高中6.2 平面向量的运算授课ppt课件

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问题1 回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？
问题2 物理知识中，有关于两个矢量相乘的背景吗？
功的概念: 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为
其中 是力F与s的夹角.
问题3 功是一个标量，由力和位移两个向量来确定，能否把“功”看成是两个“向量”相乘的结果呢？受此启发，要定义向量的乘法，我们需要先定义什么？
已知两个非零向量a ，b，
如何描述这两个向量的夹角？
已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，
已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，作 ，
已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，作 ， ，
已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，作 ， ，则 叫做向量a与b的夹角.
问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？
思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？
显然，向量 与 的夹角为 ．
由于向量 与 的起点不同，
先将向量平移到同起点，
所以 ，向量 与 的夹角为 ．
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积（inner prduct）），记作 ，即 .
注意：“ ”中间的“•”不可以省略，也不可以用“ ”代替．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？
（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．
（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关．
数量积运算结果的符号由 决定．
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ， 我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积（inner prduct）），记作 ，即 .
例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．
例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．
解：由 ，得
已知三角函数值求角问题.
因为 ，
所以 ．
力F在位移垂直方向所做功为0
力F在位移方向上的分力所做的功
问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?
设a ，b两个非零向量， ， ，我们考虑如下变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量b投影..
设a ，b两个非零向量， ， ，我们考虑如下变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量b投影. 叫做向量a在向量b上的投影向量..
我们可以在平面内任取一点O，作 ， ，过点M作直线ON的垂线，垂足为 ，则 就是向量a在向量b上的投影向量..
向量a在向量b上的投影向量是向量，它的大小和方向如何确定呢？
任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：a =| a | e （e是与a同向的单位向量）
向量a在向量b上的投影向量如何表示？
如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？
显然， 与e 共线，
关键1：判断λ正负，2：求向量 的模．
当θ为锐角时， 与e 方向相同， ，
当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ，
当θ为钝角时， 与e 方向相反， ，
当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，
任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积： a =| a | e .（e是与a同向的单位向量）
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量可以表示为： .
向量a 与b 的数量积可以转化为向量a在向量b上的投影向量 与b的数量积.
问题8 当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？
特殊向量：零向量，单位向量.
零向量与任一向量的数量积为零.
设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，a与e的数量积有怎样的特殊性？
，
问题9 当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？
当 时， ，
因此 ．
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
因此 ．
设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？
当a与b同向时， ，
当a与b反向时， ，
特别地， 或
问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的大小关系？
由 可得
即 ，
所以 ．
设a ，b是非零向量，它们的夹角是θ ，e是与b方向相同的单位向量，则

规定：零向量与任一向量的数量积为0.
向量a与b的数量积可以转化为向量a在向量b上的投影向量 与b的数量积