天津市南开区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(word版含答案)

这是一份天津市南开区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年天津市南开区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．b3•b3＝2b3 B．（a5）2＝a7
C．（﹣2a）2＝4a2 D．（ab）5÷（ab）2＝ab3
3．在下列给出的四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长等于△DEF的周长
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A．DE＝DB B．AE＝AB C．∠ADE＝∠ADB D．ED+BD＝BC
5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．计算：0.252020×（﹣4）2021＝（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
7．如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）

A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
8．如图，D、E是△ABC的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为点M、N．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°
9．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
10．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A、B分别在格点处，若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（　　）

A．10个 B．8个 C．6个 D．4个
11．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．m2﹣n2
12．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．有下列说法：①AE平分∠DAB；②△EBA≌△DCE；③AB+CD＝AD；④AE⊥DE；⑤AB∥CD．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案直接填在答题纸中对应的横线上。
13．点P（﹣3，a）关于x轴的对称点是Q（b，﹣2），则ab的值为 　 　．
14．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，添加一个条件：　 　，使得△ABC≌△DEF．

15．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE的周长为15cm，则BC的长为 　 　cm．

16．已知a﹣b＝8，ab＝﹣15．则a2+b2＝　 　．
17．如图所示，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为 　 　．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t＝　 　时，△APD和△QBE全等．

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．计算：
（1）（﹣3ab）2（a4b3c2）÷（﹣3a3b2c2）；
（2）（a+2b）（a+b）﹣3a（a+b）；
（3）化简求值（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝，y＝．
20．如图所示，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：BC＝DE．

21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A'B'C'（A、B、C的对称点分别是A'、B'、C'），并直接写出A'、B'、C'的坐标．A'　 　、B'　 　、C'　 　．
（2）求△A'B'C'的面积．

22．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：∠B＝∠C．

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE．求证：
（1）∠EAC＝∠DBC；
（2）BD平分∠ABC．

24．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在线段BC上，以AD为边作等腰直角三角形DAE，AD＝AE，∠DAE＝90°，过点E作EF⊥AC．
（1）求证：△AEF≌△DAC；
（2）连接BE，BE交AC于点G，若BD＝2CD，求的值；
（3）过点D作DP⊥AD交AB于点P，过点E作AE的垂线交AC的延长线于点H．连接PH，当点D在线段BC上运动时（不与点B、C重合），式子的值是否发生变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．



参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
2．下列计算正确的是（　　）
A．b3•b3＝2b3 B．（a5）2＝a7
C．（﹣2a）2＝4a2 D．（ab）5÷（ab）2＝ab3
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法的性质逐项计算可判定求解．
解：A．b3•b3＝b6，故该选项错误，不符合题意；
B．（a5）2＝a10，故该选项错误，不符合题意；
C．（﹣2a）2＝4a2，故该选项正确，符合题意；
D．（ab）5÷（ab）2＝（ab）3＝a3b3，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．在下列给出的四组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
D．AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长等于△DEF的周长
【分析】全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．
解：A、根据AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、在△ABC和△DEF中，AC和EF不是对应边，不能得到△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长等于△DEF的周长，可得到AC＝DF，可以得到△ABC≌△DEF，故本选项正确；
故选：D．

4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A．DE＝DB B．AE＝AB C．∠ADE＝∠ADB D．ED+BD＝BC
【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
解：∵∠B＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，
∴BD＝DE，故A正确，
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AB，∠ADE＝∠ADB，故B、C正确；
故选：D．
5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】共有四对．分别为△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，△ABO≌△ACO，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠DAO＝∠EAO
∵AO＝AO
∴△ADO≌△AEO；（AAS）
∴OD＝OE，AD＝AE
∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°
∴△BOD≌△COE；（ASA）
∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C
∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°
∴△ADC≌△AEB；（ASA）
∵AD＝AE，BD＝CE
∴AB＝AC
∵OB＝OC，AO＝AO
∴△ABO≌△ACO．（SSS）
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
6．计算：0.252020×（﹣4）2021＝（　　）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【分析】根据积的乘方的运算法则计算即可．
解：0.252020×（﹣4）2021＝[0.25×（﹣4）]2020×（﹣4）＝﹣4．
故选：A．
7．如图，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（　　）

A．以点F为圆心，OE长为半径画弧
B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧
D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．
解：用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选：D．
8．如图，D、E是△ABC的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB、AC，垂足分别为点M、N．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，计算即可．
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
则∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵DM，EN分别垂直平分AB、AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC，
∵∠DAE＝20°，
∴∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°，
∴∠BAC﹣（∠B+∠C）＝20°，
∴∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝20°，
解得：∠BAC＝100°，
故选：A．
9．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）

A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
10．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A、B分别在格点处，若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（　　）

A．10个 B．8个 C．6个 D．4个
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．
解：如上图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：B．
11．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A．2mn B．（m+n）2 C．（m﹣n）2 D．m2﹣n2
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．
解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），
故正方形的面积为（m+n）2，
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积＝（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．
故选：C．
12．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．有下列说法：①AE平分∠DAB；②△EBA≌△DCE；③AB+CD＝AD；④AE⊥DE；⑤AB∥CD．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过作EF⊥AD垂足为点F，利用全等三角形的判定与性质分别分析得出答案．
解：如图，过作EF⊥AD，垂足为点F，
可得∠DFE＝90°，
则∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠CDE，
在△DCE和△DFE中，
∴△DEF≌△DCE（AAS）；
∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，
∵E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，∠FAE＝∠BAE，∠AEF＝∠AEB，
∴AE平分∠DAB，故结论①正确，
则AD＝AF+DF＝AB+CD，故结论③正确；
可得∠AED＝∠FED+AEF＝∠FEC+∠BEF＝90°，即AE⊥DE故结论④正确．
∵AB≠CD，AE≠DE，
∴△EBA≌△DCE不可能成立，故结论②错误．
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，则结论⑤正确；
综上所知正确的结论有①③④⑤四个．
故选：D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案直接填在答题纸中对应的横线上。
13．点P（﹣3，a）关于x轴的对称点是Q（b，﹣2），则ab的值为 　﹣6　．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a、b的值，再代入所求式子计算即可．
解：∵点P（﹣3，a）关于x轴的对称点是Q（b，﹣2），
∴a＝2，b＝﹣3，
∴ab＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
14．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，添加一个条件：　∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF　，使得△ABC≌△DEF．

【分析】根据AB∥DE，得出∠B＝∠DEF，进而利用全等三角形的判定解答即可．
解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AB＝DE，
添加∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEF；
添加∠ACB＝∠DFE，利用AAS得出△ABC≌△DEF；
添加BC＝EF，利用SAS得出△ABC≌△DEF；
故答案为：∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE或BC＝EF．
15．如图，△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC＝9cm，△BCE的周长为15cm，则BC的长为 　6　cm．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出AC+BC＝15cm，再代入求出即可．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为15cm，
∴BC+CE+BE＝15cm，
∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝15cm，
∵AC＝9cm，
∴BC＝6cm，
故答案为：6．
16．已知a﹣b＝8，ab＝﹣15．则a2+b2＝　34　．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形进而将已知代入求出答案．
解：∵a﹣b＝8，ab＝﹣15，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab
＝82+2×（﹣15）
＝64﹣30
＝34．
故答案为：34．
17．如图所示，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为 　5　．

【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，证明Rt△DEF≌Rt△DGH，得到△DEF的面积＝△DGH的面积＝2，结合图形计算得到答案．
解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积＝2，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积＝9﹣2＝7，
∴△ADE的面积＝△ADF的面积﹣△DEF的面积＝7﹣2＝5，
故答案为：5．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t＝　2或4　时，△APD和△QBE全等．

【分析】分两种情况：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP＝AC﹣CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4．
解：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP＝AC﹣CP＝8﹣3t，BQ＝t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP＝BQ，
即8﹣3t＝t，解得：t＝2，
②t时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP＝BQ，
即3t﹣8＝t，
解得：t＝4，
综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．
故答案为：2或4．
三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．计算：
（1）（﹣3ab）2（a4b3c2）÷（﹣3a3b2c2）；
（2）（a+2b）（a+b）﹣3a（a+b）；
（3）化简求值（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝，y＝．
【分析】（1）先算单项式的乘方，再计算乘除法即可；
（2）先算多项式的乘法和单项式乘多项式，再合并同类项；
（3）先把整式化简，再代入求值即可．
解：（1）原式＝9a2b2•（a4b3c2）÷（﹣3a3b2c2）
＝3a6b5c2÷（﹣3a3b2c2）
＝﹣a3b3；
（2）原式＝a2+ab+2ab+2b2﹣3a2﹣3ab
＝﹣2a2+2b2；
（3）原式＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当x＝，y＝时，原式＝12××+10×＝2+＝．
20．如图所示，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD．求证：BC＝DE．

【分析】先判断出∠CAB＝∠EAD，进而判断出△CAB≌△EAD即可得出结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠EAD
在△CAB和△EAD中，
∴△CAB≌△EAD（SAS）
∴BC＝DE
21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A'B'C'（A、B、C的对称点分别是A'、B'、C'），并直接写出A'、B'、C'的坐标．A'　（﹣2，3）　、B'　（﹣3，1）　、C'　（2，﹣2）　．
（2）求△A'B'C'的面积．

【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A'、B'、C'的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．
解：（1）如图，△A'B'C'为所作；A′（﹣2，3），B′（﹣3，1），C′（2，﹣2）．

故答案为（﹣2，3），（﹣3，1），（2，﹣2）；
（2）△A'B'C'的面积＝5×5﹣×3×5﹣×4×5﹣×2×1＝6.5．
22．如图在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：∠B＝∠C．

【分析】首先根据角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），即可得证∠B＝∠C．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∵DE＝DF，
DB＝DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴∠B＝∠C
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE．求证：
（1）∠EAC＝∠DBC；
（2）BD平分∠ABC．

【分析】（1）由∠EAC+∠ADE＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，因为∠ADE＝∠BDC，即可推出∠EAC＝∠CBD．
（2）延长AE、BC交于点F，由△ACF≌△BCD（ASA），推出AF＝BD，由BD＝2AE，AE+EF＝BD，推出AE＝FE，即E为AF中点，再根据等腰三角形的性质即可证明．
【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°＝∠C，
∵∠EAC+∠ADE＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
又∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠EAC＝∠CBD．

（2）延长AE、BC交于点F，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF＝BD．
∵BD＝2AE，AE+EF＝BD，
∴AE＝FE，即E为AF中点
∵BE⊥AF，
∴BA＝BF，
∴BE平分∠ABC．

24．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D在线段BC上，以AD为边作等腰直角三角形DAE，AD＝AE，∠DAE＝90°，过点E作EF⊥AC．
（1）求证：△AEF≌△DAC；
（2）连接BE，BE交AC于点G，若BD＝2CD，求的值；
（3）过点D作DP⊥AD交AB于点P，过点E作AE的垂线交AC的延长线于点H．连接PH，当点D在线段BC上运动时（不与点B、C重合），式子的值是否发生变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△DAC；
（2）由“AAS”可证△EFG≌△BCG，可得CG＝GF＝CF，即可求解；
（3）在EH上截取EG＝DP，连接AG，由“SAS”可证△AEG≌△ADP，可得AG＝AP，∠EAG＝∠DAP，由“SAS”可证△GAH≌△PAH，可得PH＝GH，即可求解．
【解答】证明：（1）∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝∠ACB＝90°＝∠EAD，
∴∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠AEF，
又∵AE＝AD，
∴△AEF≌△DAC（AAS）；
（2）∵△AEF≌△DAC，
∴AF＝CD，EF＝AC，
∴EF＝BC，
又∵∠EFG＝∠ACB＝90°，∠EGF＝∠BGC，
∴△EFG≌△BCG（AAS），
∴CG＝GF＝CF，
∵AC＝BC，AF＝CD，
∴CF＝BD，
∵BD＝CF＝2CG，
∴＝2；
（3）的值不变，
理由如下：如图3，在EH上截取EG＝DP，连接AG，

∵AE⊥EH，AD⊥DP，
∴∠AEG＝∠ADP＝90°，
又∵AE＝AD，EG＝DP，
∴△AEG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，∠EAG＝∠DAP，
∵∠GAD+∠EAG＝∠GAD+∠DAP＝∠GAB＝90°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠GAH＝∠CAB，
又∵AH＝AH，GA＝AP，
∴△GAH≌△PAH（SAS），
∴PH＝GH，
∴EH﹣PH＝EH﹣GH＝EG＝DP，
∴HE﹣DP＝HP，
∴＝1．