宁夏中卫市2021届高三第一次模拟考试数学（理）试卷

绝密★启用前

2021年中卫市高考第一次模拟考试

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷第22、23题为选考题，其他题为必考题。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

第I卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）

1.全集，集合，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

2.复数，则（    ）

A.   B.   C.-1   D.1

3.下列四个命题：

①若，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若，，则

其中正确命题的个数有（    ）

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

4.为美化环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体，如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为（    ）

A.1230   B.1430   C.1630   D.1830

5.中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ）

A.2   B.   C.2或   D.2或

6.已知，则（    ）

A.   B.   C.   D.

7.在的方格中，如图（1），移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化.例如图（2）：

若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动（    ）次

A.3   B.4   C.5   D.6

8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的单调递增区间是（    ）

A.   B.

C.   D.

9.已知抛物线的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为，.若，则的值为（    ）

A.1   B.   C.2   D.3

10.已知符号函数，偶函数满足，当时，，则（    ）

A.     B.

C.   D.

11.如图，在正四棱柱，，，分别为AB，BC的中点，异面直线与所成角的余弦值为m，则（    ）

A.直线与直线异面，且

B.直线与直线共面，且

C.直线与直线异面，且

D.直线与直线共面，且

12.已知函数，若对于，，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.   B.   C.   D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量，满足，，则的值为____________.

14.已知实数，满足不等式组，则目标函数的最大值为____________.

15.的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中的系数为_____________.

16.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为_____________.

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知数列的前项和是，且，等差数列中，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）定义：.记，求数列的前10项的和.

18.医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重.比如身高175cm的人，其标准体重为175-105=70公斤，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了.已知某班共有30名男生，从这30名男生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：

（1）从这6人中任选2人，求恰有1人体重超标的概率；

（2）依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对身高x的线性回归方程：，但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上述数据进行残差分析.按经验，对残差在区间之外的同学要重新采集数据.问上述随机抽取的编号为3，4，5，6的四人中，有哪几位同学要重新采集数据?

参考公式：残差.

19.如图，在平行四边形ABCD中，，，，四边形ABEF为直角梯形，，，，，平面平面ABEF.

（1）求证：平面ABEF.

（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值.

20.经过椭圆左焦点的直线与圆相交于P，Q两点，M是线段与C的公共点，且.

（1）求的值；

（2）若与C的交点为A、B，且点A恰为线段PO的中点，求的面积.

21.已知函数.

（1）若，证明；

（2）若对任意，，都有，求实数a的取值范围.

选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑）

22.选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的方程为：，曲线C的参数方程为（是参数，）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）分别写出直线与曲线C的极坐标方程；

（2）若直线，直线与半圆C的交点为A，直线与的交点为B，求.

23.选修4—5：不等式选讲

已知函数，其中.

（1）当时，解不等式；

（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.

参考答案

1-6ABCCDB    7-12ADCBDA

13.

14.0

15.

16.

17.【答案】（1），74（2）

（1）因为    1

所以，

从而样本平均数为

（45?0.00  555?0.010  65?0.020  75?0.030  85?0.025  95创0.010）10=74

（2）根据分层抽样，在内选取2人，记为A，B，

在内选取4人，记为，，，.

从这6人中选取2人的所有选取方法：

，，，，，，，，，，，，，，，共15种.

2人成绩之差的绝对值大于20的选取方法：

，，，，，，，共8种.

所以所求概率为.

18.【解析】：（1）设等差数列的公差为，由，，

得，解得或（舍），

故.

（2）由（1）知，

依题有，解得.

19.解：（I）连，设交于O，连OD

则，面，得平行平面

（2）∵

即，解得，

所以回归直线方程为

残差分析：

故3号和6号需要重新采集数据.

19.（1）证明：在中，∵，，，

由正弦定理得

∴，即.

又∵平面平面，

且平面平面，平面，

∴平面；

（2）解：由平面平面，

平面平面，

可得平面，

又由（1）知平面.

以A为坐标原点，分别以AB，AF，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，，，

设平面的一个法向量为，

由取，得；

是平面的一个法向量.

设平面与平面所成锐二面角为，

则.

即平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值为.

20.解：（1）由得长轴长，半焦距，

因为点M在椭圆C上，所以，

因为，所以；

（2）设，，A为线段P的中点，则，

由，，，，

所以，联立，解得，或-1，

若，则，直线的方程为，

联立和椭圆方程，可得，

所以的面积.

若，同理可求得的面积

综上可知：的面积为.

21.证明：（1）要证，需证，因

即证，即证，

设，则

即证在上单调递增

，设，

则，令，得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴，即在上恒成立，

∴在上单调递增

∴当时

解：（2）由，得，

∵，∴.

设，

则，

∵，∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴，

∴

又对任意都成立，则

即实数的取值范围是.

选考题：请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.解：（1）直线的极坐标方程为，

曲线C的普通方程为，又，

所以曲线C的极坐标方程为，

（2）设，则有，解得，

设，则有，解得，

所以

23.解：（1）当时，，

问题转化为解不等式，

①时，，解得：；

②时，，解得：，故；

③时，，解得：，

综上，不等式的解集是：；

（2）的解集包含为，

∴，

故，

解得：，

故，解得：.