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湖南省张家界市桑植县2020-2021学年七年级上学期期中考试数学试题(word版含答案)
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这是一份湖南省张家界市桑植县2020-2021学年七年级上学期期中考试数学试题(word版含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省张家界市桑植县七年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出符合要求的选项）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．﹣2 D．
2．一元二次方程x2﹣2x+k＝0总有实数根，则k应满足的条件是（ ）
A．k＞1 B．k≥1 C．k＜1 D．k≤1
3．已知反比例函数的图象经过点A（﹣4，2），则k的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．8 D．﹣8
4．随着科技的快速发展，电子产品的成本逐渐降低，某品牌手机每部零售价5000元，经过连续两次降价后零售价为4050元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A．9% B．10% C．19% D．20%
5．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．一般认为，人的肚脐至头顶的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金比例）最好看，如图是一个参加空姐选拔的选手的净身高情况，那么她应穿多高的鞋子才最好看（精确到1cm）？（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＝c B．a＝b C．a＝c D．a＝b＝c
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，满分18分，只须填写符合题意的答案）
9．方程x2＝x的解是 ．
10．已知，则的值为 ．
11．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 ．
13．一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程（x﹣7）（x﹣12）＝0的根，则这个三角形的周长是 ．
14．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝……，过点A1、A2、A3、A4、A5……分别作x轴的垂线与反比例函数y＝（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5……，得直角三角形OP1A1、A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5……，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5……，则S10＝ ．（n≥1的整数）
三、解答题（本大题共9道小题，满分58分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
15．已知反比例函数y＝（2m+1）的图象在第一、三象限，求m的值．
16．先化简，再求值：
，其中x满足方程x2﹣3x+2＝0．
17．读诗词解题：通过列方程式，请你算算周瑜去世时的年龄是多少？
18．解一元二次方程：
（1）用配方法解方程：4x2+8x+3＝0
（2）用公式法解方程：2x（x+2）＝3﹣x
19．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，．
（1）求AD的长；
（2）试问能成立吗？请说明理由．
20．阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+x+0.25）＝3x2+2x．
整理，得．
①当y≠3时，∵x为实数，∴△＝，∴y≤4且y≠3；
②当y＝3时，．即为，方程有解（x的值存在）；
∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
21．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A，且点A的横坐标为4．
（1）求点A的坐标及一次函数的解析式；
（2）若直线x＝2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．
22．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
23．提出问题
国庆节期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量促销对消费者的受益程度的大小呢？我们可定义：优惠率p＝，其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品总金额，当优惠率p越大，消费者受益程度越大，反之就越小．
分析问题
经统计，顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为p甲＝与p乙＝，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值，请据图象分析：
（1）求出k甲的值并用m的代数式表示k乙的值；
（2）当购买总金额m元在200≤m＜400条件下时，指出甲、乙两家商场在采取的促销方案是什么？
解决问题
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱少些？请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出符合要求的选项）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．﹣2 D．
【分析】根据反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数进行分析即可．
解：A、 是正比例函数，选项A不符合题意；
B、 是反比例函数，选项B符合题意；
C、﹣2不是反比例函数，选项C不符合题意；
D、不是反比例函数，选项D不符合题意．
故选：B．
2．一元二次方程x2﹣2x+k＝0总有实数根，则k应满足的条件是（ ）
A．k＞1 B．k≥1 C．k＜1 D．k≤1
【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于k的不等式，解答即可．
解：∵方程x2﹣2x+k＝0总有实数根，
∴△≥0，即4﹣4k≥0，
∴﹣4k≥﹣4，
∴k≤1．
故选：D．
3．已知反比例函数的图象经过点A（﹣4，2），则k的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】把A点的坐标代入解析式，即可求出答案．
解：∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，2），
∴2＝，
解得：k＝﹣8．
故选：D．
4．随着科技的快速发展，电子产品的成本逐渐降低，某品牌手机每部零售价5000元，经过连续两次降价后零售价为4050元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A．9% B．10% C．19% D．20%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据原价及经两次降价后的价格为4050元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：平均每次降价的百分率为10%．
故选：B．
5．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
6．一般认为，人的肚脐至头顶的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金比例）最好看，如图是一个参加空姐选拔的选手的净身高情况，那么她应穿多高的鞋子才最好看（精确到1cm）？（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【分析】根据黄金分割的概念，可以知道黄金分割点把一条线段分成两部分，其中较短线段与较长线段的比约是0.618．因此，可以建立方程解决问题．
解：设她应穿xcm高的鞋子．根据题意，得
≈0.618，解得x≈10．
经检验，x＝10是分式方程的解，
所以她应穿约10 cm高的鞋子才最好看．
故选：C．
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC＝CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＝c B．a＝b C．a＝c D．a＝b＝c
【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝﹣1，再判断即可．
【解答】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得出a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c，
故选：C．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，满分18分，只须填写符合题意的答案）
9．方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
10．已知，则的值为 ．
【分析】两边都乘以5（a+b）得出5a＝3a+3b，求出2a＝3b，再根据比例的性质得出即可．
解：＝，
两边都乘以5（a+b）得：5a＝3a+3b，
2a＝3b，
＝，
故答案为：．
11．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件： ∠C＝∠E或∠B＝∠ADE ，使△ABC∽△ADE．
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE．
12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 x（x+12）＝864 ．
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
13．一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程（x﹣7）（x﹣12）＝0的根，则这个三角形的周长是 18 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝7，x2＝12，然后利用三角形三边的关系确定三角形第三边长，再计算三角形的周长．
解：∵（x﹣7）（x﹣12）＝0，
∴x﹣7＝0或x﹣12＝0，
解得x1＝7，x2＝12，
∵第三边为12时，3+8＝11＜12，不能构成三角形，
∴x＝12舍去；
∴三角形第三边长为7，
∴三角形周长为3+8+7＝18．
故答案为：18．
14．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝……，过点A1、A2、A3、A4、A5……分别作x轴的垂线与反比例函数y＝（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5……，得直角三角形OP1A1、A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5……，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5……，则S10＝ ．（n≥1的整数）
【分析】根据反比例函数y＝中k的几何意义再结合图象即可解答．
解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝|k|＝1．
又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5
所以S1＝|k|＝1，S2＝|k|＝，S3＝|k|＝，S4＝|k|＝，S5＝|k|＝…
依此类推：Sn的值为．
当n＝10时，S10＝．
故答案是：．
三、解答题（本大题共9道小题，满分58分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
15．已知反比例函数y＝（2m+1）的图象在第一、三象限，求m的值．
【分析】根据反比例函数的图象与性质可得到关于m的不等式，解不等式即可求得m的取值范围．
解：∵反比例函数y＝（2m+1）的图象在第一、三象限，
∴m2﹣5＝﹣1，解得：m＝2 或m＝﹣2，
又 2m+1＞0，解得：m＞，
∴m＝2．
16．先化简，再求值：
，其中x满足方程x2﹣3x+2＝0．
【分析】先根据分式的减法法则算减法，再算除法，再根据分式的乘法法则算乘法，求出x的值后代入，即可得出答案．解一元二次方程
解：
＝
＝
＝•
＝，
∵分式有意义，
∴x≠﹣1且x≠2，
解方程 x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2（舍），
将x＝1代入上式得 ．
17．读诗词解题：通过列方程式，请你算算周瑜去世时的年龄是多少？
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为 （x﹣3）．
由题意得；10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6．
当 x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当 x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为36岁．
18．解一元二次方程：
（1）用配方法解方程：4x2+8x+3＝0
（2）用公式法解方程：2x（x+2）＝3﹣x
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据公式法即可求出答案．
解：（1）∵4x2+8x+3＝0，
∴x2+2x＝，
∴（x+1）2＝，
∴x＝或x＝；
（2）∵2x（x+2）＝3﹣x，
∴2x2+5x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝5，c＝﹣3，
∴△＝25+4×2×3＝49，
∴x＝，
∴x＝或x＝﹣3．
19．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，．
（1）求AD的长；
（2）试问能成立吗？请说明理由．
【分析】（1）将AE＝6，EC＝4，代入比例式可求解；
（2）利用比例的基本相似可求解．
解：（1）∵．
∴，
∴AD＝7.2；
（2）能，
理由如下：∵，
∴，
∴，
∴．
20．阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+x+0.25）＝3x2+2x．
整理，得．
①当y≠3时，∵x为实数，∴△＝，∴y≤4且y≠3；
②当y＝3时，．即为，方程有解（x的值存在）；
∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【分析】模仿例题，利用根的判别式解决问题即可．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+2x+1）＝3x2+x+2，
整理，得 （y﹣3）x2+（2y﹣1）x+（y﹣2）＝0，
①当 y≠3 时，∵x为实数，
∴△＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝0＝16y﹣23≥0；
∴ 且 y≠3，
②当y＝3时，（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+（y﹣2）＝0 即为 5x+1＝0，方程有解（ x 的值存在）；
∴．因此，y的最小值为 ．
21．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A，且点A的横坐标为4．
（1）求点A的坐标及一次函数的解析式；
（2）若直线x＝2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．
【分析】（1）由已知先求出m，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y＝kx﹣3求出k的值即可求出一次函数的解析式．
（2）把x＝2代入y＝和y＝x﹣3，得出点B和点C的纵坐标，即可求出线段BC的长．
解：（1）设点A坐标为（4，m）
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（4，1），
把A（4，1）代入一次函数y＝kx﹣3，得4k﹣3＝1，
∴k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；
（2）∵直线x＝2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，
∴当x＝2时，yB＝＝2，
yC＝2﹣3＝﹣1，
∴线段BC的长为|yB﹣yC|＝2﹣（﹣1）＝3．
22．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，从而证明∠EDC＝∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；
（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．
解：（1）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD．
又∵∠ADE＝45°，
∴45°+∠EDC＝45°+∠BAD．
∴∠EDC＝∠BAD．
∴△ABD∽△DCE．
（2）①若AD＝AE时，∠DAE＝90°，
此时D点与点B重合，不合题意．
②若AD＝DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，
此时△ABD≌△DCE，
于是AB＝AC＝2，BC＝2，AE＝AC﹣EC＝2﹣BD＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，
③若AE＝DE，此时∠DAE＝∠ADE＝45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD＝DC．
由等腰三角形的三线合一可知：AE＝CE＝AC＝1．
23．提出问题
国庆节期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量促销对消费者的受益程度的大小呢？我们可定义：优惠率p＝，其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品总金额，当优惠率p越大，消费者受益程度越大，反之就越小．
分析问题
经统计，顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为p甲＝与p乙＝，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值，请据图象分析：
（1）求出k甲的值并用m的代数式表示k乙的值；
（2）当购买总金额m元在200≤m＜400条件下时，指出甲、乙两家商场在采取的促销方案是什么？
解决问题
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱少些？请说明理由．
【分析】（1）把m＝200，p甲＝0.5代入p甲＝中求得k甲＝100，然后根据p乙始终为0.4，得到p乙＝，从而求得k乙的值即可；
（2）当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，代入可得甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；乙家商场采取的促销方案是：打6折促销．
（3）根据当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．然后据m﹣100＝0.6m，得m＝250．即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多．从而确定哪家更优惠．
解：（1）把m＝200，p甲＝0.5代入p甲＝中，
得k甲＝100．
由于p乙始终为0.4，
即＝0.4，
∴k乙＝0.4m；
（2）由（1）及优惠率p的含义可知：
当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，
甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；
乙家商场采取的促销方案是：打6折促销；
（3）由上可知，当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．
据m﹣100＝0.6m，得m＝250．即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多．
再由图象易知，当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠．
2020-2021学年湖南省张家界市桑植县七年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出符合要求的选项）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．﹣2 D．
2．一元二次方程x2﹣2x+k＝0总有实数根，则k应满足的条件是（ ）
A．k＞1 B．k≥1 C．k＜1 D．k≤1
3．已知反比例函数的图象经过点A（﹣4，2），则k的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．8 D．﹣8
4．随着科技的快速发展，电子产品的成本逐渐降低，某品牌手机每部零售价5000元，经过连续两次降价后零售价为4050元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A．9% B．10% C．19% D．20%
5．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．一般认为，人的肚脐至头顶的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金比例）最好看，如图是一个参加空姐选拔的选手的净身高情况，那么她应穿多高的鞋子才最好看（精确到1cm）？（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＝c B．a＝b C．a＝c D．a＝b＝c
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，满分18分，只须填写符合题意的答案）
9．方程x2＝x的解是 ．
10．已知，则的值为 ．
11．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 ．
13．一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程（x﹣7）（x﹣12）＝0的根，则这个三角形的周长是 ．
14．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝……，过点A1、A2、A3、A4、A5……分别作x轴的垂线与反比例函数y＝（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5……，得直角三角形OP1A1、A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5……，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5……，则S10＝ ．（n≥1的整数）
三、解答题（本大题共9道小题，满分58分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
15．已知反比例函数y＝（2m+1）的图象在第一、三象限，求m的值．
16．先化简，再求值：
，其中x满足方程x2﹣3x+2＝0．
17．读诗词解题：通过列方程式，请你算算周瑜去世时的年龄是多少？
18．解一元二次方程：
（1）用配方法解方程：4x2+8x+3＝0
（2）用公式法解方程：2x（x+2）＝3﹣x
19．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，．
（1）求AD的长；
（2）试问能成立吗？请说明理由．
20．阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+x+0.25）＝3x2+2x．
整理，得．
①当y≠3时，∵x为实数，∴△＝，∴y≤4且y≠3；
②当y＝3时，．即为，方程有解（x的值存在）；
∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
21．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A，且点A的横坐标为4．
（1）求点A的坐标及一次函数的解析式；
（2）若直线x＝2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．
22．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
23．提出问题
国庆节期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量促销对消费者的受益程度的大小呢？我们可定义：优惠率p＝，其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品总金额，当优惠率p越大，消费者受益程度越大，反之就越小．
分析问题
经统计，顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为p甲＝与p乙＝，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值，请据图象分析：
（1）求出k甲的值并用m的代数式表示k乙的值；
（2）当购买总金额m元在200≤m＜400条件下时，指出甲、乙两家商场在采取的促销方案是什么？
解决问题
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱少些？请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出符合要求的选项）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C．﹣2 D．
【分析】根据反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数进行分析即可．
解：A、 是正比例函数，选项A不符合题意；
B、 是反比例函数，选项B符合题意；
C、﹣2不是反比例函数，选项C不符合题意；
D、不是反比例函数，选项D不符合题意．
故选：B．
2．一元二次方程x2﹣2x+k＝0总有实数根，则k应满足的条件是（ ）
A．k＞1 B．k≥1 C．k＜1 D．k≤1
【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于k的不等式，解答即可．
解：∵方程x2﹣2x+k＝0总有实数根，
∴△≥0，即4﹣4k≥0，
∴﹣4k≥﹣4，
∴k≤1．
故选：D．
3．已知反比例函数的图象经过点A（﹣4，2），则k的值为（ ）
A．2 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】把A点的坐标代入解析式，即可求出答案．
解：∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，2），
∴2＝，
解得：k＝﹣8．
故选：D．
4．随着科技的快速发展，电子产品的成本逐渐降低，某品牌手机每部零售价5000元，经过连续两次降价后零售价为4050元，则平均每次降价的百分率是（ ）
A．9% B．10% C．19% D．20%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据原价及经两次降价后的价格为4050元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：平均每次降价的百分率为10%．
故选：B．
5．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
6．一般认为，人的肚脐至头顶的长度与肚脐至足底的长度之比是（0.618，称为黄金比例）最好看，如图是一个参加空姐选拔的选手的净身高情况，那么她应穿多高的鞋子才最好看（精确到1cm）？（ ）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
【分析】根据黄金分割的概念，可以知道黄金分割点把一条线段分成两部分，其中较短线段与较长线段的比约是0.618．因此，可以建立方程解决问题．
解：设她应穿xcm高的鞋子．根据题意，得
≈0.618，解得x≈10．
经检验，x＝10是分式方程的解，
所以她应穿约10 cm高的鞋子才最好看．
故选：C．
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
解：△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝3，AB：BC＝2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝1，则AB：BC＝CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE＝90°，CD＝2，DE＝4，则AB：BC＝DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD＝90°，CD＝2，CE＝1，则AB：BC＝CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＝c B．a＝b C．a＝c D．a＝b＝c
【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝﹣1，再判断即可．
【解答】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得出a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c，
故选：C．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，满分18分，只须填写符合题意的答案）
9．方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
10．已知，则的值为 ．
【分析】两边都乘以5（a+b）得出5a＝3a+3b，求出2a＝3b，再根据比例的性质得出即可．
解：＝，
两边都乘以5（a+b）得：5a＝3a+3b，
2a＝3b，
＝，
故答案为：．
11．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件： ∠C＝∠E或∠B＝∠ADE ，使△ABC∽△ADE．
【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE
又∵∠C＝∠E（或∠B＝∠ADE）
∴△ABC∽△ADE．
故答案为：∠C＝∠E或∠B＝∠ADE．
12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 x（x+12）＝864 ．
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12）步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为（x+12）步．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
13．一个三角形的两边长为3和8，第三边的长是方程（x﹣7）（x﹣12）＝0的根，则这个三角形的周长是 18 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝7，x2＝12，然后利用三角形三边的关系确定三角形第三边长，再计算三角形的周长．
解：∵（x﹣7）（x﹣12）＝0，
∴x﹣7＝0或x﹣12＝0，
解得x1＝7，x2＝12，
∵第三边为12时，3+8＝11＜12，不能构成三角形，
∴x＝12舍去；
∴三角形第三边长为7，
∴三角形周长为3+8+7＝18．
故答案为：18．
14．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝……，过点A1、A2、A3、A4、A5……分别作x轴的垂线与反比例函数y＝（x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5……，得直角三角形OP1A1、A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5……，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5……，则S10＝ ．（n≥1的整数）
【分析】根据反比例函数y＝中k的几何意义再结合图象即可解答．
解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S＝|k|＝1．
又因为OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5
所以S1＝|k|＝1，S2＝|k|＝，S3＝|k|＝，S4＝|k|＝，S5＝|k|＝…
依此类推：Sn的值为．
当n＝10时，S10＝．
故答案是：．
三、解答题（本大题共9道小题，满分58分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
15．已知反比例函数y＝（2m+1）的图象在第一、三象限，求m的值．
【分析】根据反比例函数的图象与性质可得到关于m的不等式，解不等式即可求得m的取值范围．
解：∵反比例函数y＝（2m+1）的图象在第一、三象限，
∴m2﹣5＝﹣1，解得：m＝2 或m＝﹣2，
又 2m+1＞0，解得：m＞，
∴m＝2．
16．先化简，再求值：
，其中x满足方程x2﹣3x+2＝0．
【分析】先根据分式的减法法则算减法，再算除法，再根据分式的乘法法则算乘法，求出x的值后代入，即可得出答案．解一元二次方程
解：
＝
＝
＝•
＝，
∵分式有意义，
∴x≠﹣1且x≠2，
解方程 x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2（舍），
将x＝1代入上式得 ．
17．读诗词解题：通过列方程式，请你算算周瑜去世时的年龄是多少？
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为 （x﹣3）．
由题意得；10（x﹣3）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6．
当 x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当 x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为36岁．
18．解一元二次方程：
（1）用配方法解方程：4x2+8x+3＝0
（2）用公式法解方程：2x（x+2）＝3﹣x
【分析】（1）根据配方法即可求出答案；
（2）根据公式法即可求出答案．
解：（1）∵4x2+8x+3＝0，
∴x2+2x＝，
∴（x+1）2＝，
∴x＝或x＝；
（2）∵2x（x+2）＝3﹣x，
∴2x2+5x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝5，c＝﹣3，
∴△＝25+4×2×3＝49，
∴x＝，
∴x＝或x＝﹣3．
19．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4，．
（1）求AD的长；
（2）试问能成立吗？请说明理由．
【分析】（1）将AE＝6，EC＝4，代入比例式可求解；
（2）利用比例的基本相似可求解．
解：（1）∵．
∴，
∴AD＝7.2；
（2）能，
理由如下：∵，
∴，
∴，
∴．
20．阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+x+0.25）＝3x2+2x．
整理，得．
①当y≠3时，∵x为实数，∴△＝，∴y≤4且y≠3；
②当y＝3时，．即为，方程有解（x的值存在）；
∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【分析】模仿例题，利用根的判别式解决问题即可．
解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+2x+1）＝3x2+x+2，
整理，得 （y﹣3）x2+（2y﹣1）x+（y﹣2）＝0，
①当 y≠3 时，∵x为实数，
∴△＝（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）＝0＝16y﹣23≥0；
∴ 且 y≠3，
②当y＝3时，（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+（y﹣2）＝0 即为 5x+1＝0，方程有解（ x 的值存在）；
∴．因此，y的最小值为 ．
21．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A，且点A的横坐标为4．
（1）求点A的坐标及一次函数的解析式；
（2）若直线x＝2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．
【分析】（1）由已知先求出m，得出点A的坐标，再把A的坐标代入一次函数y＝kx﹣3求出k的值即可求出一次函数的解析式．
（2）把x＝2代入y＝和y＝x﹣3，得出点B和点C的纵坐标，即可求出线段BC的长．
解：（1）设点A坐标为（4，m）
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝＝1，
∴A（4，1），
把A（4，1）代入一次函数y＝kx﹣3，得4k﹣3＝1，
∴k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；
（2）∵直线x＝2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，
∴当x＝2时，yB＝＝2，
yC＝2﹣3＝﹣1，
∴线段BC的长为|yB﹣yC|＝2﹣（﹣1）＝3．
22．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，从而证明∠EDC＝∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；
（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．
解：（1）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD．
又∵∠ADE＝45°，
∴45°+∠EDC＝45°+∠BAD．
∴∠EDC＝∠BAD．
∴△ABD∽△DCE．
（2）①若AD＝AE时，∠DAE＝90°，
此时D点与点B重合，不合题意．
②若AD＝DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，
此时△ABD≌△DCE，
于是AB＝AC＝2，BC＝2，AE＝AC﹣EC＝2﹣BD＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，
③若AE＝DE，此时∠DAE＝∠ADE＝45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD＝DC．
由等腰三角形的三线合一可知：AE＝CE＝AC＝1．
23．提出问题
国庆节期间，甲、乙两家商场都进行了促销活动，如何才能更好地衡量促销对消费者的受益程度的大小呢？我们可定义：优惠率p＝，其中k代表优惠金额，m代表顾客购买商品总金额，当优惠率p越大，消费者受益程度越大，反之就越小．
分析问题
经统计，顾客在甲、乙两家商场购买商品的总金额都为m（200≤m＜400）元时，优惠率分别为p甲＝与p乙＝，它们与m的关系图象如图所示，其中p甲与m成反比例函数关系，p乙保持定值，请据图象分析：
（1）求出k甲的值并用m的代数式表示k乙的值；
（2）当购买总金额m元在200≤m＜400条件下时，指出甲、乙两家商场在采取的促销方案是什么？
解决问题
（3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲、乙两家商场的标价都是m（200≤m＜400）元，你认为选择哪家商场购买商品花钱少些？请说明理由．
【分析】（1）把m＝200，p甲＝0.5代入p甲＝中求得k甲＝100，然后根据p乙始终为0.4，得到p乙＝，从而求得k乙的值即可；
（2）当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，代入可得甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；乙家商场采取的促销方案是：打6折促销．
（3）根据当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．然后据m﹣100＝0.6m，得m＝250．即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多．从而确定哪家更优惠．
解：（1）把m＝200，p甲＝0.5代入p甲＝中，
得k甲＝100．
由于p乙始终为0.4，
即＝0.4，
∴k乙＝0.4m；
（2）由（1）及优惠率p的含义可知：
当购买总金额都为m元，且在200≤m＜400的条件下时，
甲家商场采取的促销方案是：优惠100元；
乙家商场采取的促销方案是：打6折促销；
（3）由上可知，当200≤m＜400时，甲家商场需花（m﹣100）元，乙家商场需花0.6m元．
据m﹣100＝0.6m，得m＝250．即当m＝250时，在两家商场购买花钱一样多．
再由图象易知，当200≤m＜250时，甲商场更优惠；当250＜m＜400时，乙商场更优惠．
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