高中数学第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示图片课件ppt

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如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 .不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底{e1，e2}.
1.平面向量基本定理2.平面向量基本定理的作用
问题1 平面向量基底的唯一要求就是不共线，因此平面向量有无数个基底.那么选什么样的基底能够更好地解决问题？
问题2 如果物体在斜面上静止不动，一般将重力分解为：沿斜面向下和垂直于斜面的互相垂直的两个分力，即进行了正交分解.
问题2 如果物体在斜面上静止不动，我们可以使用正交分解，其它分解方法可以吗？
问题2 如果物体在斜面上静止不动，我们可以使用正交分解，还可以有其它很多分解方法，哪种分解方法更好？
问题2 如果物体在斜面上静止不动，物理上，我们一般将重力进行了正交分解.这对我们研究平面向量基底的选择有什么启示?
结论：互相垂直的两个向量作为平面内所有向量的一个基底.
三、新课讲解1.定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
问题3 在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数表示（即它的坐标），那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量？
如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?
2.平面向量的坐标表示.
2.1 在平面直角坐标系中，
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i,j}作为基底.
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，
2.1 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.
我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，
我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y).
2.2. 特殊向量的坐标表示
因为 i=i+0· j， 所以 i=(1,0).
i=(1,0)，
i=(1,0)， j=(0,1)，
i=(1,0)， j=(0,1)，0=(0,0).
例 如图所示，向量i ,j作为基底{i，j} ，O为坐标原点，A(2,3)，则 的坐标为多少？
解：因为 =2i+3j,
所以 =(2,3).
问题4 一般地，用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，O为坐标原点，点A的坐标与 的坐标有什么关系？
2.3猜想：用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标？
2.3用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标？
问题5 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(3,2)，点A位置确定了吗？给定向量a的坐标为a=(3,2)，向量a的位置确定了吗？
=3i+2j
对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.
对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，
对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，此时给出了a的方向和大小，
对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，
对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以自由平移，
对于点A，若给定坐标为A(3,2)，则点A位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(3,2)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以自由平移，因此，a的位置还与其起点有关.
a=xi+yj
=xi+yj
例 如图，用单位向量i ,j作为基底{i，j} ，A(2,2),B(3,4),求 的坐标.
解：因为 A(2,2),B(3,4),
解：因为 A(2,2),B(3,4), 所以 =i+2j.
所以 =(1,2).
2.4 两个向量相等的坐标表示
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
设i，j是与x轴、y轴同向的两个单位正交向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，由平面向量基本定理可得a=b
2.5 点的坐标与向量坐标的联系与区别
解：将各向量按i，j的方向进行分解
因为 a= =2i+3j，
因为 a=2i+3j，所以 a=(2,3)；
把一个向量分解为两个垂直的向量.
分别取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j.
向量a=xi+yj,有序数对(x,y),叫做向量a的坐标.
向量a=xi+yj有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.
a=(x,y)i=(1,0)j=(0,1)0=(0,0)
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
1.判断下列命题是否正确 (正确的写T，错误的写F) .
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( )
(3)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. ( )
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( )
解：例如A(3,1),B(7,6), C(0,0),D(4,5),
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( F )
解：符合向量坐标的性质，正确.
(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( F )
(3)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. ( F )
小结：重视对定义、概念的理解.
解：因为不知道向量 的起点，所以选项A，B都不正确.
解：因为不知道向量 的起点，所以选项A，B都不正确.当B是原点时，A点的坐标是(-1,-2)，所以选项C不正确.
当A是原点时，B点的坐标是(1,2)，选项D正确.
解：a=3i+4j=(3,4),
4. 如图，向量a,b,c的坐标为___,___,___.
因为 a= i，所以a=( ,0)；
因为 b=6j，所以b=(0,6)；
因为 c= i j，
所以c=( ).
解:作AM⊥x轴于点M，
则OM=OA·cs45°
AM＝OA·sin 45°
所以 ∠AOC=
所以 ∠AOC= ∠AON=45°.
所以 ∠AOC= ∠AON=45°.所以 ∠CON=30°.
因为 OC=AB=3,
向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.
1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？
2. 怎样研究平面向量的正交分解及坐标表示？
3. 体现了用代数的方法解决几何问题的策略
如图，用单位正交向量i ,j作为基底{i，j}，表示向量a,b,c,d ,并求出它们的坐标.