高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板11 圆与方程（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板11 圆与方程（解析版），共14页。试卷主要包含了求圆的方程，圆的标准方程，求圆与圆的位置关系中的参数等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模板一、求圆的方程1.模板解决思路求满足一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径,待定系数法也是经常使用的方法.在一一些问题中借助平面几何中关圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用2.模板解决步骤①第-步根据条件，选择合适的形式，设出圆的方程.②第二步利用条件p,列出方程(组).③第三步解方程(组),得到圆的方程.3.典型例题知识点一、圆的一般方程1．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点D2＋E2－4F>0表示以为圆心，以为半径的圆知识点二、圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.例题1已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.设的外接圆为.（1）若，求的标准方程；（2）求面积最小时的值.【答案】（1）；（2）或.【详解】解：（1）∵，∴，又∵，，∴中点，中点，∴线段的中垂线：，线段的中垂线：，∴得即圆心，而，∴的标准方程：.（2）∵，，∴中点，∴线段的中垂线：，由（1）知线段的中垂线：，∴即即圆心，∴半径，∴，而，当且仅当时，等号成立，∵，，且，∴当或时，有最小值，此时最小.例题2已知经过圆上点的切线方程是.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；（2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，①求证：直线AB过定点.②当点P到直线AB的距离为时，求三角形PAB的外接圆方程.【答案】（1）.（2）①证明见解析；②，.【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为. （2）①设切点为，点，  由（1）的结论的AP直线方程：，BP直线方程：， 通过点，∴有， ∴A，B满足方程：， ∴直线AB恒过点：，即直线AB恒过点. ②已知点到直线AB的距离为. ∴，故，， ∴. 当时，点，直线AB的方程为：， ，解得或，故点. 设的外接圆方程为：，代入得，解得,所以的外接圆方程为， 即的外接圆方程为： ，当时，由对称性可知，三角形PAB的外接圆方程为：.模板二、求直线与圆位置关系中的参数1.模板解决思路直线与圆的位置关系是圆的重点内容,由于圆的特殊性，解答直线与圆的位置关系问题的方法多种多样繁简不一，要注意方法的选择，对于求参数的取值范围问题，一般将直线与圆的位置关系转化为圆心和半径的几何问题，然后根据距离公式列出方程(不等式(组)),解方程(不等式(组)),得解.2.模板解决步骤①第一步求出圆心和半径.②第二步将直线与圆满足某种位置关系的问题转化为关于圆心和半径的几何问题.③第三步根据几何问题 ，列出关于参数的方程(不等式(组)).④第四步解方程(不等式(组)),求出参数的值(或取值范围).知识点1.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝d<rd＝rd>r代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0知识点2.直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．例题1在直角坐标系中，直线的参数方程是是参数)．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（1）当时，请判断直线与曲线的位置关系；（2）当时，若直线与曲线相交于两点，设，且||，求直线的倾斜角．【答案】（1）直线与曲线相切；（2）或．【详解】（1）由，得，又，曲线的直角坐标方程为，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆．由直线的参数方程为得直线的直角坐标方程为．由圆心到直线的距离，可知直线与曲线相切；（2）由题意可得直线是经过点，倾斜角为的直线，将代入，整理得设对应的参数分别为，则，所以异号．则||，所以．又，所以直线的倾斜角为或．例题2已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点.（1）若，求的面积.（2）已知圆，过点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点分别为，，求证直线也与圆相切.【答案】（1）（2）证明见解析【详解】(1）抛物线的焦点为F(1,0)，设，把方程代入抛物线，可得，,点F到直线的距离，（2）设过点P的直线方程为，由直线与圆M相切得，可得 ，设切线的斜率分别为，则，把代入抛物线方程可得,则4，是方程的两根,可得,同理.则有，直线DE： 即为则圆心到直线DE的距离为，由，代入上式，化简可得，所以直线与圆相切.模板三、求圆与圆的位置关系中的参数1.模板解决思路根据两圆位置关系求参数的值或取值范围时，一般将两圆的位置关系(转化为圆心和半径的几何问题，利用距离公式列出方程(组)或不等式(组),解出所求结果.2.模板解决步骤①第一步将两个圆的方程写成标准方程，确定两圆的圆心和半径.②第二步将两圆满足某种位置关系的问题转化成关于两圆圆心和半径的几何问题.③第三步根据几何问题， 列出关于参数的方程(组)或不等式(组).④第四步解方程(组 )或不等式(组),求出参数的值或取值范围.知识点1.两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|< d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含例题1已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线，是否相交？若相交，请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.【答案】（1）：；：；（2）相交，.【详解】(1)由消去参数得：，所以曲线的普通方程为，由得：，将代入得： ，即，所以曲线的直角坐标方程为；(2)由(1)知曲线是以为圆心，为半径的圆，曲线是以为圆心，为半径的圆，于是得，即圆与圆相交，设公共弦长为，因两圆半径相等，从而得公共弦垂直平分线段，于是得，解得，所以公共弦长为.例题2已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上，（1）判断圆与圆的位置关系；（2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值.【答案】（1）两圆相离；（2）证明见解析.【详解】（1）由于点，关于直线对称点，，故圆的方程为：.把点，在圆上，可得，故圆的方程为：.可得圆，，，根据，故两圆相离.（2）设，则，.设点，则.；；，，即.