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2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1）
3．（3分）若圆的半径是5，点P到圆心的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
4．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1可由抛物线y＝x2如何平移得到（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
5．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C、D在⊙O上，且∠B＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．110° B．70° C．120° D．90°
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x的图象经过点（﹣1，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
9．（3分）已知下列命题：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知现有的10瓶饮料中有1瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是 ．
12．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．
13．（4分）如图，弦CD垂直平分半径OB，若直径AB＝8，则CD＝ ．
14．（4分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△DOE，若∠A＝110°，∠B＝45°，则∠AOE＝ ．
15．（4分）已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 ．
16．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④＜a＜．其中正确的选项是 ．（填序号）
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数y＝ax2+2x﹣3的图象经过点（1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求出该函数的顶点坐标与对称轴．
18．（8分）现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
19．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，DG，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC．
（2）连AC，若BE＝2，CD＝4，则判断△ACD为何种三角形，并说明理由．
22．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝4，求AC的长．
23．（12分）若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．
例如：下图所表示的函数的界高为4．
（1）求函数y＝x2（﹣3≤x≤1）的界高；
（2）已知m＞﹣2，若函数y＝x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a＞0，函数y＝x2﹣2ax+3a（﹣2≤x≤1）的界高为，求a的值．
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．
故选：B．
2．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1）
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1的图象的顶点坐标是（3，﹣1）．
故选：A．
3．（3分）若圆的半径是5，点P到圆心的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵圆的半径是5，点P到圆心的距离为5，
∴d＝r，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
4．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1可由抛物线y＝x2如何平移得到（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【解答】解：由抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线解析式为：y＝（x﹣2）﹣+1．
故选：D．
5．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C、D在⊙O上，且∠B＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．110° B．70° C．120° D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点A，B，C，D在⊙O上，∠B＝110°，
∴∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝70°，
故选：B．
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据垂径定理，推出，可得∠AOC＝∠BOC，由同弧所对的圆周角等于圆心角的两倍解题即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝50°，
故选：C．
7．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x的图象经过点（﹣1，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】分别把x＝﹣1和x＝3代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣2x＝1+2+k＝3；
当x＝时，y2＝x2﹣2x＝﹣1＝﹣，
所以y1＞y2．
故选：A．
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
9．（3分）已知下列命题：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别利用二次函数的性质、圆的性质、多边形的性质及圆内接四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；
②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；
③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；
④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；
⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，利用圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明CD∥AB得到•∠BDC＝∠ABC，所以BD＝AC＝5．然后利用勾股定理计算出CD，再利用面积法求出BN即可．
【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC，
∴＝，
∴BD＝AC＝5．
∴OM＝BN，
在Rt△CBD中，CD＝＝13，
∵×BN×CD＝×BC×BD，
∴BN＝＝＝，
∴OM＝，
即点O到AB的距离为．
故选：B．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知现有的10瓶饮料中有1瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率＝．
故答案为：．
12．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （﹣1，0） ．
【分析】抛物线与x轴的另一个交点的横坐标＝对称轴﹣（3﹣1）＝﹣1，纵坐标为0．
【解答】解：易得对称轴为1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1﹣（3﹣1）＝﹣1，纵坐标为0．∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
13．（4分）如图，弦CD垂直平分半径OB，若直径AB＝8，则CD＝ 4 ．
【分析】求出OD＝4，OE＝2，根据勾股定理求出DE，根据垂径定理求出CE＝ED，再求出CD即可．
【解答】解：
∵弦CD垂直平分半径OB，直径AB＝8，
∴OB＝OD＝4，OE＝2，∠OED＝90°，
由勾股定理得：ED＝＝＝2，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴CE＝ED＝2，
∴CD＝CE+ED＝4，
故答案为：4．
14．（4分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△DOE，若∠A＝110°，∠B＝45°，则∠AOE＝ 35° ．
【分析】根据三角形内角和定理，由∠A＝110°，∠B＝45°，先求出∠AOB的度数，再根据旋转的性质得∠AOD等于旋转角，∠DOE与∠AOB是对应角，由∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE，即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：∵∠A＝110°，∠B＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣110°﹣45°＝25°，
由旋转得∠AOD＝60°，∠DOE＝∠AOB＝25°，
∴∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE＝60°﹣25°＝35°，
故答案为：35°．
15．（4分）已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 15°或105° ．
【分析】连接OA、OB、OC，证△AOB是等边三角形，得∠AOB＝60°，再由勾股定理的逆定理证△OBC是直角三角形，∠BOC＝90°，分两种情况：①当AB、BC在OB的同侧时，②当AB、BC在OB的异侧时，由圆周角定理分别求解即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵⊙O半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∵AB＝1，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OB＝OC＝1，BC＝，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△OBC是直角三角形，∠BOC＝90°，
分两种情况：
①当AB、BC在OB的同侧时，如图1所示：
则∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∴∠ABC＝∠AOC＝15°；
②当AB、BC在OB的异侧时，如图2所示：
则∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝150°，
∴∠ABC＝（360°﹣∠AOC）＝（360°﹣150°）＝105°；
综上所述，∠ABC的度数是15°或105°，
故答案为：15°或105°．
16．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④＜a＜．其中正确的选项是 ①③④ ．（填序号）
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝1＞0，a、b异号，
∴b＜0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
故②不正确；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣b2＜8a，
故③是正确的；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，
又∵x1•x2＝，即c＝﹣3a，
∵﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
因此 ＜a＜，
故④正确，
综上所述，正确的结论有三个：①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数y＝ax2+2x﹣3的图象经过点（1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求出该函数的顶点坐标与对称轴．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）利用二次函数性质确定出顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）把点（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3得：0＝a+2﹣3，
解得：a＝1，
则二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1．
18．（8分）现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
【分析】列举出所有情况，看两次所抽血的血型均为O型的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，所以概率是．
19．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
【分析】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）连接OE，OD，由圆周角定理求出∠DAE，再利用三角形内角和定理求解．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：连接OE，OD．
∵的度数＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC＝∠DOE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，DG，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC．
（2）连AC，若BE＝2，CD＝4，则判断△ACD为何种三角形，并说明理由．
【分析】（1）证明∠1＝∠ADC，∠2＝∠ADC，可得结论；
（2）结论：△ADC是等边三角形．证明∠3＝60°，AC＝AD，可得结论．
【解答】（1）证明：连接AC．
∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：结论：△ADC是等边三角形．
理由：连接BC．
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，EC＝DE＝CD＝2，
∴tan∠EBC＝＝，
∴∠EBC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵AE⊥CD，EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形．
22．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝4，求AC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAE＝∠CAF，根据直角三角形的性质得出∠ABE＝90°，根据圆周角定理证明结论；
（2）连接CE，证明AC＝CE，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF+∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠AEB，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ABC＝∠EAC，
∴＝，
∴AC＝CE，
∴AC＝AE＝2．
23．（12分）若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．
例如：下图所表示的函数的界高为4．
（1）求函数y＝x2（﹣3≤x≤1）的界高；
（2）已知m＞﹣2，若函数y＝x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a＞0，函数y＝x2﹣2ax+3a（﹣2≤x≤1）的界高为，求a的值．
【分析】（1）根据函数的界高的定义，求得函数y＝x2的最小值和最大值，然后求函数y＝x2（﹣3≤x≤1）的界高；
（2）将y＝4代入抛物线的解析式得：x2＝4，解得：x1＝﹣2，x2＝2，从而可求得m＝2；
（3）当a≥1时，将x1＝﹣2，x2＝1代入函数解析式求得y1，y2，然后根据|y1﹣y2|＝4，可求得a的值；当0≤a≤1时，将x1＝﹣2，x2＝a代入函数的解析式得到y1、y2，然后根据|y1﹣y2|＝4，可求得a的值．
【解答】解（1）函数y＝x2（﹣3≤x≤1）在x＝0取最小值ymin＝0，在x＝﹣3取最大值ymax＝9．
∵H＝9﹣0＝9．
∴界高为9；
（2）将y＝4代入抛物线的解析式得：x2＝4，
解得：x1＝﹣2，x2＝2，
∴m＝2．
∴m的取值范围是0≤m≤2．
（3）当a≥1时，将x1＝﹣2，x2＝1代入函数解析式求得y1＝4+7a，y2＝1+a，
∵|y1﹣y2|＝
∴3+6a＝．
解得：a＝．
又∵a≥1．
故此种情况不成立；
当0≤a≤1时，将x1＝﹣2，x2＝a代入函数解析式得：y1＝4+7a，y2＝3a﹣a2，
∵y1﹣y2＝，
∴a2+4a﹣＝0，
解得：a1＝，a2＝﹣（舍去）
故a＝．
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1）
3．（3分）若圆的半径是5，点P到圆心的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
4．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1可由抛物线y＝x2如何平移得到（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
5．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C、D在⊙O上，且∠B＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．110° B．70° C．120° D．90°
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x的图象经过点（﹣1，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
9．（3分）已知下列命题：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知现有的10瓶饮料中有1瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是 ．
12．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ．
13．（4分）如图，弦CD垂直平分半径OB，若直径AB＝8，则CD＝ ．
14．（4分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△DOE，若∠A＝110°，∠B＝45°，则∠AOE＝ ．
15．（4分）已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 ．
16．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④＜a＜．其中正确的选项是 ．（填序号）
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数y＝ax2+2x﹣3的图象经过点（1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求出该函数的顶点坐标与对称轴．
18．（8分）现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
19．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，DG，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC．
（2）连AC，若BE＝2，CD＝4，则判断△ACD为何种三角形，并说明理由．
22．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝4，求AC的长．
23．（12分）若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．
例如：下图所表示的函数的界高为4．
（1）求函数y＝x2（﹣3≤x≤1）的界高；
（2）已知m＞﹣2，若函数y＝x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a＞0，函数y＝x2﹣2ax+3a（﹣2≤x≤1）的界高为，求a的值．
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．
故选：B．
2．（3分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1图象的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1）
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣3）2﹣1的图象的顶点坐标是（3，﹣1）．
故选：A．
3．（3分）若圆的半径是5，点P到圆心的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵圆的半径是5，点P到圆心的距离为5，
∴d＝r，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
4．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1可由抛物线y＝x2如何平移得到（ ）
A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．
【解答】解：由抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线解析式为：y＝（x﹣2）﹣+1．
故选：D．
5．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C、D在⊙O上，且∠B＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．110° B．70° C．120° D．90°
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点A，B，C，D在⊙O上，∠B＝110°，
∴∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝70°，
故选：B．
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据垂径定理，推出，可得∠AOC＝∠BOC，由同弧所对的圆周角等于圆心角的两倍解题即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝50°，
故选：C．
7．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x的图象经过点（﹣1，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
【分析】分别把x＝﹣1和x＝3代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣2x＝1+2+k＝3；
当x＝时，y2＝x2﹣2x＝﹣1＝﹣，
所以y1＞y2．
故选：A．
8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1
D．有最大值7，有最小值﹣2
【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，
当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．
故选：D．
9．（3分）已知下列命题：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别利用二次函数的性质、圆的性质、多边形的性质及圆内接四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；
②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；
③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；
④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；
⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，利用圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明CD∥AB得到•∠BDC＝∠ABC，所以BD＝AC＝5．然后利用勾股定理计算出CD，再利用面积法求出BN即可．
【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC，
∴＝，
∴BD＝AC＝5．
∴OM＝BN，
在Rt△CBD中，CD＝＝13，
∵×BN×CD＝×BC×BD，
∴BN＝＝＝，
∴OM＝，
即点O到AB的距离为．
故选：B．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知现有的10瓶饮料中有1瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率＝．
故答案为：．
12．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （﹣1，0） ．
【分析】抛物线与x轴的另一个交点的横坐标＝对称轴﹣（3﹣1）＝﹣1，纵坐标为0．
【解答】解：易得对称轴为1，根据抛物线的对称性，可得抛物线与x轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为1﹣（3﹣1）＝﹣1，纵坐标为0．∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
13．（4分）如图，弦CD垂直平分半径OB，若直径AB＝8，则CD＝ 4 ．
【分析】求出OD＝4，OE＝2，根据勾股定理求出DE，根据垂径定理求出CE＝ED，再求出CD即可．
【解答】解：
∵弦CD垂直平分半径OB，直径AB＝8，
∴OB＝OD＝4，OE＝2，∠OED＝90°，
由勾股定理得：ED＝＝＝2，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴CE＝ED＝2，
∴CD＝CE+ED＝4，
故答案为：4．
14．（4分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△DOE，若∠A＝110°，∠B＝45°，则∠AOE＝ 35° ．
【分析】根据三角形内角和定理，由∠A＝110°，∠B＝45°，先求出∠AOB的度数，再根据旋转的性质得∠AOD等于旋转角，∠DOE与∠AOB是对应角，由∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE，即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：∵∠A＝110°，∠B＝45°，
∴∠AOB＝180°﹣110°﹣45°＝25°，
由旋转得∠AOD＝60°，∠DOE＝∠AOB＝25°，
∴∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE＝60°﹣25°＝35°，
故答案为：35°．
15．（4分）已知⊙O半径为1，AB、BC是⊙O的弦，且AB＝1、BC＝，则∠ABC的度数是 15°或105° ．
【分析】连接OA、OB、OC，证△AOB是等边三角形，得∠AOB＝60°，再由勾股定理的逆定理证△OBC是直角三角形，∠BOC＝90°，分两种情况：①当AB、BC在OB的同侧时，②当AB、BC在OB的异侧时，由圆周角定理分别求解即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，
∵⊙O半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∵AB＝1，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OB＝OC＝1，BC＝，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△OBC是直角三角形，∠BOC＝90°，
分两种情况：
①当AB、BC在OB的同侧时，如图1所示：
则∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∴∠ABC＝∠AOC＝15°；
②当AB、BC在OB的异侧时，如图2所示：
则∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝150°，
∴∠ABC＝（360°﹣∠AOC）＝（360°﹣150°）＝105°；
综上所述，∠ABC的度数是15°或105°，
故答案为：15°或105°．
16．（4分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④＜a＜．其中正确的选项是 ①③④ ．（填序号）
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为x＝1＞0，a、b异号，
∴b＜0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
故②不正确；
∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，
∵8a＞0，
∴4ac﹣b2＜8a，
故③是正确的；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，
又∵x1•x2＝，即c＝﹣3a，
∵﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
因此 ＜a＜，
故④正确，
综上所述，正确的结论有三个：①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（本题有7个小题，共66分）
17．（6分）已知二次函数y＝ax2+2x﹣3的图象经过点（1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求出该函数的顶点坐标与对称轴．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）利用二次函数性质确定出顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）把点（1，0）代入y＝ax2+2x﹣3得：0＝a+2﹣3，
解得：a＝1，
则二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1．
18．（8分）现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
【分析】列举出所有情况，看两次所抽血的血型均为O型的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，所以概率是．
19．（8分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
【解答】解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是直线x＝＝﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得 ，
所以二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
【分析】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）连接OE，OD，由圆周角定理求出∠DAE，再利用三角形内角和定理求解．
【解答】（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：连接OE，OD．
∵的度数＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC＝∠DOE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，DG，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC．
（2）连AC，若BE＝2，CD＝4，则判断△ACD为何种三角形，并说明理由．
【分析】（1）证明∠1＝∠ADC，∠2＝∠ADC，可得结论；
（2）结论：△ADC是等边三角形．证明∠3＝60°，AC＝AD，可得结论．
【解答】（1）证明：连接AC．
∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：结论：△ADC是等边三角形．
理由：连接BC．
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，EC＝DE＝CD＝2，
∴tan∠EBC＝＝，
∴∠EBC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝30°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵AE⊥CD，EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形．
22．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝4，求AC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAE＝∠CAF，根据直角三角形的性质得出∠ABE＝90°，根据圆周角定理证明结论；
（2）连接CE，证明AC＝CE，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF+∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠AEB，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ABC＝∠EAC，
∴＝，
∴AC＝CE，
∴AC＝AE＝2．
23．（12分）若y是关于x的函数，H是常数（H＞0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1﹣y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．
例如：下图所表示的函数的界高为4．
（1）求函数y＝x2（﹣3≤x≤1）的界高；
（2）已知m＞﹣2，若函数y＝x2（﹣2≤x≤m）的界高为4，求实数m的取值范围；
（3）已知a＞0，函数y＝x2﹣2ax+3a（﹣2≤x≤1）的界高为，求a的值．
【分析】（1）根据函数的界高的定义，求得函数y＝x2的最小值和最大值，然后求函数y＝x2（﹣3≤x≤1）的界高；
（2）将y＝4代入抛物线的解析式得：x2＝4，解得：x1＝﹣2，x2＝2，从而可求得m＝2；
（3）当a≥1时，将x1＝﹣2，x2＝1代入函数解析式求得y1，y2，然后根据|y1﹣y2|＝4，可求得a的值；当0≤a≤1时，将x1＝﹣2，x2＝a代入函数的解析式得到y1、y2，然后根据|y1﹣y2|＝4，可求得a的值．
【解答】解（1）函数y＝x2（﹣3≤x≤1）在x＝0取最小值ymin＝0，在x＝﹣3取最大值ymax＝9．
∵H＝9﹣0＝9．
∴界高为9；
（2）将y＝4代入抛物线的解析式得：x2＝4，
解得：x1＝﹣2，x2＝2，
∴m＝2．
∴m的取值范围是0≤m≤2．
（3）当a≥1时，将x1＝﹣2，x2＝1代入函数解析式求得y1＝4+7a，y2＝1+a，
∵|y1﹣y2|＝
∴3+6a＝．
解得：a＝．
又∵a≥1．
故此种情况不成立；
当0≤a≤1时，将x1＝﹣2，x2＝a代入函数解析式得：y1＝4+7a，y2＝3a﹣a2，
∵y1﹣y2＝，
∴a2+4a﹣＝0，
解得：a1＝，a2＝﹣（舍去）
故a＝．
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