专题28 整式的乘法与因式分解涉及的数学思想与方法-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版）学案

专题05 整式的乘法与因式分解涉及的数学思想与方法

巧学活用

类型一整体思想

整体思想是指用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握已知和所求之间的关联进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法,从整体出发的处理方法,体现了一种着眼全局、通盘考虑的整体观念.中学数学中,整体思想的应用广泛,整体思想方法的运用的分为以下三步:

(1)从整体出发,高瞻远地统帅局部.

(2)通过对局部的研究,酝酿总体解决的方案.

(3)回到整体,实现解決整个问题的总目标.整体思想方法在整式的化简与求值等方面都有广泛的应用,整体代入、整体运算、整体处理等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用.

例1-1 已知，那么代数式：的值是　　

A．4 B．8

C．12 D．16

解题分析：根据题意得到，，则，代入计算即可．

D【解析】，，，

．故选：．

【点评】本题考查的是单项式乘多项式，多项式乘多项式，掌握单项式乘多项式，多项式乘多项式运算法则是解题的关键．注意整体思想的运用．

练1当时，的值为，则的值为　　

A．55 B．

C．25 D．

练2若，则　　．

练3已知a2+3a﹣1＝0，求2a3+6a2﹣2a+2019的值．

例1-2 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程解：设，

原式　（第一步）

　（第二步）

（第三步）

（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　（填序号）．

．提取公因式

．平方差公式

．两数和的完全平方公式

．两数差的完全平方公式

（2）该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　　．（填“是”或“否”如果否，直接写出最后的结果　　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

解题分析：（1）根据分解因式的过程直接得出答案；

（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；

（3）将看作整体进而分解因式即可．

C【解析】（1）该同学第二步到第三步运用

因式分解的两数和的完全平方公式；故选：；

（2）这个结果没有分解到最后，

原式；

故答案为：否，；

（3）

．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．

练4因式分解

类型三数形结合思想

数与形,本是相倚依

焉能分作两边飞

数无形时少直觉

形少数时难入微

数形结合百般好

隔离分家万事休

切莫忘,几何代数统一体

永远联系莫分离

----华罗庚

数形结合思想数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

例1有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，

对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

解题分析：本题是一道利用面积验证完全平方公式的题目,把数与形有效结合来阐明它们之间存在何种数量关系，通过观察发现方法二中大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+长为a、宽为b的长方形的面积+长为(a+b)、宽为b的长方形的面积,进行解答;方法三中大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个梯形的面积,结合面积计算公式验证公式是否正确，

解：由题意可得，

方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，

方案三：a2a2+2ab+b2＝（a+b）2．

练1数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性．观察下列4个全等的Rt△．

（1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为（a+b）2，还可以表示为　　，所以（a+b）2＝　　，将（a+b）2展开整理后，可进一步的得到等式：　　．

（2）用4个全等的Rt△还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立．

（3）若已知Rt△中，a＝8，b＝6，利用你得到的等式求c的值．

类型三方程思想

方程思想 就是从分析几何问题的数量关系出发,恰当设未知数,利用问题中的条件,把要解决的数学问题中的己知量和未知数之间的数量关系转化为方程或者方程组,进而解决问题.

例1已知，，求的值．

解题分析：运用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂乘法的运算法则，可得到关于a，b的方程组，从可得a，b及a+b的值

解：，，

，，

，，，

解得，，．

【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

练1已知，，则的值为多少？

巧学活用参考答案

类型一整体思想

练1B

练2100　．

练3解：2a3+6a2﹣2a+2019

＝2a（a2+3a﹣1）+2019

∵a2+3a﹣1＝0

∴原式＝2a×0+2019＝2019

∴2a3+6a2﹣2a+2019的值为2019．

练4因式分解

解：

类型二数形结合思想

练1解：（1）∵如图1所示的大正方形＝c2+4a×b＝c2+2ab，∴（a+b）2＝c2+2ab，

∴a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；

故答案为：c2+2ab，c2+2ab，a2+b2＝c2；

（2）∵图2所示大正方形面积可以表示为：c2，也可以表示为（a﹣b）2+4a×b＝a2+b2．

∴c2＝a2+b2；

（3）∵a＝8，b＝6，且c2＝a2+b2；

∴c＝10

类型三方程思想

练1已知，，则的值为多少？

解：，，，，解得，，．故答案为：3