高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课文内容ppt课件

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一、向量数乘运算的定义
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，
它的长度与方向规定如下：
(1) | λa | ＝ | λ | | a |；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反．
这种运算叫做向量的数乘．
显然，当 λ ＝ 0 时，
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a |
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a |
显然，当 λ ＝ 0 时，| 0a | ＝ | 0 | | a | ＝ 0，
当 a ＝ 0 时，| λ0 |
当 a ＝ 0 时，| λ0 | ＝ | λ | | 0 |
当 a ＝ 0 时，| λ0 | ＝ | λ | | 0 | ＝ 0，
已知向量 a 如图所示，求作向量 b＝0.5a ，c＝－2a．
几何角度：非零向量的数乘运算，相当于对向量 a 延其所在直线方向的拉伸或压缩．
二、向量数乘运算的运算律
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍为向量．
对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，λ ( μ 1 a ± μ 2 b)
对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，λ ( μ 1 a ± μ 2 b) ＝ λ ( μ 1 a ) ± λ ( μ 2 b)
对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ ，μ 1 ，μ 2 ，λ ( μ 1 a ± μ 2 b) ＝ λ ( μ 1 a ) ± λ ( μ 2 b) ＝ λ μ 1 a ± λ μ 2 b．
例 判断下列结论的正误：
向量数乘运算的的结果是一个向量；
向量数乘运算的的结果是一个向量；区分数量 0 与向量 0．
② 若 λa ＝ 0，则 λ ＝ 0或a ＝ 0；
分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，
分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，即 | λ | | a |＝0，
分析： λa ＝ 0，即 | λa |＝0，即 | λ | | a |＝0， 则 λ ＝ 0 或 a ＝ 0．
③ 若 λa ＝ λb，则 a ＝ b ；
④ 若 λa ＝ μa，则 λ ＝ μ ；
④ 若 λa ＝ μa，则 λ ＝ μ ．
与数量问题既有相似，又有区别．需要准确把握概念，严谨分析．
(－3)×4a＝(－3×4)a
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a；
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a；
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b)
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b ＝0a＋5b
(－3)×4a＝(－3×4)a＝－12a； 3(a＋b)－2(a－b)－a ＝3a＋3b－2a＋2b－a ＝(3a－2a－a)＋(3b＋2b) ＝(3－2－1)a＋(3＋2)b ＝0a＋5b ＝5b；
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b)．
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ xa－ya＋xb－yb－xa－ya＋xb＋yb ＝ －2ya＋2xb．
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ [(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b
(x－y)(a＋b)－(x＋y)(a－b) ＝ (x－y)a＋(x－y)b－(x＋y)a＋(x＋y)b ＝ [(x－y)－(x＋y)]a＋[(x－y)＋(x＋y)]b ＝ －2ya＋2xb．
向量的线性运算，与数和代数式的运算非常相似，去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法同样适用。
用两已知向量的线性运算表示其它向量的一般方法： 把待求向量放在三角形或平行四边形中，利用三角形法则、平行四边形法则以及向量数乘的定义，逐步完成对待求向量的表示．
一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa，它的长度与方向规定如下： (1) | λa | ＝ | λ | | a | ； (2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相反．
运算的研究过程： 运算法则——运算律——运算的应用
运算的研究过程： 运算法则——运算律——运算的应用 向量数与形的双重属性： 从数与形两方面认识向量问题
运算的研究过程： 运算法则——运算律——运算的应用 向量数与形的双重属性： 从数与形两方面认识向量问题 类比的研究方法： 既要关注共性，又要关注区别