于是得 xx-1+2yy-1=1+1x-1+2+2y-1=3+(1x-1+2y-1)≥3+21x-1⋅2y-1=3+22 ，
当且仅当 1x-1=2y-1 ，即 x=1+22,y=1+2 时取“=”，
所以 xx-1+2yy-1 的最小值为 3+22 .
故答案为：D
2.若实数x，y满足约束条件 {x-3y+4≥03x-y-4≤0x+y≥0 ，则z=3x+2y的最大值是（   ）
A. -1                                          B. 1                                          C. 10                                          D. 12
【答案】 C
【考点】简单线性规划的应用
【解析】作出可行域和目标函数相应的直线，

平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.
故答案为：C.
3.设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（   ）
A. f （log3 14 ）＞ f （ 2-32 ）＞ f （ 2-23 ）                                B. f （log3 14 ）＞ f （ 2-23 ）＞ f （ 2-32 ）
C. f （ 2-32 ）＞ f （ 2-23 ）＞ f （log3 14 ）                             D. f （ 2-23 ）＞ f （ 2-32 ）＞ f （log3 14 ）
【答案】 C
【考点】不等式比较大小
【解析】解：∵ f(x) 是定义域为R的偶函数，∴ f(-x)=f(x) ，∴ f(log314)=f(-log34)=f(log34) ，
又∵ -320 ，且 2a+8b=1 ，所以 2a-8b=2a-(1-2a)=4a-1>-1 ，所以 32a-8b>3-1=13 ，所以 3a-4b>33 ，A符合题意；
对于B， (2a+8b)2=2a+8b+22a⋅8b=1+22a⋅8b⩽1+(2a+8b)=2 ，所以 2a+8b⩽2 ，当且仅当 2a=8b ，即 a=14,b=116 时取等号，故 a+2b⩽1 ，B符合题意；
对于C， log2(2a)+log2(8b)=log2(16ab)⩽log2(2a+8b2)2=-2 ，当且仅当 2a=8b ，即 a=14,b=116 时取等号，故 log2(2a)+log2(8b)=1+log2a+3+log2b⩽-2 ，得 log2a+log2b⩽-6 ，C符合题意；
对于D，已知 a>0,b>0 ，且 2a+8b=1 ，所以 (2a+8b)2⩽2(2a)2+2(8b)2 ，即 1⩽8a2+128b2 ，则 a2+16b2⩾18 ，当且仅当 2a=8b ，即 a=14,b=116 时取等号，D不符合题意．
故答案为：ABC．
10.若正实数a，b满足 a+b=1 则下列说法正确的是（    ）
A. ab有最大值 14        B. a+b 有最大值 2        C. 1a+1b 有最小值2        D. a2+b2 有最大值 12
【答案】 A,B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】对A, ab≤(a+b2)2=(12)2=14 ,当且仅当 a=b=12 时取等号.A符合题意.
对B, (a+b)2=a+b+2ab≤a+b+a+b=2 ,故 a+b≤2 ,当且仅当 a=b=12 时取等号.B符合题意.
对C, 1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4 .当且仅当 a=b=12 时取等号.所以 1a+1b 有最小值4.C不符合题意.
对D, (a+b)2=1⇒a2+2ab+b2=1≤a2+(a2+b2)+b2 ,即 a2+b2≥12 ,故 a2+b2 有最小值 12 .D不符合题意.
故答案为：AB
11.关于 x 的方程 (x2-2x)2-2(2x-x2)+k=0 ，下列命题正确的有（    ）
A. 存在实数 k ，使得方程无实根                            B. 存在实数 k ，使得方程恰有2个不同的实根
C. 存在实数 k ，使得方程恰有3个不同的实根         D. 存在实数 k ，使得方程恰有4个不同的实根
【答案】 A,B
【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】设 t=x2-2x ，方程化为关于 t 的二次方程 t2+2t+k=0(*) .
当 k>1 时，方程 (*) 无实根，故原方程无实根.
当 k=1 时，可得 t=-1 ，则 x2-2x=-1 ，原方程有两个相等的实根 x=1 .
当 k0, y>0, x+2y=5 ，则 (x+1)(2y+1)xy 的最小值为________.
【答案】 43
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】∵ x>0, y>0, x+2y=5
∴ (x+1)(2y+1)xy =2xy+x+2y+1xy =2xy+6xy =2xy+6xy≥22xy×6xy=43
当且仅当 2xy=6xy ，即当 {x=3y=1 或 {x=2y=32 时，等号成立。
故答案为： 43
四、解答题
17.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（13分）
（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【答案】 （Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为 {70x+60y≤6005x+5y≥30x≤2yx≥0y≥0 ，即 {7x+6y≤60x+y≥6x-2y≤0x≥0y≥0 ．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：

（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为 y=-125x+z25 ，这是斜率为 -125 ，随z变化的一族平行直线．
z25 为直线在y轴上的截距，当 z25 取得最大值时，z的值最大．
又∵x，y满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距 z25 最大，即z最大．
解方程组 {7x+6y=60x-2y=0 ，得点M的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，简单线性规划的应用
【解析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；
（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
18.         
（1）已知 x>0 ，求 y=x+4x 的最小值．并求此时 x 的值；
（2）设 00 ， y>0 ，且 1x+9y=1 ，求 x+y 的最小值；
【答案】 （1）因为 x>0 ，所以 y=x+4x≥2x⋅4x=4 ，当且仅当 x=4x ，即 x=2 时取等号；故当 x=2 时， y=x+4x 取得最小值4；
（2）∵00 ， y>0 ， 1x+9y=1 ， ∴x+y=(x+y)(1x+9y)=yx+9xy+10⩾2yx⋅9xy+10=16 ．
当且仅当 yx=9xy 时，上式等号成立，又 1x+9y=1 ， ∴x=4 ， y=12 时， (x+y)min=16 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 y=x+4x 的最小值，并求出此时对应的 x 的值。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 y=4x(3-2x) 的最大值。
（3）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 x+4x-2 的最小值 。
（4）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 x+y 的最小值 。
19.已知 a>0，b>0，c>0 .
（1）当 a+b=2 时，求证： a4+b4≥2 ；
（2）求 a3+b3+c3+(1a+1b+1c)3 的最小值.
【答案】 （1）解：因为 a>0，b>0，
所以 a4+b4≥(a2+b2)22≥12[(a+b)22]2=12×4=2 ，
当且仅当 a=b=1 等号成立，
∴a4+b4≥2 .

（2）解：因为 a>0，b>0，c>0 ，
所以 a3+b3+c3+(1a+1b+1c)3≥33a3b3c3+(331abc)3=3abc+27abc ≥23abc⋅27abc=18 ，
当且仅当 a=b=c,3abc=27abc ，即 a=b=c=33 时等号成立.
所以原式的最小值为 18 .
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而证出 a4+b4≥2 。
（2）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 a3+b3+c3+(1a+1b+1c)3 的最小值。
20.已知函数 f(x)=|2x-3|-x+4 .
（1）求不等式 f(x)≤6 的解集 M ；
（2）若 t 为集合 M 中的最大元素，且 1a+12b=t(a>0,b>0) ，求 a9+b2 的最小值.
【答案】 （1）解：当 2x-3≥0 ，即 x≥32 时， 2x-3-x+4≤6 ，解得 32≤x≤5 ；
当 2x-3