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华师大版九年级上册1.锐角三角函数课时训练
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这是一份华师大版九年级上册1.锐角三角函数课时训练，文件包含专题241锐角三角函数-重难点题型举一反三华东师大版原卷版docx、专题241锐角三角函数-重难点题型举一反三华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
专题24.1 锐角三角函数-重难点题型
【华东师大版】
【知识点1 锐角三角函数】
在中，，则的三角函数为
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
【知识点2 特殊角的三角函数值】
三角函数
30°
45°
60°
1
【题型1 紧扣定义求三角函数值】
【例1】（2021春•萧山区月考）Rt△ABC在中，若AB=3AC，则cosB＝ 63或32 ．
【分析】分AB为斜边、AB为直角边两种情况，根据勾股定理和余弦的定义计算即可．
【解答】解：设AC＝x，则AB=3x，
当AB为斜边时，BC=AB2−AC2=2x，
则cosB=BCAB=2x3x=63；
当AB为直角边时，BC=AB2+AC2=2x，
则cosB=ABBC=32；
综上所述，cosB的值为63或32．
【变式1-1】（2020•南沙区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA=125，则sinB＝ 513 ．
【分析】根据正切函数，可得AC，根据勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA=125，得
BCAC=125，即12AC=125，
∴AC＝5．
由勾股定理，得
AB=AC2+BC2=13．
sinB=ACAB=513，
故答案为：513．
【变式1-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=35，求tanA的值．
【分析】根据互为余角的三角函数关系，可得sinA，根据正弦等于对边比斜边，可得BC与AB的关系，根据勾股定理，可得AC的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=35，得
sinA＝cosB=BCAB=35，
设BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得
AC=AB2−BC2=4x，
由正切等于对边比邻边，得
tanA=BCAC=3x4x=34．
【变式1-3】（2020•厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
【分析】依题意设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC=(3x)2+(4x)2=5x，
EM=x2+(2x)2=5x，
CM=(2x)2+(4x)2=25x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM=EMCE=55．
【题型2 利用余角转换求三角函数值】
【例2】（2021•东莞市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB=34，AC＝12，则BC＝ 9 ．
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义计算即可
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA＝tan∠BCD=34=BCAC，
∴BC=34AC=34×12＝9．
故答案为9．
【变式2-1】（2021秋•文登市校级期中）如图，若sinα=25，则cosβ＝ 25 ．
【分析】根据两个角的和等于90°，可得这两个角互余，根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【解答】解：由α+β＝90°，得α、β互为余角，
由一个角的余弦等于它余角的正弦，得
cosβ＝sinα=25，
故答案为：25．
【变式2-2】（2020秋•常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有 ①②③④ ．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=ACBC，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【变式2-3】观察下列等式：
①sin30°=12，cos60°=12；
②sin45°=22，cos45°=22；
③sin60°=32，cos30°=32．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝ 1 ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
【分析】（1）根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，根据同角的正弦和余弦之间的关系即可求解；
（2）利用（1）的结论即可直接求解．
【解答】解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；
（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°
＝1+1+…1+12
＝44+12
=892．
【题型3 构造直角求三角函数值】
【例3】（2020•大庆模拟）如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD=13，则tanA＝（ ）
A．32 B．1 C．13 D．23
【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．
∴BE∥AC．
∵AB＝BD，
∴AC＝2BE．
又∵tan∠BCD=13，设BE＝x，则AC＝2x，
∴tanA=BCAC=3x2x=32，
故选：A．
【变式3-1】（2020秋•肥城市期中）在锐角三角形ABC中，若tanA＝3，那么cosA的值为（ ）
A．13 B．31010 C．1010 D．310
【分析】构造直角三角形，由tanA＝3，表示出CD、AD，利用勾股定理求出AC，再根据余弦的意义求出结果即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵tanA＝3，
∴CDAD=3，
设AD＝k，则CD＝3k，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=10k，
∴cosA=ADAC=k10k=1010，
故选：C．
【变式3-2】（2020•南充模拟）把一副三角板按如图方式放置，含30°角的顶点D在等腰直角三角板的斜边BC的延长线上，∠E＝90°，BC＝DE，则sin∠ADB的值是（ ）
A．34 B．33 C．24 D．23
【分析】作AF⊥BD于F，由等腰直角△ABC得AF和BC的关系式；再由直角△AED可得AD和DE的关系式；再结合BC＝DE从而计算得到答案．
【解答】解：作AF⊥BD于F，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°且∠BAC＝90°，
∴AF=12BC=12DE，
∵含30°角的顶点D在等腰直角三角板的斜边BC的延长线上，
∴∠ADE＝30°，
∴cos∠ADE=DEAD=32，
∴sin∠ADB=AFAD=12⋅DEAD=34，
故选：A．
【变式3-3】（2020•菏泽）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=15，则tan∠CBD的值为（ ）
A．56 B．23 C．1 D．22
【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，可得△ADE是等腰直角三角形，由tan∠DBA=15，易得BE＝5DE＝5AE，又由在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，可求得AE，AD的长，继而求得CD的长，然后求得tan∠CBD的值．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵tan∠DBA=15=DEBE，
∴BE＝5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴AE＝DE，
∴BE＝5AE，
又∵AC＝6，
∴AB＝62，
∴AE+BE＝AE+5AE＝62，
∴AE=2，
∴AD=2AE＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4．
∵在Rt△BCD中，∠C＝90°，CD＝4，BC＝AC＝6，
∴tan∠CBD=CDBC=46=23．
故选：B．
【题型4 利用增减性判断三角函数的取值范围】
【例4】（2021秋•綦江区校级月考）如果30°＜∠A＜45°，那么sinA的范围是（ ）
A．0＜sinA＜12 B．12＜sinA＜22 C．22＜sinA＜32 D．32＜sinA＜1
【分析】由sinα随锐角α的增大而增大且30°＜∠A＜45°，结合特殊锐角的三角函数值可得答案．
【解答】解：∵sinα随锐角α的增大而增大，且30°＜∠A＜45°，
∴12＜sinA＜22，
故选：B．
【变式4-1】（2020秋•新乐市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解答】解：sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
【变式4-2】（2020秋•余姚市期末）已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜22，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．
【解答】解：由0＜α＜45°，得
0＜sinα＜22，故①正确；
cosα＞sinα，故②错误；
sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；
0＜tanα＜1，故④正确；
故选：B．
【变式4-3】（2020•佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
【解答】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP=PEBP=sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP=PFBP=sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP=PFBP=sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．
【题型5 利用特殊角求三角函数值】
【例5】（2020秋•济宁期末）在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC−22|+（32−cosB）2＝0，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．105° C．90° D．60°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出答案．
【解答】解：∵|sinC−22|+（32−cosB）2＝0，
∴sinC=22，cosB=32，
∴∠C＝45°，∠B＝30°，
∴∠A的度数为：180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：B．
【变式5-1】（2020秋•伊川县期末）若（3tanA﹣3）2+|2cosB−3|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝60°，∠B＝30°，进而得出答案．
【解答】解：∵（3tanA﹣3）2+|2cosB−3|＝0，
∴3tanA＝3，2cosB=3，
则tanA=3，cosB=32，
故∠A＝60°，∠B＝30°，
则∠C＝90°，
故△ABC的形状是直角三角形．
故选：A．
【变式5-2】（2020秋•永嘉县校级期末）计算：
（1）cos245°−cos60°1−sin30°+tan245°﹣tan260°．
（2）3tan30°−1cos60°+8cos45°+(1−tan60°)2．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（22）2−121−12+1﹣（3）2
=12−1+1﹣3
=−52；
（2）原式＝3×33−2+22×22+3−1
=3−2+2+3−1
＝23−1．
【变式5-3】（2020秋•锡山区校级月考）（1）已知α是锐角，且sin（α+15°）=32，求tanα；
（2）在△ABC中，若（cosA−12）2+|1﹣tanB|＝0，求∠C．
【分析】（1）根据60°的正弦值为32解答；
（2）根据非负数的性质分别求出∠A、∠B，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵sin60°=32，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴tanα＝tan45°＝1；
（2）∵（cosA−12）2+|1﹣tanB|＝0，
∴cosA−12=0，1﹣tanB＝0，
∴cosA=12，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．
【题型6 三角函数在等腰直角三角形中的应用】
【例6】（2020•道里区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，E是△BCD内一点，连接BE和EC，BE＝AB，∠BEC+12∠BAC＝180°．若EC＝1，tan∠ABC=233，则线段BD的长是 6 ．
【分析】连接AD，并延长DA到G，使得AG＝EG＝1，连接BG，证明△ABG≌△EBC（SAS），得BG＝BC，再设BF=3x，在Rt△BGF中，用勾股定理列出x的方程，求得x便可求得BD．
【解答】解：连接AD，并延长DA到G，使得AG＝EC＝1，连接BG，
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC，BF＝CF，∠BAF=12∠BAC，
∵∠BEC+12∠BAC＝180°，∠BAD+∠BAG＝180°，
∴∠BAG＝∠BEC，
∵BA＝BE，
∴△ABG≌△EBC（SAS），
∴BG＝BC，
∵tan∠ABC=233，
∴设BF=3x，则AF＝2x，BG＝BC＝23x，
∵BG2＝BF2+FG2，
∴(23x)2=(3x)2+(2x+1)2，
解得，x＝1，或x＝﹣0.2（舍去），
∴BF=3，
∴BD=2BF=6．
故答案为：6．
【变式6-1】（2020秋•香坊区校级期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD，AD，若2∠ADB﹣∠ACD＝180°，BD=6，则AD＝ 23 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝45°，过D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于F，根据正方形的性质得到BF＝DF＝BE＝DE，设AB＝BC＝x，得到CD＝AC=2x，求得CF=3+x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵BQ∥AC，
∴∠ABQ＝∠BAC＝45°，
如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于F，
则四边形DEBF是正方形，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∵BD=6，
∴BF＝DF＝BE＝DE=3，
∵2∠ADB﹣∠ACD＝180°，
∴2（∠ADC+∠BDC）﹣∠ACD＝180°，
∴2∠ADC+2∠BDC﹣∠ACD＝180°．
∵BQ∥AC，
∴∠BDC＝∠ACD．
∴2∠ADC+∠ACD＝180°．
即∠ADC+∠ADC+∠ACD＝180°．
∵∠DAC+∠ADC+∠ACD＝180°，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴AC＝DC．
设AB＝BC＝x，
∴CD＝AC=2x，
∴CF=3+x，
在Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2，
即（2x）2＝（3）2+（3+x）2，
∴x=3+3，（负值舍去），
∴AB=3+3，
∴AE＝3，
∴AD=AE2+DE2=32+(3)2=23．
故答案为：23．
【变式6-2】（2020•南岗区校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，点D为AC上一点，tan∠ADB＝3，过D作ED⊥BD，且DE＝BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为 2 ．
【分析】如图，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN＝AH，连接EN．只要证明DF是△ENC的中位线即可解决问题．
【解答】解：如图，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN＝AH，连接EN．
∵∠EHD＝∠BMD＝∠EDB＝90°，
∴∠DBM+∠BDM＝90°，∠BDM+∠EDH＝90°，
∴∠DBM＝∠EDH，
∵DE＝DB，
∴△BMD≌△DHE，
∴BM＝DH，DM＝EH，
∵tan∠ADB=BMDM=3，设DM＝a，则BM＝DH＝3a，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM⊥AC，
∴AM＝CM＝BM＝3a，
∵AM＝DH，
∴AH＝DM＝EH＝a，
∴AH＝HN＝MN＝a，DN＝2a，CD＝2a，
∴CD＝DN，∵EF＝FC，
∴DF=12EN=22a，
∵AB＝BC＝12，
∴AC＝6a＝122，
∴a＝22，
∴DF＝2．
故答案为2．
【变式6-3】（2020秋•郑州校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝10，D是△ABC外一点，连接BD，过D作DH⊥AB，垂足为H交AC于E，若BD＝AB，且tan∠HDB=34，求DE的长．
【分析】首先根据勾股定理得出BA的长，再利用解直角三角形得出BH，DH的长，进而得出AH＝EH的长，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝10，
∴BC2+BA2＝100，AB＝BC，
∴解得：BA＝52，
∵DH⊥AB，BD＝AB，tan∠HDB=34，
∴tan∠HDB=BHDH=34，BD＝AB＝52，
假设BD＝3x，则BH＝4x，
∴BD2＝BH2+DH2，
∴50＝25x2，
∴x=2，
∴BH＝32，DH＝42，
∴AH＝52−32=22，
∵∠A＝∠C＝45°，EH⊥AH，
∴AH＝EH＝22，
∴DE＝42−22=22．
专题24.1 锐角三角函数-重难点题型
【华东师大版】
【知识点1 锐角三角函数】
在中，，则的三角函数为
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
【知识点2 特殊角的三角函数值】
三角函数
30°
45°
60°
1
【题型1 紧扣定义求三角函数值】
【例1】（2021春•萧山区月考）Rt△ABC在中，若AB=3AC，则cosB＝ 63或32 ．
【分析】分AB为斜边、AB为直角边两种情况，根据勾股定理和余弦的定义计算即可．
【解答】解：设AC＝x，则AB=3x，
当AB为斜边时，BC=AB2−AC2=2x，
则cosB=BCAB=2x3x=63；
当AB为直角边时，BC=AB2+AC2=2x，
则cosB=ABBC=32；
综上所述，cosB的值为63或32．
【变式1-1】（2020•南沙区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA=125，则sinB＝ 513 ．
【分析】根据正切函数，可得AC，根据勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，tanA=125，得
BCAC=125，即12AC=125，
∴AC＝5．
由勾股定理，得
AB=AC2+BC2=13．
sinB=ACAB=513，
故答案为：513．
【变式1-2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=35，求tanA的值．
【分析】根据互为余角的三角函数关系，可得sinA，根据正弦等于对边比斜边，可得BC与AB的关系，根据勾股定理，可得AC的长 再根据正切等于对边比邻边，可得答案．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=35，得
sinA＝cosB=BCAB=35，
设BC＝3x，AB＝5x，勾股定理得
AC=AB2−BC2=4x，
由正切等于对边比邻边，得
tanA=BCAC=3x4x=34．
【变式1-3】（2020•厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
【分析】依题意设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC=(3x)2+(4x)2=5x，
EM=x2+(2x)2=5x，
CM=(2x)2+(4x)2=25x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM=EMCE=55．
【题型2 利用余角转换求三角函数值】
【例2】（2021•东莞市校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD垂直于AB，tan∠DCB=34，AC＝12，则BC＝ 9 ．
【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD＝∠A，根据正切的定义计算即可
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA＝tan∠BCD=34=BCAC，
∴BC=34AC=34×12＝9．
故答案为9．
【变式2-1】（2021秋•文登市校级期中）如图，若sinα=25，则cosβ＝ 25 ．
【分析】根据两个角的和等于90°，可得这两个角互余，根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【解答】解：由α+β＝90°，得α、β互为余角，
由一个角的余弦等于它余角的正弦，得
cosβ＝sinα=25，
故答案为：25．
【变式2-2】（2020秋•常州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有 ①②③④ ．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC=ACBC，
∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【变式2-3】观察下列等式：
①sin30°=12，cos60°=12；
②sin45°=22，cos45°=22；
③sin60°=32，cos30°=32．
（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝ 1 ．
（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．
【分析】（1）根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，根据同角的正弦和余弦之间的关系即可求解；
（2）利用（1）的结论即可直接求解．
【解答】解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；
（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°
＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°
＝1+1+…1+12
＝44+12
=892．
【题型3 构造直角求三角函数值】
【例3】（2020•大庆模拟）如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD=13，则tanA＝（ ）
A．32 B．1 C．13 D．23
【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．
∴BE∥AC．
∵AB＝BD，
∴AC＝2BE．
又∵tan∠BCD=13，设BE＝x，则AC＝2x，
∴tanA=BCAC=3x2x=32，
故选：A．
【变式3-1】（2020秋•肥城市期中）在锐角三角形ABC中，若tanA＝3，那么cosA的值为（ ）
A．13 B．31010 C．1010 D．310
【分析】构造直角三角形，由tanA＝3，表示出CD、AD，利用勾股定理求出AC，再根据余弦的意义求出结果即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵tanA＝3，
∴CDAD=3，
设AD＝k，则CD＝3k，
在Rt△ACD中，AC=AD2+CD2=10k，
∴cosA=ADAC=k10k=1010，
故选：C．
【变式3-2】（2020•南充模拟）把一副三角板按如图方式放置，含30°角的顶点D在等腰直角三角板的斜边BC的延长线上，∠E＝90°，BC＝DE，则sin∠ADB的值是（ ）
A．34 B．33 C．24 D．23
【分析】作AF⊥BD于F，由等腰直角△ABC得AF和BC的关系式；再由直角△AED可得AD和DE的关系式；再结合BC＝DE从而计算得到答案．
【解答】解：作AF⊥BD于F，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°且∠BAC＝90°，
∴AF=12BC=12DE，
∵含30°角的顶点D在等腰直角三角板的斜边BC的延长线上，
∴∠ADE＝30°，
∴cos∠ADE=DEAD=32，
∴sin∠ADB=AFAD=12⋅DEAD=34，
故选：A．
【变式3-3】（2020•菏泽）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=15，则tan∠CBD的值为（ ）
A．56 B．23 C．1 D．22
【分析】首先过点D作DE⊥AB于E，可得△ADE是等腰直角三角形，由tan∠DBA=15，易得BE＝5DE＝5AE，又由在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，可求得AE，AD的长，继而求得CD的长，然后求得tan∠CBD的值．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵tan∠DBA=15=DEBE，
∴BE＝5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∴AE＝DE，
∴BE＝5AE，
又∵AC＝6，
∴AB＝62，
∴AE+BE＝AE+5AE＝62，
∴AE=2，
∴AD=2AE＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4．
∵在Rt△BCD中，∠C＝90°，CD＝4，BC＝AC＝6，
∴tan∠CBD=CDBC=46=23．
故选：B．
【题型4 利用增减性判断三角函数的取值范围】
【例4】（2021秋•綦江区校级月考）如果30°＜∠A＜45°，那么sinA的范围是（ ）
A．0＜sinA＜12 B．12＜sinA＜22 C．22＜sinA＜32 D．32＜sinA＜1
【分析】由sinα随锐角α的增大而增大且30°＜∠A＜45°，结合特殊锐角的三角函数值可得答案．
【解答】解：∵sinα随锐角α的增大而增大，且30°＜∠A＜45°，
∴12＜sinA＜22，
故选：B．
【变式4-1】（2020秋•新乐市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58° B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28° D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解答】解：sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，
∴cos58°＜cos32°＜cos28°，
∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
【变式4-2】（2020秋•余姚市期末）已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜22，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．
【解答】解：由0＜α＜45°，得
0＜sinα＜22，故①正确；
cosα＞sinα，故②错误；
sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；
0＜tanα＜1，故④正确；
故选：B．
【变式4-3】（2020•佛山）如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；
（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．
【解答】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP=PEBP=sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP=PFBP=sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBP=PEBP=sinα，sin∠FBP=PFBP=sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．
【题型5 利用特殊角求三角函数值】
【例5】（2020秋•济宁期末）在△ABC中，∠C，∠B为锐角，且满足|sinC−22|+（32−cosB）2＝0，则∠A的度数为（ ）
A．100° B．105° C．90° D．60°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出答案．
【解答】解：∵|sinC−22|+（32−cosB）2＝0，
∴sinC=22，cosB=32，
∴∠C＝45°，∠B＝30°，
∴∠A的度数为：180°﹣45°﹣30°＝105°．
故选：B．
【变式5-1】（2020秋•伊川县期末）若（3tanA﹣3）2+|2cosB−3|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A＝60°，∠B＝30°，进而得出答案．
【解答】解：∵（3tanA﹣3）2+|2cosB−3|＝0，
∴3tanA＝3，2cosB=3，
则tanA=3，cosB=32，
故∠A＝60°，∠B＝30°，
则∠C＝90°，
故△ABC的形状是直角三角形．
故选：A．
【变式5-2】（2020秋•永嘉县校级期末）计算：
（1）cos245°−cos60°1−sin30°+tan245°﹣tan260°．
（2）3tan30°−1cos60°+8cos45°+(1−tan60°)2．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（22）2−121−12+1﹣（3）2
=12−1+1﹣3
=−52；
（2）原式＝3×33−2+22×22+3−1
=3−2+2+3−1
＝23−1．
【变式5-3】（2020秋•锡山区校级月考）（1）已知α是锐角，且sin（α+15°）=32，求tanα；
（2）在△ABC中，若（cosA−12）2+|1﹣tanB|＝0，求∠C．
【分析】（1）根据60°的正弦值为32解答；
（2）根据非负数的性质分别求出∠A、∠B，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵sin60°=32，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴tanα＝tan45°＝1；
（2）∵（cosA−12）2+|1﹣tanB|＝0，
∴cosA−12=0，1﹣tanB＝0，
∴cosA=12，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°．
【题型6 三角函数在等腰直角三角形中的应用】
【例6】（2020•道里区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为斜边作等腰直角三角形BCD，E是△BCD内一点，连接BE和EC，BE＝AB，∠BEC+12∠BAC＝180°．若EC＝1，tan∠ABC=233，则线段BD的长是 6 ．
【分析】连接AD，并延长DA到G，使得AG＝EG＝1，连接BG，证明△ABG≌△EBC（SAS），得BG＝BC，再设BF=3x，在Rt△BGF中，用勾股定理列出x的方程，求得x便可求得BD．
【解答】解：连接AD，并延长DA到G，使得AG＝EC＝1，连接BG，
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC，BF＝CF，∠BAF=12∠BAC，
∵∠BEC+12∠BAC＝180°，∠BAD+∠BAG＝180°，
∴∠BAG＝∠BEC，
∵BA＝BE，
∴△ABG≌△EBC（SAS），
∴BG＝BC，
∵tan∠ABC=233，
∴设BF=3x，则AF＝2x，BG＝BC＝23x，
∵BG2＝BF2+FG2，
∴(23x)2=(3x)2+(2x+1)2，
解得，x＝1，或x＝﹣0.2（舍去），
∴BF=3，
∴BD=2BF=6．
故答案为：6．
【变式6-1】（2020秋•香坊区校级期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD，AD，若2∠ADB﹣∠ACD＝180°，BD=6，则AD＝ 23 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝45°，过D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于F，根据正方形的性质得到BF＝DF＝BE＝DE，设AB＝BC＝x，得到CD＝AC=2x，求得CF=3+x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵BQ∥AC，
∴∠ABQ＝∠BAC＝45°，
如图，过D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于F，
则四边形DEBF是正方形，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∵BD=6，
∴BF＝DF＝BE＝DE=3，
∵2∠ADB﹣∠ACD＝180°，
∴2（∠ADC+∠BDC）﹣∠ACD＝180°，
∴2∠ADC+2∠BDC﹣∠ACD＝180°．
∵BQ∥AC，
∴∠BDC＝∠ACD．
∴2∠ADC+∠ACD＝180°．
即∠ADC+∠ADC+∠ACD＝180°．
∵∠DAC+∠ADC+∠ACD＝180°，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴AC＝DC．
设AB＝BC＝x，
∴CD＝AC=2x，
∴CF=3+x，
在Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2，
即（2x）2＝（3）2+（3+x）2，
∴x=3+3，（负值舍去），
∴AB=3+3，
∴AE＝3，
∴AD=AE2+DE2=32+(3)2=23．
故答案为：23．
【变式6-2】（2020•南岗区校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝12，∠ABC＝90°，点D为AC上一点，tan∠ADB＝3，过D作ED⊥BD，且DE＝BD，连接BE，AE，EC，点F为EC中点，连接DF，则DF的长为 2 ．
【分析】如图，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN＝AH，连接EN．只要证明DF是△ENC的中位线即可解决问题．
【解答】解：如图，作BM⊥AC于M，EH⊥AC于H，在HM上截取HN＝AH，连接EN．
∵∠EHD＝∠BMD＝∠EDB＝90°，
∴∠DBM+∠BDM＝90°，∠BDM+∠EDH＝90°，
∴∠DBM＝∠EDH，
∵DE＝DB，
∴△BMD≌△DHE，
∴BM＝DH，DM＝EH，
∵tan∠ADB=BMDM=3，设DM＝a，则BM＝DH＝3a，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM⊥AC，
∴AM＝CM＝BM＝3a，
∵AM＝DH，
∴AH＝DM＝EH＝a，
∴AH＝HN＝MN＝a，DN＝2a，CD＝2a，
∴CD＝DN，∵EF＝FC，
∴DF=12EN=22a，
∵AB＝BC＝12，
∴AC＝6a＝122，
∴a＝22，
∴DF＝2．
故答案为2．
【变式6-3】（2020秋•郑州校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝10，D是△ABC外一点，连接BD，过D作DH⊥AB，垂足为H交AC于E，若BD＝AB，且tan∠HDB=34，求DE的长．
【分析】首先根据勾股定理得出BA的长，再利用解直角三角形得出BH，DH的长，进而得出AH＝EH的长，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝10，
∴BC2+BA2＝100，AB＝BC，
∴解得：BA＝52，
∵DH⊥AB，BD＝AB，tan∠HDB=34，
∴tan∠HDB=BHDH=34，BD＝AB＝52，
假设BD＝3x，则BH＝4x，
∴BD2＝BH2+DH2，
∴50＝25x2，
∴x=2，
∴BH＝32，DH＝42，
∴AH＝52−32=22，
∵∠A＝∠C＝45°，EH⊥AH，
∴AH＝EH＝22，
∴DE＝42−22=22．
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