专题07 解三角形-备战2022年高考数学二轮复习专题之提分秘典

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专题07 解三角形1．（2021·全国·高一课时练习）在中，已知，试判断的形状.【答案】等腰三角形【分析】在中，利用余弦定理化角为边即可求解.【详解】在中，已知，利用余弦定理化角为边可得：，整理可得：，即即，所以是等腰三角形.2．（2021·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别为，且满足，求.【答案】【分析】根据题意化简得，结合余弦定理，即可求解.【详解】由化简得，又由余弦定理得，因为，所以.3．（2021·全国·高一课时练习）已知钝角三角形ABC的三边长为连续的自然数，求三边的长.【答案】2, 3, 4【分析】设三角形的三个边分别为，由余弦定理知，最大角的余弦值小于0，从而求得n的取值范围，然后选出其中符合条件的值即可.【详解】不妨设a＝n, b＝n＋1, c＝n＋2(n∈N*)，则C为最大角且为钝角.在△ABC中，由余弦定理得cosC＝<0，所以a2＋b2－c2<0，即a2＋b2<c2，所以n2＋(n＋1)2<(n＋2)2，解得－1<n<3.又因为n∈N*且n, n＋1, n＋2构成三角形的三边，所以n＝2.即三边的长分别为2, 3, 4.4．（2021·全国·高一课时练习）在△ABC中，已知a＝7, c＝5, A＝60°，求cosC.【答案】【分析】由余弦定理可得b2＋25－5b＝49，即可求b，再由余弦定理求cosC.【详解】由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋25－5b＝49，解得b＝－3(舍)或b＝8.∴cosC＝.5．（2021·全国·高一课时练习）在△中，已知，试判断△的形状.【答案】直角三角形【分析】由余弦定理的边角关系可得，结合已知条件即可判断△的形状.【详解】由，，∴，结合已知条件知：，即，∴△为直角三角形.6．（2021·广东实验中学高二期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意，利用余弦定理将角转化为边得出，再利用余弦定理求得，从而得出角；（2）由已知结合正弦定理得，再利用正弦定理的边化角公式、三角形内角和定理以及辅助角公式转化得，最后根据正弦型函数的值域的求法，即可求得的取值范围.（1）解：（1）由余弦定理得，又，则，得，即，所以，又因为，故.（2）解：由（1）得，则，又，由正弦定理得，∴，∵，∴，则，，∴∴的取值范围是.7．（2021·全国·高一课时练习）如图，一艘船以42nmile/h的速度向正北方向航行，从处看灯塔位于船北偏东25°的方向上，30min后船航行到处，从处看灯塔位于船北偏东58°的方向上．求灯塔与之间的距离（精确到0.1nmile）．【答案】16.3nmile.【分析】根据题意，得出，，进而可求出和，再根据正弦定理得出，即可求出灯塔与之间的距离.【详解】解：由题可知，在中，，，，，在中，由正弦定理得，，所以灯塔与之间的距离为16.3nmile.8．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若的面积为，，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得.（2）由的面积求得，由余弦定理求得.（1）依题意，由正弦定理得，，，由于，所以.（2）依题意，由余弦定理得.9．（2021·贵州·凯里一中高二期中（理））在中，角、、所对的边分别为、、，且．（1）当，时，求角；（2）若，且的面积，求和的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知求出，再由余弦定理计算即可得到所求值；
（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得，运用正弦定理和三角形的面积公式可得的方程组，解方程组即可．（1）当，时，由得，由余弦定理得，又，得．（2）由得，化简得，又，代入上式得，由正弦定理得，由得，，又的面积，由.10．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，且是锐角三角形，求的面积.【答案】（1）或（2）【分析】（1）利用正弦定理边化角可求出，进而可得角B的大小；（2）利用余弦定理求出边，再利用三角形的面积公式求解即可.（1）由正弦定理边化角得，又，，又，或（2）因为是锐角三角形，，，解得或，当时，，舍去，故，.11．（2021·江西赣州·高三期中（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，的外接圆半径为.（1）求角C的大小；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）【分析】(1)利用余弦定理计算即可得出结果；(2)根据正弦定理求出c的值，利用余弦定理和基本不等式求得ab的最大值，结合三角形面积公式计算即可.（1）因为，所以，由余弦定理，得，又，所以；（2）因为，，所以，由，得，当且仅当时等号成立，所以，故面积的最大值为.12．（2021·江西赣州·高二期中（理））已知平面向量，函数.（1）求的单调增区间；（2）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的数量积运算和三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性可求得答案；（2）由（1）求得，再由正弦定理进行边角互换，表示三角形的周长，由正弦函数的性质可求得范围.（1）解：，令，得：，∴的单调递增区间为：；（2）解：由（1）可得，，那么，可得：，∵，根据正弦定理得，那么的周长，∵是锐角三角形，∴，则，则，那么周长。