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广东省深圳市南山区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)
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这是一份广东省深圳市南山区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．已知＝，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD：AB＝3：4，则AE：EC的值为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．4：3 D．3：2
4．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
6．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．菱形的一个内角是60°，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（ ）
A． B． C．3cm D．
8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
A．32×12﹣32x﹣12x＝300 B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300 D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为N，则OM+MN的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG＝；②△AEG的周长为8；③△EGF的面积为．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 ．
12．如图，在长为8的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为 ．
13．已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则另一个根是 ．
14．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，且AB⊥x轴于点C，点D在y轴上，则△ABD的面积为 ．
15．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，3），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三.解答题（共7小题共55分，第16题8分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题9分。）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
17．（6分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．
18．（8分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
20．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，，，求AE的长．
22．（9分）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）求AD：AB的值；
（3）连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．已知＝，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】直接利用已知得出a＝，进而代入化简得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴a＝，
∴＝＝＝．
故选：D．
2．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
3．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD：AB＝3：4，则AE：EC的值为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．4：3 D．3：2
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AD：AB＝3：4，
∴AD：DB＝3：1，
∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝3：1，
故选：A．
4．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据点的坐标得出A在第二象限，B、C在第四象限，得出y1＞0，0＞y3＞y2，即可得出选项．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴A在第二象限，B、C在第四象限，
∴y1＞0，
∵2＜4，
∴0＞y3＞y2，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
5．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2+a＝2021、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝a2+a+（a+b）中，即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，
∴a2+a＝2021，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2021﹣1＝2020．
故选：D．
6．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所以6种等可能的结果，再找出能让灯泡L2发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，
所以能让灯泡L2发光的概率＝＝．
故选：A．
7．菱形的一个内角是60°，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（ ）
A． B． C．3cm D．
【分析】证出△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝3cm即可．
【解答】解：如图，∵菱形的一个内角是60°，边长是3cm，
∴AB＝BC＝3cm，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝3cm，
即这个菱形的较短的对角线长为3cm，
故选：C．
8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
A．32×12﹣32x﹣12x＝300 B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300 D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积．
∵草坪的面积为300平方米，
∴（32﹣x）（12﹣x）＝300．
故选：C．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为N，则OM+MN的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO＝5，由三角形的面积和差关系可求解．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝10，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，
∵S△ABC＝×AB×BC＝24，
∴S△BOC＝12，
∵S△BOC＝S△BOM+S△COM，
∴12＝×5×MN+×5×OM，
∴OM+MN＝，
故选：A．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG＝；②△AEG的周长为8；③△EGF的面积为．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，求出S△ECF，先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PF＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出＝，求出PG＝，再根据勾股定理求得EG＝，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG＝，进而在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG＝＝＝，故①错误，用S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC求出面积，进而求出S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG＝﹣＝，故③正确．
【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF＝，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴AE＝3，EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝，
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴＝，
∴＝，
∴PG＝，
∴AG＝AP+PG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝4﹣＝，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝＝，
∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG＝＝＝，故①错误；
∵S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC＝AD2﹣AG•AE﹣GD•DC﹣EB•BC＝42﹣××3﹣××4﹣×1×4＝，
∴S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG＝﹣＝，故③正确；
故选：D．
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
12．如图，在长为8的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为 4﹣4 ．
【分析】利用BC＝AB可得BC＝4，由勾股定理得：AC＝4，根据AD＝AE＝AC﹣CE即可求解．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝AB，
∴BC＝4，
由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵CE＝BC＝4，
∴AD＝AE＝AC﹣CE＝4﹣4．
故答案为4﹣4．
13．已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则另一个根是 ﹣3 ．
【分析】把x＝1代入方程ax2﹣2x+3＝0求得a＝﹣1，设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系得出1×x2＝﹣3，解之可得答案．
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，
∴a﹣2+3＝0，
∴a＝﹣1，
设方程的另一个根为x2，
根据题意，得：1×x2＝＝﹣3，
解得：x2＝﹣3，
即方程的另一个根为﹣3，
故答案为：﹣3．
14．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，且AB⊥x轴于点C，点D在y轴上，则△ABD的面积为 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：设C（m，0），则OC＝m，B（m，），A（m，），
∴AB＝AC﹣BC＝﹣＝，
∴S△ABD＝AB•OC＝××m＝，
故答案为：．
15．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，3），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为 （4，3）或（2.5，3）或（1，3）或（9，3） ．
【分析】当P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5时分别作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐标．
【解答】解：∵点A（10，0），点C（0，3），
∴OC＝3，OA＝10，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝5，
∵△POD是等腰三角形，
∴①点P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝4，
②当P2O＝P2D时，作P2E⊥OA于E，
∴OE＝ED＝2.5；
③当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC于F，由勾股定理，得，P3F＝4，
∴P3C＝1；
当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA于G，由勾股定理，得，DG＝4，
∴OG＝9．
∴P1（4，3），P2（2.5，3），P3（1，3），P4（9，3）．
故答案为：（4，3）或（2.5，3）或（1，3）或（9，3）．
三.解答题（共7小题共55分，第16题8分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题9分。）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
则（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（6分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝求出m得到反比例函数解析式为y＝﹣，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求C点坐标，然后根据三角形面积公式和S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方，即有kx+b＜．
【解答】解：（1）把B（2，﹣4）代入y＝得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
把A（﹣4，n）代入y＝﹣得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则A点坐标为（﹣4，2），
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）把y＝0代入y＝﹣x﹣2得﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，则C点坐标为（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）﹣4＜x＜0或x＞2．
18．（8分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50（名）；
（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10（名），
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×＝600（名）；
（4）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为＝．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
【分析】（1）先证四边形AECD是平行四边形，再根据直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和面积解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
由（1）得：四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵AB×AC＝BC×AG，
即×6×8＝×10×AG，
∴AG＝，
又∵EF⊥CD，AG⊥BC，
∴S菱形AECD＝CD•EF＝CE•AG，
∵CD＝CE，
∴EF＝AG＝．
20．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
答：单价应降低13元或15元．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，，，求AE的长．
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长，再利用勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B
∴∠AFD＝∠C
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：．
22．（9分）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）求AD：AB的值；
（3）连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a，AF＝AB＝b，则有a•（a﹣b）＝b2，化简得a2﹣ab﹣b2＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣b）＝b2，
化简得a2﹣ab﹣b2＝0，
解得a＝b或b（舍去），
∴AD：AB＝a：b＝；
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．已知＝，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD：AB＝3：4，则AE：EC的值为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．4：3 D．3：2
4．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
6．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．菱形的一个内角是60°，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（ ）
A． B． C．3cm D．
8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
A．32×12﹣32x﹣12x＝300 B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300 D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为N，则OM+MN的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG＝；②△AEG的周长为8；③△EGF的面积为．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 ．
12．如图，在长为8的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为 ．
13．已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则另一个根是 ．
14．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，且AB⊥x轴于点C，点D在y轴上，则△ABD的面积为 ．
15．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，3），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三.解答题（共7小题共55分，第16题8分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题9分。）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
17．（6分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．
18．（8分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
20．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，，，求AE的长．
22．（9分）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）求AD：AB的值；
（3）连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
2021-2022学年九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．已知＝，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】直接利用已知得出a＝，进而代入化简得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴a＝，
∴＝＝＝．
故选：D．
2．如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
3．如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，AD：AB＝3：4，则AE：EC的值为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．4：3 D．3：2
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AD：AB＝3：4，
∴AD：DB＝3：1，
∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝3：1，
故选：A．
4．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据点的坐标得出A在第二象限，B、C在第四象限，得出y1＞0，0＞y3＞y2，即可得出选项．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴A在第二象限，B、C在第四象限，
∴y1＞0，
∵2＜4，
∴0＞y3＞y2，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
5．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2021 D．2020
【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2+a＝2021、a+b＝﹣1，将其代入a2+2a+b＝a2+a+（a+b）中，即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，
∴a2+a＝2021，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2021﹣1＝2020．
故选：D．
6．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所以6种等可能的结果，再找出能让灯泡L2发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，
所以能让灯泡L2发光的概率＝＝．
故选：A．
7．菱形的一个内角是60°，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（ ）
A． B． C．3cm D．
【分析】证出△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝3cm即可．
【解答】解：如图，∵菱形的一个内角是60°，边长是3cm，
∴AB＝BC＝3cm，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝3cm，
即这个菱形的较短的对角线长为3cm，
故选：C．
8．如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为（ ）
A．32×12﹣32x﹣12x＝300 B．（32﹣x）（12﹣x）+x2＝300
C．（32﹣x）（12﹣x）＝300 D．2（32﹣x+12﹣x）＝300
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为300平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴铺设草坪的面积等于长为（32﹣x）米、宽（12﹣x）米的矩形面积．
∵草坪的面积为300平方米，
∴（32﹣x）（12﹣x）＝300．
故选：C．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为N，则OM+MN的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO＝5，由三角形的面积和差关系可求解．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝10，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，
∵S△ABC＝×AB×BC＝24，
∴S△BOC＝12，
∵S△BOC＝S△BOM+S△COM，
∴12＝×5×MN+×5×OM，
∴OM+MN＝，
故选：A．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①CG＝；②△AEG的周长为8；③△EGF的面积为．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，求出S△ECF，先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PF＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出＝，求出PG＝，再根据勾股定理求得EG＝，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG＝，进而在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG＝＝＝，故①错误，用S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC求出面积，进而求出S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG＝﹣＝，故③正确．
【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF＝，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴AE＝3，EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝，
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PF＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴＝，
∴＝，
∴PG＝，
∴AG＝AP+PG＝，
∴DG＝AD﹣AG＝4﹣＝，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝＝，
∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝++3＝8，故②正确；在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CG＝＝＝，故①错误；
∵S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC＝AD2﹣AG•AE﹣GD•DC﹣EB•BC＝42﹣××3﹣××4﹣×1×4＝，
∴S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG＝﹣＝，故③正确；
故选：D．
二、填空题（5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
12．如图，在长为8的线段AB上，作如下操作：经过点B作BC⊥AB，使得BC＝AB；连接AC，在CA上截取CE＝CB；在AB上截取AD＝AE，则AD的长为 4﹣4 ．
【分析】利用BC＝AB可得BC＝4，由勾股定理得：AC＝4，根据AD＝AE＝AC﹣CE即可求解．
【解答】解：∵AB＝8，BC＝AB，
∴BC＝4，
由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵CE＝BC＝4，
∴AD＝AE＝AC﹣CE＝4﹣4．
故答案为4﹣4．
13．已知x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，则另一个根是 ﹣3 ．
【分析】把x＝1代入方程ax2﹣2x+3＝0求得a＝﹣1，设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系得出1×x2＝﹣3，解之可得答案．
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一个根，
∴a﹣2+3＝0，
∴a＝﹣1，
设方程的另一个根为x2，
根据题意，得：1×x2＝＝﹣3，
解得：x2＝﹣3，
即方程的另一个根为﹣3，
故答案为：﹣3．
14．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝的图象上，且AB⊥x轴于点C，点D在y轴上，则△ABD的面积为 ．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：设C（m，0），则OC＝m，B（m，），A（m，），
∴AB＝AC﹣BC＝﹣＝，
∴S△ABD＝AB•OC＝××m＝，
故答案为：．
15．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，3），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为 （4，3）或（2.5，3）或（1，3）或（9，3） ．
【分析】当P1O＝OD＝5或P2O＝P2D或P3D＝OD＝5或P4D＝OD＝5时分别作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐标．
【解答】解：∵点A（10，0），点C（0，3），
∴OC＝3，OA＝10，
∵点D是OA的中点，
∴OD＝5，
∵△POD是等腰三角形，
∴①点P1O＝OD＝5时，由勾股定理可以求得P1C＝4，
②当P2O＝P2D时，作P2E⊥OA于E，
∴OE＝ED＝2.5；
③当P3D＝OD＝5时，作DF⊥BC于F，由勾股定理，得，P3F＝4，
∴P3C＝1；
当P4D＝OD＝5时，作P4G⊥OA于G，由勾股定理，得，DG＝4，
∴OG＝9．
∴P1（4，3），P2（2.5，3），P3（1，3），P4（9，3）．
故答案为：（4，3）或（2.5，3）或（1，3）或（9，3）．
三.解答题（共7小题共55分，第16题8分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题8分，第22题9分。）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x2﹣5x+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
则（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（6分）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．
【分析】（1）先把B点坐标代入y＝求出m得到反比例函数解析式为y＝﹣，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求C点坐标，然后根据三角形面积公式和S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；
（3）观察函数图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方，即有kx+b＜．
【解答】解：（1）把B（2，﹣4）代入y＝得m＝2×（﹣4）＝﹣8，
所以反比例函数解析式为y＝﹣，
把A（﹣4，n）代入y＝﹣得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，则A点坐标为（﹣4，2），
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y＝kx+b得，解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）把y＝0代入y＝﹣x﹣2得﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，则C点坐标为（﹣2，0），
所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×4＝6；
（3）﹣4＜x＜0或x＞2．
18．（8分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50（名）；
（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10（名），
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×＝600（名）；
（4）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为＝．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）过点E作EF⊥CD于点F，若AB＝6，BC＝10，求EF的长．
【分析】（1）先证四边形AECD是平行四边形，再根据直角三角形的斜边上的中线性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和面积解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形．
又∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝BC＝CE，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
由（1）得：四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝＝＝8，
∵AB×AC＝BC×AG，
即×6×8＝×10×AG，
∴AG＝，
又∵EF⊥CD，AG⊥BC，
∴S菱形AECD＝CD•EF＝CE•AG，
∵CD＝CE，
∴EF＝AG＝．
20．（8分）今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（38﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，
依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，
整理得：m2﹣28m+195＝0，
解得：m1＝15，m2＝13．
答：单价应降低13元或15元．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，，，求AE的长．
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长，再利用勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B
∴∠AFD＝∠C
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：．
22．（9分）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）求AD：AB的值；
（3）连接AG，求证：EG﹣DG＝AG．
【分析】（1）证明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，证得∠EGB＝90°，则结论得出；
（2）证明△AEF∽△DCF，得出，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a，AF＝AB＝b，则有a•（a﹣b）＝b2，化简得a2﹣ab﹣b2＝0，解方程即可得出答案；
（3）在线段EG上取点P，使得EP＝DG，证明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，证得△PAG为等腰直角三角形，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE•DF＝AF•DC，
设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣b）＝b2，
化简得a2﹣ab﹣b2＝0，
解得a＝b或b（舍去），
∴AD：AB＝a：b＝；
（3）证明：如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，
在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
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