高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板15 平面向量（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板15 平面向量（解析版），共12页。试卷主要包含了向量的数量积运算，求向量的坐标，平面向量的实际应用等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模板一、向量的数量积运算1.模板解决思路平面向量的数量积的运算有两种形式:一是相据长度和夹角计算;二是利用坐标来计算.对于第一种形式,要注意确定这两个向量的夹角，若夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.对于第二种形式，可通过建立坐标系,确定相关向量的坐标再求解.2.模板解决步骤①第一步利用已知条件得到相关的数量积、模或夹角的关系。②第二步将要求的数量积转化为已知的数量积、模或夹角的运算.③第三步代人化简,求出结果.知识点1.平面向量的数量积已知两个非零向量与b,我们把数量|||b|cos叫作与b的数量积(或内积),记作b,即b=|| |b|cos.其中是与b的夹角，||cos(|b|cos)叫作向量在b方向上(b在方向上)的投影规定:零向量与任一向量的数量积为0.知识点2.平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.知识点3.平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).例题1如图带有坐标系的单位圆O中，设，，，（1）利用单位圆､向量知识证明：（2）若，，，，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）由题意知：，且与的夹角为，所以，又，，所以，故．（2）且，则；，则，又，，， 例题2如图，在平面四边形中，，，且角与角互补.（1）求面积的最大值；（2），求的周长【答案】（1）；（2）9【详解】解：在中，由余弦定理得，，因为，所以，因为角与角互补，所以，设，，在中，由余弦定理得，，所以，（1）因为所以，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值.（2）因为，所以，得又因为，所以解得，所以的周长9   模板二、求向量的坐标1.模板解决思路求向量的坐标,若所给条件比较简单可先将向量用其他已知坐标的向量表示出来，然后代人坐标计算可得.而对于所给条件较复杂的一般是用待定系数法，先设出坐标，然后利用条件得出关于参数的方程(组),最后解出来可得.2.模板解决步骤①第一步设出向量的坐标.②第二步根据条件p,列出关于坐标的方程(组).③第三步解方程(组),得向量的坐标.知识点1.平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差知识点2.平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点3.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.知识点4.平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.(2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)cos θ＝＝.例题1已知向量，．（1）求的坐标以及与之间的夹角；（2）当时，求的取值范围．【答案】（1），；（2）.【详解】（1）因为，，所以，设与之间的夹角为，则，因为，所以与之间的夹角为.（2），因为，所以，故的取值范围是. 例题2已知，，．（1）求与的夹角的大小;（2）若，求k的值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设与的夹角为，因为，因为，所以.       （2），         因为，即，解得. 模板三、平面向量的实际应用1.模板解决思路同用其他数学知识解决实际问题一样,用平面向量解决实际问题，也是先将实际问题转化为数学问题,然后利用平面向量相关知识解决数学问题，最后将数学结果转化为实际问题的答案.2.模板解决步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①第-步；建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.②第二步；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.③第三步；把运算结果“翻译”成几何关系.知识点1.向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.知识点2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤(1)利用线性运算证明的四个步骤①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化.(2)利用坐标运算证明的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化.知识点3.利用向量解决平面几何求值(1)用向量法求长度的策略①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.例题1在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且点F满足 ，由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为 ．过点 的直线TA，TB与此椭圆分别交于点 ， ，其中 ， ， ．    （1）求椭圆C的标准方程；    （2）当T在直线 时，直线MN是否过x轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．    【答案】 （1）解：由 知 ， ，   由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为 ，又有 ，解得 ， ，所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）解：可知 ，直线AT的方程为 ，直线BT的方程为 ．   点 满足   ，故 ， ．点 满足   ，故 ， ．若 ，则 且 ，得 ，此时直线MN的方程为 ，过点 ；若 ，则 ，直线MD的斜率 ，直线MD的斜率为 ，所在 ，所以直线MN过点 ，因此直线MN必过x轴上一定点 ．【解析】（1）根据题意求出 的值，得到椭圆方程.（2）计算 和 的直线方程，联立方程计算 坐标，讨论 和 两种情况，计算得到答案.例题2如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 过点 ，且椭圆的离心率为 ，直线 ： 与椭圆E相交于A、B两点，线段 的中垂线交椭圆E于C、D两点.  （1）求椭圆E的标准方程；    （2）求线段 长的最大值；    （3）求 的值.    【答案】 （1）解：设椭圆E的焦距为 ，   则 ，可知 .又因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ， ，所以椭圆的标准方程为
（2）解：设 ， ， ， ，   由 得 ，又直线 ： 与椭圆 相交于A，B两点，所以 ，且 ，则 .设 的中点 ，则 ， ，所以 的中垂线的方程为 ，即直线 的方程为 ，由 得 ，则 ，所以 ，又 ，所以当 时， .
（3）解：由（2）知，     ，由（2）知 ，所以 .【解析】（1）由离心率 ，解得 ，再将点 代入椭圆方程，可得 ，解出 、 即可求解. （2）设 ， ， ， ，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出 的中点 ，求出直线 的方程为 ，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.（3）利用向量数量积的坐标运算，结合（2），利用韦达定理即可求解.