2021年陕西省汉中市城固县中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年陕西省汉中市城固县中考数学二模试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年陕西省汉中市城固县中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务天问一号成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，火星环绕器面临着诸多困难，比如探测器距离地球192000000公里，无法实时监控，其中数据192000000用科学记数法表示为（　　）
A．19.2×107 B．1.92×10﹣8 C．19.2×108 D．1.92×108
3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠BOD＝50°，则∠AOM的度数为（　　）

A．155° B．140° C．130° D．135°
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：

甲
乙
丙
丁
平均数
9.6
9.5
9.5
9.6
方差
0.28
0.27
0.25
0.25
若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（3分）计算（﹣2m3）2÷m2的结果是（　　）
A．4m3 B．4m4 C．﹣2m3 D．﹣2m4
6．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是（　　）

A．2 B．3 C． D．
7．（3分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，﹣2）、（4，2），则该一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　）
A．9 B．18 C．6 D．12
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AE的中点，若AD＝6，CD＝3，则DF的长是（　　）

A．4 B． C． D．
9．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，C、D是⊙O上的两个点，OC∥AD．若∠DAC＝25°，则∠BOC的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．65°
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线L1：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线L2，再将抛物线L2通过上下平移得到抛物线L3：y＝x2﹣2x+2，则抛物线L2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、BD交于点O，则∠AOD的度数为 　 　．

13．（3分）如图，反比例函数的图象经过第二象限内的点E（﹣3，m）、F（﹣2，n），若OE＝OF，则k＝　 　．

14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一动点，且∠BCD＝120°，则EB+EC+AE的最小值是 　 　．

三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）化简：．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠CPD＝∠BAP．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，在▱ABCD中，F是BC的中点，连接AF并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是平行四边形．

19．（7分）阳光中学为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为 　 　，扇形图中m的值为 　 　；
（2）求调查的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数；
（3）若该校共有800名初中学生，请估计该校在这个周末参加公益时间大于1h的学生人数．
20．（7分）如图，果果同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（CD），经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离（BD）为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部C恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？

21．（7分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导贫困户李大爷种植优质百香果喜获丰收，上市20天全部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（千克）与上市时间x（天）的函数关系如图所示．
（1）求日销售量y与上市时间x的函数关系式；
（2）求出第15天的日销售量．

22．（7分）九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为　 　；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．

23．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D，点E是劣弧的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，AC＝3，求tan∠BAE的值．

24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E，顶点为M．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）在对称轴l上且在第一象限内，是否存在点D，使得△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BC＝4，求AD的最大值；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，BC＝12，AD＝CD，∠ADC＝60°，AB＝9．连接BD，求△BCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，某市效区点O外有一棵古树，点A外是某市古树名木保护研究中心，且OA＝40km，为加强对该古树的检测和保护，拟在距古树3km处设置三个观测点B，C，D，以形成保护区域四边形ABCD．则是否存在一个满足以上要求的面积最大的四边形ABCD？若存在，求出满足条件的四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．（研究中心及各观测点的占地面积忽略不计）


2021年陕西省汉中市城固县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接根据绝对值的意义求解．
【解答】解：|﹣|＝．
故选：C．
2．（3分）2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务天问一号成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，火星环绕器面临着诸多困难，比如探测器距离地球192000000公里，无法实时监控，其中数据192000000用科学记数法表示为（　　）
A．19.2×107 B．1.92×10﹣8 C．19.2×108 D．1.92×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：192000000＝1.92×108，
故选：D．
3．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠BOD＝50°，则∠AOM的度数为（　　）

A．155° B．140° C．130° D．135°
【分析】由平角的定义，欲求∠AOM，需求∠BOM．由射线OM平分∠BOD，若∠BOD＝50°，得∠BOM＝＝＝25°，从而解决此题．
【解答】解：∵射线OM平分∠BOD，
∴∠BOM＝＝＝25°．
∴∠AOM＝∠AOB﹣∠BOM＝180°﹣25°＝155°．
故选：A．
4．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：

甲
乙
丙
丁
平均数
9.6
9.5
9.5
9.6
方差
0.28
0.27
0.25
0.25
若从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵丁的平均分最高，方差最小，最稳定，
∴应选丁．
故选：D．
5．（3分）计算（﹣2m3）2÷m2的结果是（　　）
A．4m3 B．4m4 C．﹣2m3 D．﹣2m4
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、整式的除法法则解决此题．
【解答】解：（﹣2m3）2÷m2
＝4m6÷m2
＝4m4．
故选：B．
6．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则CD的长是（　　）

A．2 B．3 C． D．
【分析】先证明△ABC是直角三角形，求出其面积，再拆成以CD为底边的两个三角形，根据面积来求CD．
【解答】解：根据题意由勾股定理得：
AC＝＝，AB＝＝5，BC＝＝2，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AC⊥BC，
∴S△ABC＝＝5，
∵S△ABC＝S△BCD+S△ACD，
∴S△ABC＝＝5，
解得：CD＝，
故选：C．
7．（3分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，﹣2）、（4，2），则该一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　）
A．9 B．18 C．6 D．12
【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出该一次函数图象与坐标轴的交点坐标，由一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积的计算公式即可求出结论．
【解答】解：将（4，2），（2，﹣2）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣6．
当x＝0时，y＝2×0﹣6＝﹣6，
∴一次函数y＝2x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6）；
当y＝0时，2x﹣6＝0，解得：x＝3，
∴一次函数y＝2x﹣6与x轴的交点坐标为（3，0）．
∴一次函数y＝2x﹣6与两坐标轴围成的三角形的面积＝×6×3＝9．
故选：A．

8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AE的中点，若AD＝6，CD＝3，则DF的长是（　　）

A．4 B． C． D．
【分析】结合矩形的性质，勾股定理，利用SAS证明△DAF≌△AEB，进而可求解
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，CD＝，AD＝6，AD∥BC，
∴∠B＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝，∠DAF＝∠AEB，
∵E为BC的中点，
∴BE＝3，
∴AE＝，
∴AD＝AE，
∵F点为AE的中点，
∴AF＝3，
∴AF＝BE，
∴△DAF≌△AEB（SAS），
∴DF＝AB＝．
故选：D．
9．（3分）如图，在⊙O中，AB是直径，C、D是⊙O上的两个点，OC∥AD．若∠DAC＝25°，则∠BOC的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．65°
【分析】根据∠BOC＝∠OAC+∠OCA，求出∠OAC＝∠OCA＝25°，即可解决问题．
【解答】解：∵OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO＝25°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝∠OAC+∠OCA＝50°，
故选：B．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，先将抛物线L1：y＝x2﹣2通过左右平移得到抛物线L2，再将抛物线L2通过上下平移得到抛物线L3：y＝x2﹣2x+2，则抛物线L2的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
【解答】解：抛物线L1：y＝x2﹣2的顶点坐标是（0，﹣2），抛物线L2：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1）．
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线L2．
所以抛物线L2是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其解析式为y＝（x﹣1）2﹣2，
所以其顶点坐标是（1，﹣2）．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）计算：＝　1+　．
【分析】根据实数的加减运算法则，先计算负整数指数幂、零指数幂、二次根式，再计算加减．
【解答】解：
＝
＝
＝1+．
故答案为：1+．
12．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、BD交于点O，则∠AOD的度数为 　108°　．

【分析】由∠BOC与∠AOD是对顶角，欲求∠AOD，可求∠BOC．由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，那么∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝72°，故∠BCD＝∠CDB＝36°．同理可得∠BCA＝∠BAC＝36°，根据三角形内角和定理求得∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝108°．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝180°﹣＝108°．
∴∠CBD＝∠CDB，∠CBD+∠CDB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠CBD＝∠CDB＝36°．
同理可得：∠BCA＝∠BAC＝36°．
∴∠BOC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
∵∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC＝∠AOD＝108°．
故答案为：108°．
13．（3分）如图，反比例函数的图象经过第二象限内的点E（﹣3，m）、F（﹣2，n），若OE＝OF，则k＝　﹣6　．

【分析】根据题意m＝，n＝，然后根据勾股定理得到32+（﹣）2＝22+（）2，解得k＝﹣6．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过第二象限内的点E（﹣3，m）、F（﹣2，n），
∴m＝，n＝，
∵OE＝OF，
∴32+（﹣）2＝22+（）2，
整理得k2＝36，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为﹣6．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一动点，且∠BCD＝120°，则EB+EC+AE的最小值是 　6　．

【分析】首先通过SAS证明△ABE≌△CBE，得AE＝CE，则EB+EC+EA＝EB+2AE＝2（AE+），过E点作EQ⊥BC于点Q，过A点作AQ'⊥BC于点Q'交BD于E'，得EQ＝，从而EB+EC+AE的最小值为2AQ'，利用含30°角的直角三角形的性质求出AQ'的长，即可解决问题．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，∠ABD＝∠DBC＝，AB＝BC，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∴EB+EC+EA＝EB+2AE＝2（AE+），
过E点作EQ⊥BC于点Q，过A点作AQ'⊥BC于点Q'交BD于E'，

在Rt△BQE中，∠EBQ＝30°，
∴EQ＝，
∴EB+EC+AE＝2（AE+EQ）≥2AQ'，
即EB+EC+AE的最小值为2AQ'，
在Rt△AQ'B中，AB＝6，∠ABC＝60°，
∴AQ'＝3，
∴EB+EC+AE的最小值为6，
故答案为：6．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）解不等式组：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x≥﹣1，
所以这个不等式组的解集为﹣1≤x≤3．
16．（5分）化简：．
【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠CPD＝∠BAP．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】根据作一个角等于已知角的方法作∠CPD＝∠BAP即可．
【解答】解：如图，点D即为所求．

18．（5分）如图，在▱ABCD中，F是BC的中点，连接AF并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE．求证：四边形ABEC是平行四边形．

【分析】利用平行四边形的性质、中点的定义以及全等三角形的判定定理推知△ABF≌ECF，得出AF＝EF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠CEF，∠B＝∠ECF，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
∴在△ABF与ECF中，，
∴△ABF≌ECF（AAS），
∴AF＝EF，
∴四边形ABEC是平行四边形；
19．（7分）阳光中学为了解本校初中学生在学校号召的“积极公益”活动中周末参加公益的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的初中学生人数为 　40　，扇形图中m的值为 　25　；
（2）求调查的这部分学生参加公益的时间数据的平均数、众数和中位数；
（3）若该校共有800名初中学生，请估计该校在这个周末参加公益时间大于1h的学生人数．
【分析】（1）计算各组频数的和即可求出调查人数，计算“1.8h”的人数所占的百分比即可确定m的值；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可；
（3）求出样本中“参加公益活动时间大于1h”的人数所占的百分比即可计算总体800人中“参加公益活动时间大于1h”的人数．
【解答】解：（1）本次接受调查的初中学生人数为：4+8+15+10+3＝40（人），10÷40×100%＝25%，即m＝25，
故答案为：40，25；
（2）平均数是＝1.5，
这组数据中出现次数最多的是“1.5h”，共出现15次，因此众数是1.5，
将这组数据从小到大排列后处在中间位置的两个数都是1.5h，因此中位数是1.5，
所以平均数为1.5，1.5，1.5；
（3）800×＝720（人），
答：该校每天在校体育活动时间大于1h的学生约有720人．
20．（7分）如图，果果同学正向着教学楼（AB）走去，他发现教学楼后面有一座5G信号接收塔（CD），经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离（BD）为30m，该同学的眼睛距地面高度（EF）是1.6m．当他刚发现接收塔的顶部C恰好被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼（AB）之间的距离为多少米？

【分析】首先构造直角三角形，得出四边形EFCG是矩形，再利用△AEH∽△DEG，求出EH的长即可．
【解答】解：如图，过E作EG⊥CD交AB于H，CD于G，

根据题意可得：四边形EFCG是矩形，
∴EF＝HB＝CG＝1.6m，EH＝FB，HG＝BC＝30m，
∴AH＝20m，DG＝30m，
∵AH∥DG，
∴△AEH∽△DEG，
∴＝，
即＝，
∴EH＝60．
答：某同学与教学楼（AB）之间的距离为60米．
21．（7分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导贫困户李大爷种植优质百香果喜获丰收，上市20天全部销售完，专家对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（千克）与上市时间x（天）的函数关系如图所示．
（1）求日销售量y与上市时间x的函数关系式；
（2）求出第15天的日销售量．

【分析】（1）分段函数，当0≤x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝kx（k≠0），把（12，960）代入计算即可；当12＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b（a≠0），把（12，900）和（20，0）代入计算即可．
（2）把x＝15代入（1）的结论解答即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝kx（k≠0），
12k＝960，得k＝80，
即当0≤x≤12时，y与x的函数关系式为y＝80x；
当12＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b（a≠0），
，
解得，
即当12＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣120x+2400，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）当x＝15时，y＝﹣120×15+2400＝600，
故第15天的日销售量为600千克．
22．（7分）九年级某班要召开一次“走近抗疫英雄，讲好中国故事”主题班会活动，李老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为　　；
（2）小明从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小丽再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关英雄的故事，求小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的有6种结果，
所以小明、小丽两人中恰好有一人讲述钟南山抗疫故事的．
23．（8分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D，点E是劣弧的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，AC＝3，求tan∠BAE的值．

【分析】（1）根据题中条件，利用圆中等弧对等角，证明△ACF为等腰三角形即可；
（2）利用勾股定理算出相应的边，再通过边与边之间的关系进行等量代换，求出∠DAF，所在的Rt△ADF的两条直角边即可，再进行正切线的等量代换即可．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，

∵CA是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵点E是劣弧的中点，
∴，
∴∠BAE＝∠DBE，
∴∠BAE+∠CAF＝∠EFB+∠DBE，
∴∠CAE＝∠EFB，
∵∠AFC＝∠EFB，
∴△ACF为等腰三角形，
∴AC＝CF；
（2）解：如图，连接AD，

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵AC＝CF＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵cos∠ABC＝，
∴BD＝，
∴AD＝＝，DF＝BD﹣BF＝，
∴tan∠BAE＝tan∠DAE＝，
∴tan∠BAE＝．
24．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l交x轴于点E，顶点为M．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）在对称轴l上且在第一象限内，是否存在点D，使得△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式；令x＝0即可求得点C坐标；
（2）设点D的坐标为（1，m），分两种情况解答：①当CD＝DA时，②当AC＝AD时，分别利用勾股定理列出方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得：．
∴A（﹣1，0）、B（3，0），表达式为：y＝﹣x2+2x+3．
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
（2）存在点D，使得△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形．
∵A（﹣1，0）、C（0，3），
∴OA＝1，OC＝3．
抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴E（1，0）．
∴OE＝1．
①当CD＝DA时，过点C作CF⊥DM于点F，如图，

∵点D在抛物线的对称轴上，
∴设点D（1，m），则DE＝m．
∵FC⊥EM，FE⊥OE，OC⊥OB，
∴四边形OEFC为矩形．
∴CF＝OE＝1，EF＝OC＝3．
∴DF＝3﹣m．
∵CD＝DA，
∴CD2＝AD2．
∴AE2+DE2＝CF2+DF2．
∴22+m2＝12+（3﹣m）2．
解得：m＝1．
∴D（1，1）．
②当AC＝AD时，如图，

设点D（1，m），则DE＝m．
∵OA＝1，OE＝1，
∴AE＝2．
∵AC＝AD，
∴AC2＝AD2．
∴OA2+OC2＝AE2+DE2，
∴12+32＝22+m2．
解得：m＝±（负数不合题意，舍去）．
∴m＝．
∴D（1，）．
综上，点D的坐标为（1，1）或（1，）．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BC＝4，求AD的最大值；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，BC＝12，AD＝CD，∠ADC＝60°，AB＝9．连接BD，求△BCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，某市效区点O外有一棵古树，点A外是某市古树名木保护研究中心，且OA＝40km，为加强对该古树的检测和保护，拟在距古树3km处设置三个观测点B，C，D，以形成保护区域四边形ABCD．则是否存在一个满足以上要求的面积最大的四边形ABCD？若存在，求出满足条件的四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．（研究中心及各观测点的占地面积忽略不计）

【分析】问题提出：取BC的中点T，连接AT，利用斜边中线的性质求出AT，求出AD的最大值即可解决问题．
问题探究：以BC为边向上作等边△COB，连接OD，过点O作OM⊥CB于M，证明△ABC≌△DOC推出OD＝AB＝9，即知点D的运动轨迹是以O为圆心，9为半径的圆，点D到CB的距离的最大值为OM+OD＝6+9，由此即可解决问题．
问题解决：存在．如图3中，延长AO交⊙O于C，过点O作AC的垂线交⊙O于B，D，此时四边形ABCD的面积最大．
【解答】解：问题提出（1）取BC的中点T，连接AT，如图：

∵∠BAC＝90°，BC＝4，CT＝BT，
∴AT＝BC＝2，
∵AD⊥BC，
∴AD≤AT，
∴AD≤2，
∴AD的最大值为2，
问题探究（2）以BC为边向上作等边△COB，连接OD，过点O作OM⊥CB于M，如图：

∵△COB是等边三角形，OM⊥CB，OB＝BC＝12，
∴CM＝BM＝6，OM＝＝6，
∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∵BC＝CO，∠BCO＝∠ACD＝60°，
∴∠BCA＝∠DCO，
∴△ABC≌△DOC（SAS），
∴OD＝AB＝9，
∴点D的运动轨迹是以O为圆心，9为半径的圆，
∴点D到CB的距离的最大值为OM+OD＝6+9，
∴△BCD面积的最大值为：×12×（6+9）＝36+54；
问题解决（3）存在，
以O为圆心，3km为半径作⊙O，延长AO交⊙O于C，过点O作AC的垂线交⊙O于B，D，如图：

此时四边形ABCD两条对角线互相垂直，四边形ABCD的面积最大，最大面积为：×（40+3）×6＝129（km2）．