初中数学华师大版九年级上册1. 成比例线段课时训练

专题23.1  成比例线段-重难点题型

【华东师大版】

【知识点1 成比例线段的概念】

1．比例的项：

在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．

2．成比例线段：

四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

【题型1  成比例线段的概念】

【例1】（2020•浉河区校级一模）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为　 　．

【变式1-1】（2020秋•岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（　　）

A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20

【变式1-2】若a：b＝c：d，则下列各式成立的是（　　）

A．a：d＝c：b B．b：d＝c：a 

C． D．（ b+d≠0）

【变式1-3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．

（1）求a、b、c的值；

（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．

【题型2   成比例线段概念的应用】

【例2】（2021春•江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为　  　km．

【变式2-1】（2020秋•高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　）

A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 

C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形

【变式2-2】（2020秋•渝中区期末）阅读理解：

已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．

证明：∵，

∴11．

∴．

根据以上方法，解答下列问题：

（1）若，求的值；

（2）若，且a≠b，c≠d，证明．

【变式2-3】阅读理解，并解决问题：

小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现（分比性质）：若，则．

已知①；②

问题解决：

（1）仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；

（2）证明（1）中的分比性质等式成立

【知识点2 比例的性质】

【题型3  比例的性质（比值问题）】

【例3】（2020秋•炎陵县期末）已知，则       ．

【变式3-1】（2020秋•平果市期末）如果，那么        ．

【变式3-2】（2020秋•雅安期末）若0，则        ．

【变式3-3】（2020秋•梁溪区期末）若（b+d+f≠0），则        ．

【题型4   比例的性质（三角形问题）】

【例4】（2020秋•兰州期末）已知△ABC和△DEF中，有，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长．

【变式4-1】（2020秋•沭阳县期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC三边的长．

【变式4-2】（2020秋•永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．

【变式4-3】已知a、b、c是△ABC的三边长，且0，求：

（1）的值．

（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．

【题型5  比例的性质（阅读理解类）】

【例5】（2020春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：

题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．

解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，

依照上述方法解答下列问题：已知：（x+y+z≠0），求的值．

【变式5-1】（2020秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：

题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．

解：设k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），

∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．

依照上述方法解答下列问题：

a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当时，求的值．

【变式5-2】解答下列各题：

（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16

（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，求的值

【变式5-3】我们知道：若，且b+d≠0，那么．

（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？

（2）若，求t2﹣t﹣2的值．

【知识点3 黄金分割】

如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）

【题型6 黄金分割】

【例6】（2020秋•闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

【变式6-1】（2021•龙口市模拟）黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若EM＝4，则AB＝　      　．

【变式6-2】（2020秋•市北区期末）如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则线段AP2020的长度是（　　）

A． B． 

C． D．

【变式6-3】 （2020秋•平顶山期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（　　）

A．（）2018 B．（）2019 C．（）2018 D．（）2019