高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用多媒体教学课件ppt

第六章　6.4　6.4.3　第2课时

A级——基础过关练

1．(2020年北京期末)在△ABC中，若b＝3，c＝，C＝，则角B的大小为(　　)

A．　　 B．

C．　　 D．或

【答案】D　【解析】∵b＝3，c＝，C＝，由正弦定理可得，＝，∴sin B＝＝＝.∵b＞c，B＞C，∴B＝或.故选D．

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)

A．1∶2∶3　　　　　 B．3∶2∶1

C．2∶∶1　　 D．1∶∶2

【答案】D　【解析】在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A．又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.

3．(2020年安庆期末)在△ABC中，已知sin A＝2sin Bcos C，则该三角形的形状是(　　)

A．等边三角形　　 B．直角三角形

C．等腰三角形　　 D．等腰直角三角形

【答案】C　【解析】因为sin A＝2sin Bcos C，所以sin(B＋C)＝2sin Bcos C，所以sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0.因为A，B，C是三角形内角，所以B＝C．所以三角形是等腰三角形．故选C．

4．(2020年凉山模拟)△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝，bcos A＝sin B，则A＝(　　)

A．　　　 B．

C．　　　 D．

【答案】D　【解析】∵a＝，bcos A＝sin B，∴bcos A＝asin B，∴由正弦定理可得sin Asin B＝sin B·cos A．∵B是三角形内角，sin B≠0，∴tan A＝.∴由A是三角形内角，可得A＝.故选D．

5．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)

A．b＝10，A＝45°，C＝70°

B．b＝45，c＝48，B＝60°

C．a＝14，b＝16，A＝45°

D．a＝7，b＝5，A＝80°

【答案】BC　【解析】B满足csin 60°＜b＜c，C满足bsin 45°＜a＜b，所以B，C有两解．对于A，可求B＝180°－A－C＝65°，三角形有一解．对于D，由sin B＝，且b＜a，可得B为锐角，只有一解，三角形只有一解．故选BC．

6．(2020年北京期末)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab且sin A＝sin C，则cos A＝________.

【答案】　【解析】c2＝2ab且sin A＝sin C，由正弦定理可得，2a＝c，∴b＝c＝2a，则cos A＝＝.

7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．

【答案】直角三角形　【解析】由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C＝，所以2－2＝2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则＝________，角C的最大值为________．

【答案】2　　【解析】∵cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，∴(1－2sin2A)＋(1－2sin2B)＝2(1－2sin2C)．∴sin2A＋sin2B＝2sin2C．∴由正弦定理可得a2＋b2＝2c2.∴＝2.∵a2＋b2＝2c2≥2ab，可得≥1，当且仅当a＝b时等号成立，∴由余弦定理可得cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时等号成立．∵C∈(0，π)，∴C∈，即角C的最大值为.

9．(2019年温州月考)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝，求a，b及cos B．

解：因为A＝30°，C＝45°，c＝，

所以由正弦定理，得a＝＝＝1.

又B＝180°－(30°＋45°)＝105°，

所以cos B＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝，b＝＝＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)＝.

10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．

解：∵＝＝，∴b＝＝＝＝4.C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝＝＝＝4sin(30°＋45°)＝2＋2.

B级——能力提升练

11．(2020年南充模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＋b＝＋，则角C＝(　　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【答案】D　【解析】根据题意，a＋b＝＋，由正弦定理可得sin A＋sin B＝＋＝＋＝cos A＋cos B，则有sin A＋sin B＝cos A＋cos B，变形可得sin A－cos A＝cos B－sin B，即＝，即sin＝sin，得sin＝sin，所以A－＝－B＋2kπ或A－＝2kπ＋π－，化简得A－B＝(2k＋1)π或A＋B＝＋2kπ，k∈Z.又0＜A＜π，0＜B＜π.所以A＋B＝，则C＝.故选D．

12．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin B＋sin C＝sin A，则a＝(　　)

A．　　 B．2　　

C．4　　 D．2

【答案】C　【解析】根据正弦定理，sin B＋sin C＝sin A可化为b＋c＝a，∵△ABC的周长为4(＋1)，∴解得a＝4.故选C．

13．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为(　　)

A．60°　　 B．75°　　

C．90°　　 D．115°

【答案】B　【解析】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝，整理，得(3－)sin A＝(3＋)cos A，所以tan A＝2＋，所以A＝75°.故选B．

14．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝(　　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【答案】B　【解析】由题意得EB＝EA＋AB＝2，则在Rt△EBC中，EC＝＝＝.在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝，由正弦定理得＝＝，所以sin ∠CED＝·sin∠EDC＝·sin＝.

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a－c＝0，则角B＝________.

【答案】　【解析】由正弦定理知，sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0(*)．因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，代入(*)式得sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0.因为sin C＞0，所以sin B－cos B－1＝0.所以2sin＝1，即sin＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.

16．(2020年合肥月考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝________，sin C的最大值为________．

【答案】3　　【解析】∵sin A·sin B·cos C＝sin2C，∴由正弦定理得到：abcos C＝c2，可得cos C＝.又cos C＝，∴＝，整理可得的值为3.

∵cos C＝＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，∴(sin C)max＝＝.

17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C．

解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C．利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin A＋sin C＝sin B．又∵sin A＝cos C，∴sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝sin(C＋45°)＝sin B．又A，B，C是△ABC的内角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，∴A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.∴C＝15°.

18．(2020年南通模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin C＝ccos A，A∈.

(1)求角A的大小；

(2)若sin(θ－A)＝，且0＜θ＜，求cos(2θ＋A)的值．

解：(1)∵asin C＝ccos A，

∴由正弦定理可得sin Asin C＝sin Ccos A．

∵C∈(0，π)，sin C≠0，

∴sin A＝cos A，即tan A＝.

∵A∈，∴A＝.

(2)∵由(1)sin＝，且0＜θ＜，

∴θ－∈，

∴cos＝＝.

∴sin＝2××＝.

∴cos(2θ＋A)＝cos＝sin＝－.

C级——探索创新练

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量q＝(2a,1)，p＝(2b－c，cos C)且p∥q.

(1)求sin A的值；

(2)求＋1的取值范围．

解：(1)∵p∥q，∴2acos C＝2b－c.

由正弦定理，得2sin Acos C＝2sin B－sin C．

又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，

∴2sin Acos C＝2sin Acos C＋2cos Asin C－sin C，即sin C＝cos Asin C．

∵sin C≠0，∴cos A＝.

又∵0＜A＜π，∴A＝，sin A＝.

(2)＋1＝1－＝1－2cos2C＋2sin Ccos C＝sin 2C－cos 2C＝sin.

由A＝，得0＜C＜，∴－＜2C－＜π.

∴－＜sin≤1.

∴－1＜sin≤.

∴＋1的取值范围是(－1，]．