_天津市河西区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)

这是一份_天津市河西区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年天津市河西区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣5，2） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣7，5）
2．以下冬奥会图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在抛物线y＝x2﹣4x上的点为（　　）
A．（0，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣5） D．（2，﹣4）
4．二次函数y＝x²+4的图象不经过的象限为（　　）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
5．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
6．下列命题错误的是（　　）
A．直径是圆中最长的弦
B．圆内接平行四边形一定是矩形
C．圆内接四边形的对角互补
D．相等的圆心角所对的弧相等
7．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
8．如图，在⊙O中，点A，B在圆上，∠AOB＝120°，弦AB的长度为4√3，则半径OA的长度为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．3
9．将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（　　）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2﹣2x﹣3
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）

A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD
11．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（　　）

A．（﹣，） B．（﹣1，） C．（﹣，） D．（﹣，）
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＞0；④3a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．方程x2＝2的根是　 　．
14．若正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的关系式为　 　（x＞0）．
15．抛物线y＝2x2+x+1与y轴的交点坐标为 　 　．
16．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
则它的顶点坐标为 　 　．
17．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．若BD为⊙O的直径，连接CD，则∠ACD的大小为 　 　．

18．如图①，O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 　 　；如图②，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 　 　．（答案不唯一）

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣2x+2＝4．
20．已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
21．如图，将△ABC绕点B顺时计旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC，DE相交于点P．
（1）求证：△ADB是等边三角形；
（2）直接写出∠APD的度数 　 　．

22．如图，已知BC为⊙O的直径，BC＝5，AB＝3，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求BD，CD的长．

23．如图所示，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝10cm，菱形面积是12cm²，求菱形ABCD的周长．

24．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．
（Ⅰ）依题意补全图形；
（Ⅱ）①当∠BAC＝40°时，直接写出∠AFE的度数 　 　；
②当∠BAC＝α时，求∠AFE的度数；
（Ⅲ）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系（直接写出结果即可）．

25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'．设OO'＝t，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S．
①当0＜t≤3.5时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②矩形OCDE沿x轴向右平移的过程中，求面积S的最大值（直接写出结果即可）．



参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面直角坐标系中，点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣5，2） C．（﹣5，﹣2） D．（﹣7，5）
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
解：点（5，2）关于原点对称的点的坐标为（﹣5，﹣2）．
故选：C．
2．以下冬奥会图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．在抛物线y＝x2﹣4x上的点为（　　）
A．（0，4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣5） D．（2，﹣4）
【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验．
解：A、x＝0时，y＝x2﹣4x＝0≠4，点（0，4）不在抛物线上，
B、x＝1时，y＝x2﹣4x＝﹣3≠﹣4，点（1，﹣4）不在抛物线上，
C、x＝﹣1时，y＝x2﹣4x＝5≠﹣5，点（﹣1，﹣5）不在抛物线上，
D、x＝2时，y＝x2﹣4x＝﹣4，点（2，﹣4）在抛物线上，
故选：D．
4．二次函数y＝x²+4的图象不经过的象限为（　　）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
【分析】根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与y轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限．
解：∵抛物线y＝x²+4顶点坐标为（0，4），且开口向上，
∴抛物线不经过第三象限、第四象限；
故选：C．
5．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC的度数等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据垂直求出∠AHO＝90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOC，根据圆周角定理得出∠ABC＝AOC，代入求出答案即可．
解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∵∠OAB＝40°，
∴∠AOC＝90°﹣∠OAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°＝25°，
故选：B．
6．下列命题错误的是（　　）
A．直径是圆中最长的弦
B．圆内接平行四边形一定是矩形
C．圆内接四边形的对角互补
D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据圆的有关概念和圆内接四边形的性质判断即可．
解：A、直径是圆中最长的弦，是真命题；
B、圆内接平行四边形一定是矩形，是真命题；
C、圆内接四边形的对角互补，是真命题；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原命题是假命题；
故选：D．
7．方程x2+x﹣12＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4＝0或x﹣3＝0即可得出结论．
解：x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝0，
则x+4＝0，或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝3．
故选：D．
8．如图，在⊙O中，点A，B在圆上，∠AOB＝120°，弦AB的长度为4√3，则半径OA的长度为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．3
【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理得到AC＝BC＝AB，∠ACO＝∠BCO＝90°，求得AC＝BC＝2，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝30°，根据勾股定理即可得到结论．
解：过O作OC⊥AB于C，
则AC＝BC＝AB，∠ACO＝∠BCO＝90°，
∵弦AB的长度为4，
∴AC＝BC＝2，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OC＝OA，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴OA2＝（OA）2+（2）2，
解得OA＝4，
故选：B．
9．将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的抛物线解析式为（　　）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2﹣2x﹣3
【分析】根据解析式平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可．
解：将抛物线y＝x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
得到的抛物线的解析式为y＝（x+1）2+2＝x2+2x+3．即y＝x2+2x+3．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（　　）

A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD
【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，则可得出结论．
解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝60°＝∠ADC，
∴AB∥CD，
故选：D．
11．如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B′的坐标为（　　）

A．（﹣，） B．（﹣1，） C．（﹣，） D．（﹣，）
【分析】如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．求出点B的坐标，证明B，B′关于y轴对称，即可解决问题．
解：如图，故点B作BH⊥OA于H，设BB′交y轴于J．

∵A（1，0），
∴OA＝1，
∵△AOB是等边三角形，BH⊥OA，
∴OH＝AH＝OA＝，BH＝OH＝，
∴B（，），
∵∠AOB＝∠BOB′＝60°，∠JOA＝90°，
∴∠BOJ＝∠JOB′＝30°，
∵OB＝OB′，
∴BB′⊥OJ，
∴BJ＝JB′，
∴B，B′关于y轴对称，
∴B′（﹣，），
故选：A．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＞0；④3a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
解：由图象可知，a＞0，c＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
故②正确；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故③错误；
与图象知，x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
故④正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．方程x2＝2的根是　±　．
【分析】直接利用开平方法求出方程的根即可．
解：x2＝2
解得：x＝±．
故答案为：±．
14．若正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的关系式为　y＝x2　（x＞0）．
【分析】根据正方形的面积计算公式可得面积与边长之间的函数关系式．
解：∵正方形的面积等于边长乘以边长，
∴y＝x•x＝x2，
故答案为：y＝x2；
15．抛物线y＝2x2+x+1与y轴的交点坐标为 　（0，1）　．
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得结果．
解：当x＝0时，y＝1，
抛物线y＝2x2+x+1与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）．
16．y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
则它的顶点坐标为 　（1，﹣4）　．
【分析】观察表格中的数据，得到x＝0和x＝2时，y值相等都为﹣3，根据抛物线的对称性可得出抛物线的对称轴．
解：根据表格信息，x＝0、x＝2时，y值相等都为﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
故答案为：（1，﹣4）．
17．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．若BD为⊙O的直径，连接CD，则∠ACD的大小为 　21°　．

【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得到∠DCB＝90°，计算即可．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝42°，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣42°）＝69°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝90°﹣69°＝21°，
故答案为：21°．
18．如图①，O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 　O1，O3　；如图②，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 　过O1O3和O2O4的交点O和O5　．（答案不唯一）

【分析】利用中心对称图形进行分析即可．
解：①因为它既是轴对称图形，也是中心对称图形，
所以只需过它的对称中心任意画一条直线即可．
如过O1，O3的一条直线；

②因为它不是中心对称图形，
我们知道：①中，主要过对称中心即可，一个圆时，只要过圆心即可．
则这里过O1O3和O2O4的交点O和O5即可．
故答案为：O1，O3；过O1O3和O2O4的交点O和O5．

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解方程：
（1）（x﹣1）2＝4；
（2）x2﹣2x+2＝4．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．
解：（1）∵（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）整理，得：x2﹣2x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
则x＝＝＝1±2，
即x1＝1+2，x2＝1﹣2．
20．已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知Δ＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；
解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，
∴c＜2；
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，
∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m＜n；
21．如图，将△ABC绕点B顺时计旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC，DE相交于点P．
（1）求证：△ADB是等边三角形；
（2）直接写出∠APD的度数 　60°　．

【分析】（1）由旋转的性质直接可得AB＝DB，∠ABD＝60°，即可证明△ADB是等边三角形；
（2）由△ADB是等边三角形，得∠BDE+∠E＝∠ABD＝60°，而∠BDE＝∠BAP，即得∠BAP+∠E＝60°，故∠APD＝60°；
解：（1）∵将△ABC绕点B顺时计旋转60°得△DBE，
∴AB＝DB，∠ABD＝60°，
∴△ADB是等边三角形；
（2）如图：

∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，
∴∠ABD＝∠BDE+∠E，
由（1）知△ADB是等边三角形，
∴∠BDE+∠E＝∠ABD＝60°，
∵将△ABC绕点B顺时计旋转60°得△DBE，
∴∠BDE＝∠BAP，
∴∠BAP+∠E＝60°，
∴∠APD＝∠BAP+∠E＝60°；
故答案为：60°．
22．如图，已知BC为⊙O的直径，BC＝5，AB＝3，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求BD，CD的长．

【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）证明△CBD是等腰直角三角形，可得结论．
解：（Ⅰ）∵BC为直径，
∴∠CAB＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝5，AB＝3，
AC＝＝＝4；
（Ⅱ）∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在Rt△CBD中，BC＝5，CD＝BD，BD＝CD＝BC＝．
23．如图所示，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝10cm，菱形面积是12cm²，求菱形ABCD的周长．

【分析】由菱形的性质求出AC⊥BD，OA＝OB，OC＝OD，由勾股定理求出AB的长，则可求出答案．
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OB，OC＝OD，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×OA•OB＝12（cm²）．
∴OA•OB＝6（cm²），
∵AC+BD＝10cm，
∴AO+OB＝5cm，
∴OA2+OB2＝（OA+OB）2﹣2OA•OB＝25﹣12＝13（cm²），
∴AB＝＝（cm）．
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4（cm）．
24．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．
（Ⅰ）依题意补全图形；
（Ⅱ）①当∠BAC＝40°时，直接写出∠AFE的度数 　60°　；
②当∠BAC＝α时，求∠AFE的度数；
（Ⅲ）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系（直接写出结果即可）．

【分析】（Ⅰ）根据要求作出图形即可．
（Ⅱ）①由等腰三角形的性质可求∠BAD＝∠CAD＝20°，由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠ABE＝40°，即可求解；
②利用圆周角定理解决问题即可；
（Ⅲ）结论：EF＝AF+BF．如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．证明△FCA≌△TCE（SAS），推出AF＝ET，可得结论．
解：（Ⅰ）图形如图所示：

（Ⅱ）①∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，
∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，
∴AC＝AE＝AB，∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝100°，
∴∠ABE＝∠AEB＝40°，
∴∠AFE＝∠ABE+∠BAF＝60°，
故答案为：60°；
②∵AB＝AC＝AE，
∴点A是△BCE的外心，
∵∠CAE＝60°，∠CBE＝∠CAE，
∴∠CBE＝30°，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDF＝90°，
∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣30°＝60°．
（Ⅲ）结论：EF＝AF+BF．
理由：如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．
∵AD垂直平分线段BC，
∴FB＝FC，
∴∠BFD＝∠CFD＝∠AFE＝60°，
∴∠CFE＝60°，
∵FT＝FC，
∴△CFT是等边三角形，
∴CF＝CT，∠FCT＝60°，
∵AC＝AE，∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CA＝CE，∠ACE＝∠FCT＝60°，
∴∠FCA＝∠TCE，
∴△FCA≌△TCE（SAS），
∴AF＝ET，
∴EF＝FT+ET＝BF+AF．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
（Ⅰ）求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O'C'D'E'，点O，C，D，E的对应点分别为O'，C'，D'，E'．设OO'＝t，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分的面积为S．
①当0＜t≤3.5时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②矩形OCDE沿x轴向右平移的过程中，求面积S的最大值（直接写出结果即可）．

【分析】（1）作BH⊥OA于H，由△OBA是等腰直角三角形，A（4，0），得OH＝HB＝OA＝2，即可得出点B的坐标；
（2）当0＜t≤2时，重叠部分为等腰直角三角形；当2＜t≤3.5时，重叠部分为四边形，分别根据图形计算即可；
（3）当t＞3.5时，由题意知S越来越小，由（2）知，当0＜t≤2时，t＝2时，S最大为2，当2＜t≤3.5时，t＝3.5时，S最大为，即可得出S的最大值．
解：（1）作BH⊥OA于H，

∵△OBA是等腰直角三角形，A（4，0），
∴OH＝HB＝OA＝2，
∴B（2，2）；
（2）如图，当0＜t≤2时，

S＝S△OO'F＝t2，
当2＜t≤3.5时，如图，

∵OO'＝t，
∴AO'＝4﹣t，
∴S＝S△AOB﹣S△AO'G＝×OA×2﹣AO'2＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4，
综上S＝；
（3）当4＞t＞3.5时，如图，
S＝4﹣（4﹣t）2﹣（t﹣3.5）2＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S最大值为，
当t≥4时，可知S在变小，

由（2）知，当0＜t≤2时，t＝2时，S最大为2，
当2＜t≤3.5时，t＝3.5时，S最大为，
∵＞，
∴S最大为．