2021学年第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积教学ppt课件

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有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台．
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积；二、棱柱、棱锥、棱台的体积．
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小．
思考：在初中已经学过了长方体的表面积，你知道长方体的展开图与其表面积的关系吗？
长方体是由六个矩形围成的几何体，它的表面积就是六个矩形的面积的和．
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱柱侧面展开图是由若干个平行四边形组成的平面图形．棱柱的表面积等于上、下底面面积和侧面面积的和．
思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成的平面图形．棱锥的表面积等于底面面积和侧面面积的和．
思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的平面图形．棱台的表面积等于上、下底面面积和侧面面积的和．
注意：对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的．
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
例题 如下图，四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积．
分析：因为四面体P-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍．
解：因为△PBC是正三角形，其边长为a，所以 因此，四面体P-ABC的表面积
总结：通过例题我们可得：求几何体的表面积首先是要弄清楚几何体的结构特征，它的每个面是哪个平面图形，然后我们再根据平面图形的求面积公式来求它的面积．最后再将各个面的面积相加就是几何体的表面积．其中侧面的展开图是关键，我们要弄清楚它的形状以及各几何量的大小．将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本的、常用的方法．
例题 正四棱台的上、下底面边长分别是4cm和8cm，侧棱长是8cm，求它的表面积．
分析：正四棱台的上底面和下底面均为正方形，侧面是由四个等腰梯形组成的．
解：因为上底面A1B1C1D1和下底面ABCD为正方形， 所以 S上底 = 4×4=16(cm2)， S下底 = 8×8=64(cm2)．
因为正四棱台四个侧面是全等的等腰梯形，在等腰梯形A1B1BA中，过A1作A1 E⊥AB交AB于点E．
总结：求棱台的表面积首先是要弄清楚棱台的结构特征，它的上、下底面是哪个平面图形，侧面梯形的高怎么计算，然后我们再根据平面图形的面积公式来求它的面积．最后再将各个面的面积相加就是几何体的表面积．
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
体积是几何体所占空间的大小．
同一摞书，当改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否会改变？由此能得到有关体积的什么结论？ 高度没变，每页纸的面积没变，体积没变．
我国古代对几何体的体积研究，取得了光辉的成就，并建立了完整的理论体系．这个理论的基础是：祖暅原理． 祖暅（5世纪-6世纪），祖冲之之子，南北朝时期的伟大科学家．于5世纪末提出了下面的体积计算公式即著名的祖暅原理．
幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
我们注意到棱柱被平行与底面的平面所截时，得到的截面与底面全等，因此截面面积一定等于底面面积，从而由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱柱，体积相等．
以前学过特殊的棱柱——长方体的体积公式
如果棱柱的底面面积是S，高为h，则棱柱的体积公式
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离．
思考：由祖暅原理可知，底面面积相等，高相等的两个棱锥，体积相等．那么如果棱锥的底面积是S，高为h，则棱锥的体积公式是什么？
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系
一般地，棱锥的底面面积是S，高为h，则棱锥的体积公式为：
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离．
设棱台的上、下底面面积分别为S ′ ，S ，高为h，因为棱台可看成一个大棱锥截去一个小棱锥得到，所以棱台的体积可以通过计算棱锥的体积之差来得到．
将四棱台看成从棱锥P-ABCD中截去棱锥P-A ′ B ′ C ′ D ′ 所得到的，设两个棱锥的高分别为PO与PO ′ ．
一般地，如果棱台的上、下底面面积分别为 S ′ ， S ， 高为h，则棱台的体积
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离．
二、棱柱、棱锥、棱台的体积公式
思考：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式：（1）它们之间有什么关系？（2）你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
上底面扩大到和下底面相等
例题 如下图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01m3）？
分析：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和．

小结：求组合体的体积时，要注意组合体的结构特征，先拆成我们熟悉的简单几何体（如棱柱、棱锥、棱台等），再根据每个简单几何体的体积公式来计算．求棱柱、棱锥、棱台的体积时要注意底面面积和高的计算．
例题 已知直三棱柱ABC- A ′ B ′ C ′ ，底面ABC的一边长BC为2cm，另两边长为3cm，侧棱长为4cm，求它的侧面积和体积．
分析：由直三棱柱的结构特征可知：三个侧面都是矩形；侧棱长等于高．
小结：求棱柱的侧面积关键是要弄清楚侧面展开图的形状及各几何量的大小．比如此题是直三棱柱，它的侧面都是矩形．可利用矩形面积公式来计算．根据直三棱柱的结构特征可知侧棱就是直三棱柱的高，利用棱柱体积公式直接可得．
例题 如图，将一个长方体ABCD-A ′ B ′ C ′ D ′ 沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥B-A ′ B ′ C ′ ， 求棱锥B-A ′ B ′ C ′ 的体积与剩下的几何体体积的比．
分析：需要求出长方体ABCD-A ′ B ′ C ′ D ′的体积和棱锥B-A ′ B ′ C ′ 的体积．
总结：本题是几何体的分割问题，解答时可先求出整个长方体的体积，再求出截下的三棱锥的体积，从而求出剩余部分的体积．在求几何体的体积时，必须先确定底面面积和高，然后运用体积公式，应注意到平面图形的应用；而对于组合体，可采用“割补法”转化为简单几何体求解往往会取到更佳的效果．
例题 正四棱锥底面边长为4cm，高与斜高的夹角是30，求正四棱锥的表面积和体积．
分析：首先需要计算正四棱锥的高与斜高的值，然后利用公式计算底面面积和侧面面积以及体积．
解：根据正四棱锥的定义可知：取正方形ABCD的中心O，则PO为正四棱锥的高．取BC的中点E，则PE为正四棱锥的斜高．
因为正四棱锥的底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形．所以S底面 = 4×4=16(cm2)，
小结：要计算正四棱锥的表面积和体积关键是要弄清楚：底面面积是正方形，侧面是四个全等的等腰三角形，利用平面直角三角形求出正四棱锥的高和斜高，然后再利用表面积和体积计算公式求出表面积和体积．
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积；计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．求它们的侧面积关键是要弄清楚侧面展开图的形状及各几何量的大小．
三、求体积的常用方法：（1）公式法：直接根据相关的体积公式计算；（2）等积法：转化几何体的底面和高，使得计算简单；（3）割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适 当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．
1．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点在同一个平面内．如果四边形是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？