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2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市绍初教育集团、滨江初中教育集团八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市绍初教育集团、滨江初中教育集团八年级（上）期中数学试卷，共23页。
2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市绍初教育集团、滨江初中教育集团八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）
A．2，9 B．17，29 C．3，12 D．4，4
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．（3分）画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）在说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题时，可以成为反例的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝2
6．（3分）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有一个锐角相等和一组边相等的直角三角形
B．底边和底边上高线对应相等的等腰三角形
C．顶角和底边相等的等腰三角形
D．一条直角边和一条斜边对应相等的直角三角形
7．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
8．（3分）在△ABC中，有下列条件：不能确定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C
9．（3分）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
10．（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是 ．
12．（3分）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
13．（3分）如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 （填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
14．（3分）如图，△ABC是直角三角形，AB是斜边，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E，则BD的长为 ．
15．（3分）定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是△ABC的准内心（不包括顶点），且点P在△ABC的边上，则CP的长为 ．
16．（3分）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒．
三．解答题（本大题有7小题，共52分.解答需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC，BE．
（1）求证：△BAE≌△DAC；
（2）若∠CAD＝125°，∠D＝20°，求∠E的度数．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
19．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA＝PC＝1，PB＝，求证：PC⊥CQ．
20．（8分）如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
21．（10分）已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE和AC的长．
22．（10分）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市绍初教育集团、滨江初中教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A选项和D选项中的图形既不是中心对称也不是轴对称图形，B选项中的图形为中心对称图形，C选项中的图形既是中心对称也是轴对称图．
故选：C．
2．（3分）已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）
A．2，9 B．17，29 C．3，12 D．4，4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”进行判断即可．
【解答】解：A.9﹣2＝7＜8，9+2＝11＞8，
∴能够构成三角形，故此选项符合题意；
B.29﹣17＝12＞8，
∴构不成三角形，故此选项不合题意；
C．∵12﹣3＝9＞8，
∴构不成三角形，故此选项不合题意；
D．∵4+4＝8，
∴构不成三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：C．
4．（3分）画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【解答】解：在△ABC中，画出边BC上的高，即是过点A作BC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
5．（3分）在说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题时，可以成为反例的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝2
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【解答】解：∵当a＝﹣3，b＝2时，（﹣3）2＞22，但是﹣3＜2，
∴a＝﹣3，b＝2是假命题的反例．
故选：D．
6．（3分）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有一个锐角相等和一组边相等的直角三角形
B．底边和底边上高线对应相等的等腰三角形
C．顶角和底边相等的等腰三角形
D．一条直角边和一条斜边对应相等的直角三角形
【分析】根据直角三角形全等的判定方法对A、D进行判断；根据等腰三角形的性质和三角形全等的判定方法对B、C进行判断．
【解答】解：A．有一个锐角相等和一组边对应相等的直角三角形全等，所以A选项符合题意；
B．底边和底边上高线对应相等的等腰三角形全等，所以B选项不符合题意；
C．顶角和底边相等的等腰三角形全等，所以C选项不符合题意；
D．一条直角边和一条斜边对应相等的直角三角形全等，所以D选项不符合题意；
故选：A．
7．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
8．（3分）在△ABC中，有下列条件：不能确定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C
【分析】根据三角形内角和定理，分别求出各选项中最大角的度数即可判断．
【解答】解：A：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
故A能确定；
B：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝90°，
故B能确定；
C：∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+＝180°，
∴∠A＝≠90°，且∠B，∠C也不等于90°，
故C不能确定；
D：∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴＝180°，
∴∠C＝90°，
故D能确定，
故选：C．
9．（3分）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝，求得AD＝AC﹣CD＝﹣1，根据圆的性质得到AE＝AD，即可得到结论．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝﹣1，
∴点E表示的实数是﹣1．
故选：D．
10．（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【分析】分别以A、B、C为直角顶点，分类三种情况：当点C为直角顶点，AB为斜边；点A为直角顶点，BC为斜边；点B为直角顶点，AC为斜边；根据点在方格中的特点，画出图形得出答案即可．
【解答】解：如图：
符合条件的点C一共有9个．
故选：A．
二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是 5 ．
【分析】根据勾股定理求得斜边为10，再通过斜边上的中线等于斜边的一半得中线长为5．
【解答】解：根据勾股定理得，斜边为：＝10，
∴斜边上的中线为5．
故答案为：5．
12．（3分）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 110° ．
【分析】根据三角形的外角性质得出∠AEB＝∠A+∠C，∠ADB＝∠B+∠AEB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠A＝20°，∠C＝50°，
∴∠AEB＝∠A+∠C＝70°，
∵∠B＝40°，
∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+40°＝110°，
故答案为：110°．
13．（3分）如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ①②③ （填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD，
选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
故答案为：①②③．
14．（3分）如图，△ABC是直角三角形，AB是斜边，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E，则BD的长为 ．
【分析】连接AD，由垂直平分线的性质得到AD＝BD，在△ACD中，建立勾股关系方程，可解．
【解答】解：如图，连接AD
由垂直平分线的性质可知
AD＝BD
∵△ABC为直角三角形，AC＝3，AB＝5
∴BC＝4
设AD为m，则CD＝4﹣m
在Rt△ACD中
AD2＝CD2+AC2
m2＝（4﹣m）2+32
解得m＝
故答案为：
15．（3分）定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是△ABC的准内心（不包括顶点），且点P在△ABC的边上，则CP的长为 或或3 ．
【分析】分三种情形①点P在AB边上，②点P在AC边上，③点P在BC边上，分别讨论计算即可．
【解答】解：
如图3中，
当点P在AB边上时，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PCB＝∠PCA＝45°，作PE⊥AC于E，
则△PEC为等腰直角三角形，
故PE＝CE＝，
∴PC＝；
如图4中，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，设PE＝x，
∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PBA＝∠PBC，
∵PE⊥AB，PC⊥BC，
∴PE＝PC＝x，BE＝BC＝8，
∴AE＝2，
∴22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝；
如图5中，
当点P在BC边上时，同理可得PC＝3；
故答案为：或或3．
16．（3分）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 18 秒．
【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．
【解答】解：如图，
过点A作AC⊥ON于N，
∵∠MON＝30°，OA＝80米，
∴AC＝40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50，
由勾股定理得：BC＝30，
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD＝30．
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5＝18秒．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．
故答案为：18．
三．解答题（本大题有7小题，共52分.解答需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC，BE．
（1）求证：△BAE≌△DAC；
（2）若∠CAD＝125°，∠D＝20°，求∠E的度数．
【分析】（1）根据题意由∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，可得∠DAC＝∠BAE，即可求证；
（2）由△BAE≌△DAC，可得∠E＝∠C，再由内角和为180°即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
又∵AD＝AB，AC＝AE，
∴△BAE≌△DAC （SAS）；
（2）解：∵△BAE≌△DAC，
∴∠E＝∠C，
∵∠CAD＝125°，∠D＝20°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAD+∠D）＝180°﹣（125°+20°）＝35°，
∴∠E＝35°．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，再根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，从而得到结论；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝75°，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
19．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA＝PC＝1，PB＝，求证：PC⊥CQ．
【分析】（1）AP＝CQ．根据等边三角形的性质可得出∠ABC＝60°，AB＝CB，由∠ABP+∠PBC＝60°，∠PBC+∠CBQ＝60°可得出∠ABP＝∠CBQ，结合AB＝CB，BP＝BQ可证出△ABP≌△CBQ（SAS），根据全等三角形的性质可得出AP＝CQ；
（2）连接PQ，由BP＝BQ，∠PBQ＝60°可得出△PBQ为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出PQ＝PB＝，∠BQP＝60°，进而可得出∠PQC＝90°．
【解答】解：（1）∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC，∠ABC＝60°，
∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ （SAS），
∴AP＝CQ；
（2）连接PQ，
∵PA＝PC＝1，AP＝CQ，
∴PC＝CQ＝1，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝，
∴PC2+CQ2＝PQ2，
∴∠PCQ＝90°，
∴PC⊥CQ．
20．（8分）如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；
（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求．
过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形，
∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），
∵AB＝AB′＝4km，
∴EB′＝AE+AB′＝12（km），
∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．
（2）如图2中，点P即为所求，
设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，
∵∠A＝∠C＝90°，
在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，
∴42+x2＝82+（14﹣x）2，
解得x＝
∴AP＝（km）．
21．（10分）已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE和AC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根据三角形的内角和得到∠ACB＝90°，于是得到△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到CD垂直平分AB，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵DA＝DB＝DC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DA＝DB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∵AC＝BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∵AB＝16，DC＝10，
∴AE＝8，AD＝CD＝10，
∴DE＝＝6，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
∴AC＝＝＝4．
22．（10分）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
【分析】（1）①利用翻折变换的性质求出∠DEB，可得结论；
②分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出∠DEB即可；
（2）如图3中，连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，BT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．证明△DCM≌△NTD（AAS），推出CD＝NT＝3，推出点N在直线l上运动，由C，Q关于直线l对称，推出NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，根据CN+BN＝NQ+BN≥BQ，求出BQ，可得结论．
【解答】解：（1）当∠B′EA＝20°时，
由翻折的性质可知，∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣20°）]＝100°，
∴∠EDB＝180°﹣∠DEB﹣∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°；
（2）当HB′＝HE时，∠B′＝∠B＝∠AEB′＝30°，
∴∠DEB＝∠DEB＝[360°﹣（180°﹣30°）]＝105°；
当B′H＝B′E时，∠AEB′＝∠B′HE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣75°）]＝127.5°，
当EB′＝HE时，∠AEB′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣120°）]＝150°（舍弃），
综上所述，∠DEB为105°或127.5°；
（3）如图3中，连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，BT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．
∵∠DCM＝∠MDN＝∠DTN＝90°，
∴∠CDM+∠TDN＝90°，∠TDM+∠TND＝90°，
∴∠CDM＝∠DNT，
在△DCM和△NTD中，
，
∴△DCM≌△NTD（AAS），
∴CD＝NT＝3，
∴点N在直线l上运动，
∵C，Q关于直线l对称，
∴NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，
∴CN+BN＝NQ+BN≥BQ，
∵BQ＝＝＝3，
∴CN+BN≥3，
∴CN+BN的最小值为3．
2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市绍初教育集团、滨江初中教育集团八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）
A．2，9 B．17，29 C．3，12 D．4，4
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．（3分）画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）在说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题时，可以成为反例的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝2
6．（3分）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有一个锐角相等和一组边相等的直角三角形
B．底边和底边上高线对应相等的等腰三角形
C．顶角和底边相等的等腰三角形
D．一条直角边和一条斜边对应相等的直角三角形
7．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
8．（3分）在△ABC中，有下列条件：不能确定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C
9．（3分）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
10．（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是 ．
12．（3分）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 ．
13．（3分）如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 （填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
14．（3分）如图，△ABC是直角三角形，AB是斜边，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E，则BD的长为 ．
15．（3分）定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是△ABC的准内心（不包括顶点），且点P在△ABC的边上，则CP的长为 ．
16．（3分）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 秒．
三．解答题（本大题有7小题，共52分.解答需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC，BE．
（1）求证：△BAE≌△DAC；
（2）若∠CAD＝125°，∠D＝20°，求∠E的度数．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
19．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA＝PC＝1，PB＝，求证：PC⊥CQ．
20．（8分）如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
21．（10分）已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE和AC的长．
22．（10分）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
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参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A选项和D选项中的图形既不是中心对称也不是轴对称图形，B选项中的图形为中心对称图形，C选项中的图形既是中心对称也是轴对称图．
故选：C．
2．（3分）已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）
A．2，9 B．17，29 C．3，12 D．4，4
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”进行判断即可．
【解答】解：A.9﹣2＝7＜8，9+2＝11＞8，
∴能够构成三角形，故此选项符合题意；
B.29﹣17＝12＞8，
∴构不成三角形，故此选项不合题意；
C．∵12﹣3＝9＞8，
∴构不成三角形，故此选项不合题意；
D．∵4+4＝8，
∴构不成三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：C．
4．（3分）画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
【解答】解：在△ABC中，画出边BC上的高，即是过点A作BC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
5．（3分）在说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题时，可以成为反例的是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝2
【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【解答】解：∵当a＝﹣3，b＝2时，（﹣3）2＞22，但是﹣3＜2，
∴a＝﹣3，b＝2是假命题的反例．
故选：D．
6．（3分）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有一个锐角相等和一组边相等的直角三角形
B．底边和底边上高线对应相等的等腰三角形
C．顶角和底边相等的等腰三角形
D．一条直角边和一条斜边对应相等的直角三角形
【分析】根据直角三角形全等的判定方法对A、D进行判断；根据等腰三角形的性质和三角形全等的判定方法对B、C进行判断．
【解答】解：A．有一个锐角相等和一组边对应相等的直角三角形全等，所以A选项符合题意；
B．底边和底边上高线对应相等的等腰三角形全等，所以B选项不符合题意；
C．顶角和底边相等的等腰三角形全等，所以C选项不符合题意；
D．一条直角边和一条斜边对应相等的直角三角形全等，所以D选项不符合题意；
故选：A．
7．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：D．
8．（3分）在△ABC中，有下列条件：不能确定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝∠B＝∠C
【分析】根据三角形内角和定理，分别求出各选项中最大角的度数即可判断．
【解答】解：A：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
故A能确定；
B：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝90°，
故B能确定；
C：∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+＝180°，
∴∠A＝≠90°，且∠B，∠C也不等于90°，
故C不能确定；
D：∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴＝180°，
∴∠C＝90°，
故D能确定，
故选：C．
9．（3分）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝，求得AD＝AC﹣CD＝﹣1，根据圆的性质得到AE＝AD，即可得到结论．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝﹣1，
∴点E表示的实数是﹣1．
故选：D．
10．（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
【分析】分别以A、B、C为直角顶点，分类三种情况：当点C为直角顶点，AB为斜边；点A为直角顶点，BC为斜边；点B为直角顶点，AC为斜边；根据点在方格中的特点，画出图形得出答案即可．
【解答】解：如图：
符合条件的点C一共有9个．
故选：A．
二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）直角三角形的两条直角边为6和8，则斜边上的中线长是 5 ．
【分析】根据勾股定理求得斜边为10，再通过斜边上的中线等于斜边的一半得中线长为5．
【解答】解：根据勾股定理得，斜边为：＝10，
∴斜边上的中线为5．
故答案为：5．
12．（3分）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是 110° ．
【分析】根据三角形的外角性质得出∠AEB＝∠A+∠C，∠ADB＝∠B+∠AEB，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵∠A＝20°，∠C＝50°，
∴∠AEB＝∠A+∠C＝70°，
∵∠B＝40°，
∴∠ADB＝∠AEB+∠B＝70°+40°＝110°，
故答案为：110°．
13．（3分）如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定 Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ①②③ （填入序号）
①AB＝DC，∠B＝∠C；
②AB＝DC，AB∥CD；
③AB＝DC，BE＝CF；
④AB＝DF，BE＝CF．
【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD，
选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；
选择④不能定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．
故答案为：①②③．
14．（3分）如图，△ABC是直角三角形，AB是斜边，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E，则BD的长为 ．
【分析】连接AD，由垂直平分线的性质得到AD＝BD，在△ACD中，建立勾股关系方程，可解．
【解答】解：如图，连接AD
由垂直平分线的性质可知
AD＝BD
∵△ABC为直角三角形，AC＝3，AB＝5
∴BC＝4
设AD为m，则CD＝4﹣m
在Rt△ACD中
AD2＝CD2+AC2
m2＝（4﹣m）2+32
解得m＝
故答案为：
15．（3分）定义：到三角形两边距离相等的点叫做三角形的准内心．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是△ABC的准内心（不包括顶点），且点P在△ABC的边上，则CP的长为 或或3 ．
【分析】分三种情形①点P在AB边上，②点P在AC边上，③点P在BC边上，分别讨论计算即可．
【解答】解：
如图3中，
当点P在AB边上时，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝10，
∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PCB＝∠PCA＝45°，作PE⊥AC于E，
则△PEC为等腰直角三角形，
故PE＝CE＝，
∴PC＝；
如图4中，当点P在AC边上时，作PE⊥AB于E，设PE＝x，
∵点P是△ABC的准内心，
∴∠PBA＝∠PBC，
∵PE⊥AB，PC⊥BC，
∴PE＝PC＝x，BE＝BC＝8，
∴AE＝2，
∴22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝；
如图5中，
当点P在BC边上时，同理可得PC＝3；
故答案为：或或3．
16．（3分）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 18 秒．
【分析】过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．
【解答】解：如图，
过点A作AC⊥ON于N，
∵∠MON＝30°，OA＝80米，
∴AC＝40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50，
由勾股定理得：BC＝30，
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD＝30．
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5＝18秒．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．
故答案为：18．
三．解答题（本大题有7小题，共52分.解答需要写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）如图，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，连接DC，BE．
（1）求证：△BAE≌△DAC；
（2）若∠CAD＝125°，∠D＝20°，求∠E的度数．
【分析】（1）根据题意由∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，可得∠DAC＝∠BAE，即可求证；
（2）由△BAE≌△DAC，可得∠E＝∠C，再由内角和为180°即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
又∵AD＝AB，AC＝AE，
∴△BAE≌△DAC （SAS）；
（2）解：∵△BAE≌△DAC，
∴∠E＝∠C，
∵∠CAD＝125°，∠D＝20°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAD+∠D）＝180°﹣（125°+20°）＝35°，
∴∠E＝35°．
18．（8分）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，再根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，从而得到结论；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝75°，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
19．（8分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BP＝BQ，连结CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
（2）若PA＝PC＝1，PB＝，求证：PC⊥CQ．
【分析】（1）AP＝CQ．根据等边三角形的性质可得出∠ABC＝60°，AB＝CB，由∠ABP+∠PBC＝60°，∠PBC+∠CBQ＝60°可得出∠ABP＝∠CBQ，结合AB＝CB，BP＝BQ可证出△ABP≌△CBQ（SAS），根据全等三角形的性质可得出AP＝CQ；
（2）连接PQ，由BP＝BQ，∠PBQ＝60°可得出△PBQ为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出PQ＝PB＝，∠BQP＝60°，进而可得出∠PQC＝90°．
【解答】解：（1）∵等边三角形ABC，
∴AB＝AC，∠ABC＝60°，
∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ （SAS），
∴AP＝CQ；
（2）连接PQ，
∵PA＝PC＝1，AP＝CQ，
∴PC＝CQ＝1，
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝，
∴PC2+CQ2＝PQ2，
∴∠PCQ＝90°，
∴PC⊥CQ．
20．（8分）如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；
（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求．
过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形，
∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），
∵AB＝AB′＝4km，
∴EB′＝AE+AB′＝12（km），
∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．
（2）如图2中，点P即为所求，
设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，
∵∠A＝∠C＝90°，
在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，
∴42+x2＝82+（14﹣x）2，
解得x＝
∴AP＝（km）．
21．（10分）已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE和AC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根据三角形的内角和得到∠ACB＝90°，于是得到△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到CD垂直平分AB，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵DA＝DB＝DC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DA＝DB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∵AC＝BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∵AB＝16，DC＝10，
∴AE＝8，AD＝CD＝10，
∴DE＝＝6，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
∴AC＝＝＝4．
22．（10分）已知Rt△ABC中∠C＝Rt∠，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．
①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．
②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．
（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．
【分析】（1）①利用翻折变换的性质求出∠DEB，可得结论；
②分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出∠DEB即可；
（2）如图3中，连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，BT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．证明△DCM≌△NTD（AAS），推出CD＝NT＝3，推出点N在直线l上运动，由C，Q关于直线l对称，推出NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，根据CN+BN＝NQ+BN≥BQ，求出BQ，可得结论．
【解答】解：（1）当∠B′EA＝20°时，
由翻折的性质可知，∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣20°）]＝100°，
∴∠EDB＝180°﹣∠DEB﹣∠B＝180°﹣100°﹣30°＝50°；
（2）当HB′＝HE时，∠B′＝∠B＝∠AEB′＝30°，
∴∠DEB＝∠DEB＝[360°﹣（180°﹣30°）]＝105°；
当B′H＝B′E时，∠AEB′＝∠B′HE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣75°）]＝127.5°，
当EB′＝HE时，∠AEB′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠DEB＝∠DEB′＝[360°﹣（180°﹣120°）]＝150°（舍弃），
综上所述，∠DEB为105°或127.5°；
（3）如图3中，连接CN，BN，过点N作直线l⊥AC，BT⊥CB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ．
∵∠DCM＝∠MDN＝∠DTN＝90°，
∴∠CDM+∠TDN＝90°，∠TDM+∠TND＝90°，
∴∠CDM＝∠DNT，
在△DCM和△NTD中，
，
∴△DCM≌△NTD（AAS），
∴CD＝NT＝3，
∴点N在直线l上运动，
∵C，Q关于直线l对称，
∴NC＝NQ，CQ＝2NT＝6，
∴CN+BN＝NQ+BN≥BQ，
∵BQ＝＝＝3，
∴CN+BN≥3，
∴CN+BN的最小值为3．
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