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2021-2022学年浙江省绍兴市越城区五校联考九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省绍兴市越城区五校联考九年级（上）期中数学试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省绍兴市越城区五校联考九年级（上）期中数学试卷
一、单选题（共30分）
1．（3分）下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
C．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
3．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（ ）
A．54° B．56° C．64° D．66°
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．（3分）如图，正方形三个顶点的坐标依次为（3，1），（1，1），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．≤a≤3 B．≤a≤1 C．≤a≤3 D．≤a≤1
8．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（共24分）
11．（4分）把抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再将它向下平移3个单位，得到抛物线为 ．
12．（4分）已知A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）是抛物线上y＝﹣（x﹣3）2+k的两点，则y1，y2的大小关系为 ．
13．（4分）一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
14．（4分）如图，在4×4正方形网格中，A、B在格点上，在网格的其它格点上任取一点C（不含A、B），能使△ABC为等腰三角形的概率是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AC上的任意一点，点M，N分别是△ABD和△BCD的重心，如果AC＝6，那么线段MN的长为 ．
16．（4分）如图，已知在半径为1的半⊙O中，CD为直径，A为半圆上一动点，连结OA，作OB平分∠AOC交圆于点B，连结BD，分别与AC，AO交于点N，M．若AM＝AN，则△AMD的面积为 ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）（1）计算．
（2）解方程：＝1．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标： ；
（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
19．（6分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次抽取的数字之和为3的倍数的概率（用列表或树状图来表示所有可能结果）．
20．（8分）如图，二次函数y2＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y1＝mx+n的图象经过B、D两点．
（1）求a、b的值及点D的坐标；
（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．
21．（8分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作DE∥AC，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
22．（10分）如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
23．（10分）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： ；
（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）若每件小商品的售价不超过31元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
24．（12分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，则∠CBE的度数为 ；
（2）如图2，当AB＝6，且AF•FD＝12时，求BC的长；并判断此时△BFE与△FDE是否相似，说明理由．
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．
2021-2022学年浙江省绍兴市越城区五校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共30分）
1．（3分）下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：A、y＝是二次函数，故A正确；
B、y＝不是二次函数，故B错误；
C、y＝不是二次函数，故C错误；
D、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故D错误；
故选：A．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
C．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
【分析】根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是，此选项错误，不符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票不一定会中奖，原命题说法是错误的，此选项不符合题意；
C．连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是，“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是，此选项错误，不符合题意；
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，
故选：B．
4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（ ）
A．54° B．56° C．64° D．66°
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝24°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠BCD＝24°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°．
故选：D．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC＝30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．
【解答】解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴∠APO＝90°，
在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，
∴OA＝2OP＝4，
则圆O的半径4．
故选：A．
7．（3分）如图，正方形三个顶点的坐标依次为（3，1），（1，1），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．≤a≤3 B．≤a≤1 C．≤a≤3 D．≤a≤1
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a＝，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
8．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
【分析】由S△BDE：S△CDE＝1：4，得到，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可得到结论．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴，
∴S△BDE：S△BAC＝（）2＝，
∴S△ADC＝S△BAC﹣（S△BDE+S△CDE）＝25﹣（1+4）＝20，
∴S△BDE：S△ADC＝1：20．
故选：C．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，分两种情况：
①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△DPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′＝，
∵DM＝8﹣x，
∴△DPP′的面积y＝PP′•DM＝×（8﹣x）＝﹣x2+6x（0＜x≤4）；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，12）；
②当BM≥4时，∵0＜x＜8，
∴4≤x≤8，
∴PP′＝（8﹣x），
∴△DPP′的面积y＝PP′•DM＝，
综上所述：y与x之间的函数图象大致为：
故选：D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】过P作PQ∥AB，与BC交于点Q，则三角形相似得＝，设P（t，﹣（t+1）（t﹣4）），从而得关于t的解析式，再根据二次函数的性质求得的最大值，从而求的最小值，从而得出结论．
【解答】解：过P作PQ∥AB，与BC交于点Q，如图，
∵二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，5），
设BC的解析式为：y＝mx+n（m≠0），
则，
解得：
∴BC：y＝﹣x+5，
设P（t，﹣（t+1）（t﹣4）），则Q（t2﹣3t，﹣（t+1）（t﹣4）），
∴PQ＝﹣t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴＝＝＝﹣t2+t，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣＝2时，有最大值为﹣×22+×2＝，
∴有最小值，
∴＝＝，
∴＝．
故选：A．
二、填空题（共24分）
11．（4分）把抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再将它向下平移3个单位，得到抛物线为 y＝﹣3（x+2）2﹣3 ．
【分析】平移前后a的值不变，确定平移后的抛物线的顶点坐标即可解决问题，
【解答】解：原来抛物线的顶点坐标（0，0），平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3．
故答案为y＝﹣3（x+2）2﹣3．
12．（4分）已知A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）是抛物线上y＝﹣（x﹣3）2+k的两点，则y1，y2的大小关系为 y1＜y2 ．
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+k，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向下，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1＜3，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
13．（4分）一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 4或5 ．
【分析】首先解方程，求出方程的两个根，再分别讨论斜边的情况，直角三角形外接圆直径等于斜边的长．
【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为：＝5，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4．
故答案为4或5．
14．（4分）如图，在4×4正方形网格中，A、B在格点上，在网格的其它格点上任取一点C（不含A、B），能使△ABC为等腰三角形的概率是 ．
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
【解答】解：如图，∵AB＝＝．
①若AB＝AC，则符合要求的有：C1，C2，C3，C4，C5，共5个点；
②若BA＝BC，则符合要求的有：C6，C7，C8共3个点；
若AC＝BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有8个．
∴能使△ABC为等腰三角形的概率是．
故答案为．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AC上的任意一点，点M，N分别是△ABD和△BCD的重心，如果AC＝6，那么线段MN的长为 2 ．
【分析】连接AM并延长，连接CN并延长交AM的延长线于点E，然后利用重心的性质得到MN：AC＝1：3，再求得MN的长度．
【解答】解：如图，连接AM并延长，连接CN并延长交AM的延长线于点E，
∵点M、N分别是△ABD和△BCD的重心，
∴ME：AE＝NE：CE＝1：3，
∵∠MEN＝∠AEC，
∴△MEN∽△AEC，
∴MN：AC＝ME：AE＝1：3，
∵AC＝6，
∴MN＝2，
故答案为：2．
16．（4分）如图，已知在半径为1的半⊙O中，CD为直径，A为半圆上一动点，连结OA，作OB平分∠AOC交圆于点B，连结BD，分别与AC，AO交于点N，M．若AM＝AN，则△AMD的面积为 ．
【分析】由垂径定理可得OB⊥AC，＝，则∠ADM＝∠BDC，易证△OMD∽△AND，则∠AOD＝90°，且DM：DN＝OD：AD＝1：．
【解答】解：如图，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠COB，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BDC，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN，
又∵∠AMN＝∠OMD，
∴∠ANM＝∠OMD，
∴△OMD∽△AND，
∴＝＝，∠MOD＝∠NAD，
∵CD是直径，
∴∠NAD＝90°，
∴∠MOD＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝45°，
∴AD＝OD＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADM＝×1×1×＝．
故答案为：．
三、解答题（共66分）
17．（6分）（1）计算．
（2）解方程：＝1．
【分析】（1）分别对立方、绝对值、立方根、二次根式进行运算即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，即可求解．
【解答】解：（1）
＝﹣1++3﹣2
＝；
（2）＝1，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+x+2＝（x+2）（x﹣2），
去括号，得x2﹣2x+x+2＝x2﹣4，
移项，合并同类项得，﹣x＝﹣6，
解得x＝6，
经检验，x＝6是方程的根，
∴原方程的解是x＝6．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标： （4，﹣1） ；
（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；
（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；
（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），
故答案为：（4，﹣1）；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
19．（6分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次抽取的数字之和为3的倍数的概率（用列表或树状图来表示所有可能结果）．
【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出两次抽取的数字之和为3的倍数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：列表如下：
第一次
第二次
1
2
3
4
5
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
由表知共有25种等可能的情况数，其中两次抽取的数字之和为3的倍数的有9种，
则两次抽取的数字之和为3的倍数的概率是．
20．（8分）如图，二次函数y2＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y1＝mx+n的图象经过B、D两点．
（1）求a、b的值及点D的坐标；
（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．
【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则设交点式y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，所以b＝﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再求出C点坐标为（0，3），然后根据对称的性质确定D点坐标为（﹣2，3）；
（2）观察函数图象得到当﹣2＜x＜1时，抛物线都在直线y＝mx+n的上方，即y2＞y1．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
所以b＝﹣2，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝0时，y2＝ax2+bx+3＝0，则C点坐标为（0，3），
由于C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D点坐标为（﹣2，3）；
（2）当﹣2＜x＜1时，y2＞y1．
21．（8分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作DE∥AC，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
【分析】（1）由CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，DE∥AC，CE⊥CD，可得CD＝AD，即∠ACD＝∠CAD，进而可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AB的长，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解．
【解答】（1）证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
又∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠ACD，且CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
即∠ACD＝∠CAD，
∴∠CDE＝∠DAC，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
即CD＝5，
∴AB：DE＝AC：CD，
即10：DE＝8：5，
∴DE＝．
22．（10分）如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB＝DC；
（2）设⊙O的半径为r，则AB＝2r，CE＝2r﹣2，根据勾股定理得到（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，解方程即可得解．
【解答】解：（1）DE＝DC，理由如下：
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，
∴＝，
∴DE＝BD，
∴DE＝DC；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝2，
设⊙O的半径为r，
则AB＝2r，CE＝2r﹣2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
在Rt△CBE中，BE2＝BC2﹣CE2，
∴AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，
∵BD＝2，BC＝2BD，
∴BC＝4，
∴（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣3（舍去），
∴2r＝8，
即⊙O的直径为8．
23．（10分）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： y＝﹣10x2+640x﹣8800 ；
（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）若每件小商品的售价不超过31元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
【分析】（1）根据销售问题的数量关系单件利润乘以销售量等于月利润即可求解；
（2）根据（1）中求得的函数解析式，代入1400，利用一元二次方程即可求解；
（3）根据销售单价不超过31元确定自变量的取值进而求得最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝（x﹣20）[200﹣10（x﹣24）]
＝﹣10x2+640x﹣8800．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+640x﹣8800；
故答案为：y＝﹣10x2+640x﹣8800；
（2）当y＝1400时，1400＝﹣10x2+640x﹣8800．
解得x1＝34，x2＝30．
答：该商品的销售单价应定为每件34元或30元．
（3）y＝﹣10x2+640x﹣8800；
＝﹣10（x﹣32）2+1440，
因为商品的销售单价不超过31元，
∴当x＝31时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1430；
答：该商场每天销售此商品的最大利润为1430元．
24．（12分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，则∠CBE的度数为 15° ；
（2）如图2，当AB＝6，且AF•FD＝12时，求BC的长；并判断此时△BFE与△FDE是否相似，说明理由．
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．
【分析】（1）由折叠的性质得出BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB＝30°，可求出答案；
（2）根据相似三角形的判定解答即可；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，，设AN＝x，设FG＝y，则AF＝2y，由勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解出y＝x，则可求出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE＝∠FBC＝15°；
故答案为：15°．
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF•DF＝AB•DE，
∵AF•DF＝12，AB＝6，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝6﹣2＝4，
∴EF＝4，
∴DF＝，
∴AF＝，
∴BC＝AD＝AF+DF＝；
∴BF＝4，
∴，
又∵∠BFE＝∠D＝90°，
∴△BFE∽△FDE．
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD，
∴NF＝AD＝BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y＝x，
∴BF＝BG+GF＝，
∴
2021-2022学年浙江省绍兴市越城区五校联考九年级（上）期中数学试卷
一、单选题（共30分）
1．（3分）下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
C．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
3．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（ ）
A．54° B．56° C．64° D．66°
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．（3分）如图，正方形三个顶点的坐标依次为（3，1），（1，1），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．≤a≤3 B．≤a≤1 C．≤a≤3 D．≤a≤1
8．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（共24分）
11．（4分）把抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再将它向下平移3个单位，得到抛物线为 ．
12．（4分）已知A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）是抛物线上y＝﹣（x﹣3）2+k的两点，则y1，y2的大小关系为 ．
13．（4分）一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
14．（4分）如图，在4×4正方形网格中，A、B在格点上，在网格的其它格点上任取一点C（不含A、B），能使△ABC为等腰三角形的概率是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AC上的任意一点，点M，N分别是△ABD和△BCD的重心，如果AC＝6，那么线段MN的长为 ．
16．（4分）如图，已知在半径为1的半⊙O中，CD为直径，A为半圆上一动点，连结OA，作OB平分∠AOC交圆于点B，连结BD，分别与AC，AO交于点N，M．若AM＝AN，则△AMD的面积为 ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）（1）计算．
（2）解方程：＝1．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标： ；
（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
19．（6分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次抽取的数字之和为3的倍数的概率（用列表或树状图来表示所有可能结果）．
20．（8分）如图，二次函数y2＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y1＝mx+n的图象经过B、D两点．
（1）求a、b的值及点D的坐标；
（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．
21．（8分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作DE∥AC，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
22．（10分）如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
23．（10分）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： ；
（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）若每件小商品的售价不超过31元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
24．（12分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，则∠CBE的度数为 ；
（2）如图2，当AB＝6，且AF•FD＝12时，求BC的长；并判断此时△BFE与△FDE是否相似，说明理由．
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．
2021-2022学年浙江省绍兴市越城区五校联考九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共30分）
1．（3分）下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：A、y＝是二次函数，故A正确；
B、y＝不是二次函数，故B错误；
C、y＝不是二次函数，故C错误；
D、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故D错误；
故选：A．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖
C．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
【分析】根据概率的意义以及随机事件和必然事件的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是，此选项错误，不符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票不一定会中奖，原命题说法是错误的，此选项不符合题意；
C．连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是，“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是，此选项错误，不符合题意；
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，
故选：B．
4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2﹣4
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝24°，则∠ABD＝（ ）
A．54° B．56° C．64° D．66°
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝24°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠BCD＝24°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣24°＝66°．
故选：D．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则⊙O的半径为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC＝30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．
【解答】解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴∠APO＝90°，
在Rt△AOP中，OP＝2，∠OAC＝30°，
∴OA＝2OP＝4，
则圆O的半径4．
故选：A．
7．（3分）如图，正方形三个顶点的坐标依次为（3，1），（1，1），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A．≤a≤3 B．≤a≤1 C．≤a≤3 D．≤a≤1
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a＝，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
8．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ADC的值为（ ）
A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24
【分析】由S△BDE：S△CDE＝1：4，得到，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可得到结论．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△ABC，
∴，
∴S△BDE：S△BAC＝（）2＝，
∴S△ADC＝S△BAC﹣（S△BDE+S△CDE）＝25﹣（1+4）＝20，
∴S△BDE：S△ADC＝1：20．
故选：C．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止．点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，分两种情况：
①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△DPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′＝，
∵DM＝8﹣x，
∴△DPP′的面积y＝PP′•DM＝×（8﹣x）＝﹣x2+6x（0＜x≤4）；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，12）；
②当BM≥4时，∵0＜x＜8，
∴4≤x≤8，
∴PP′＝（8﹣x），
∴△DPP′的面积y＝PP′•DM＝，
综上所述：y与x之间的函数图象大致为：
故选：D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】过P作PQ∥AB，与BC交于点Q，则三角形相似得＝，设P（t，﹣（t+1）（t﹣4）），从而得关于t的解析式，再根据二次函数的性质求得的最大值，从而求的最小值，从而得出结论．
【解答】解：过P作PQ∥AB，与BC交于点Q，如图，
∵二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，5），
设BC的解析式为：y＝mx+n（m≠0），
则，
解得：
∴BC：y＝﹣x+5，
设P（t，﹣（t+1）（t﹣4）），则Q（t2﹣3t，﹣（t+1）（t﹣4）），
∴PQ＝﹣t2+4t，
∵PQ∥AB，
∴△PQK∽△ABK，
∴＝＝＝﹣t2+t，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣＝2时，有最大值为﹣×22+×2＝，
∴有最小值，
∴＝＝，
∴＝．
故选：A．
二、填空题（共24分）
11．（4分）把抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再将它向下平移3个单位，得到抛物线为 y＝﹣3（x+2）2﹣3 ．
【分析】平移前后a的值不变，确定平移后的抛物线的顶点坐标即可解决问题，
【解答】解：原来抛物线的顶点坐标（0，0），平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3．
故答案为y＝﹣3（x+2）2﹣3．
12．（4分）已知A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）是抛物线上y＝﹣（x﹣3）2+k的两点，则y1，y2的大小关系为 y1＜y2 ．
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+k，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向下，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1＜3，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
13．（4分）一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 4或5 ．
【分析】首先解方程，求出方程的两个根，再分别讨论斜边的情况，直角三角形外接圆直径等于斜边的长．
【解答】解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为：＝5，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4．
故答案为4或5．
14．（4分）如图，在4×4正方形网格中，A、B在格点上，在网格的其它格点上任取一点C（不含A、B），能使△ABC为等腰三角形的概率是 ．
【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
【解答】解：如图，∵AB＝＝．
①若AB＝AC，则符合要求的有：C1，C2，C3，C4，C5，共5个点；
②若BA＝BC，则符合要求的有：C6，C7，C8共3个点；
若AC＝BC，则不存在这样格点．
∴这样的C点有8个．
∴能使△ABC为等腰三角形的概率是．
故答案为．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D是边AC上的任意一点，点M，N分别是△ABD和△BCD的重心，如果AC＝6，那么线段MN的长为 2 ．
【分析】连接AM并延长，连接CN并延长交AM的延长线于点E，然后利用重心的性质得到MN：AC＝1：3，再求得MN的长度．
【解答】解：如图，连接AM并延长，连接CN并延长交AM的延长线于点E，
∵点M、N分别是△ABD和△BCD的重心，
∴ME：AE＝NE：CE＝1：3，
∵∠MEN＝∠AEC，
∴△MEN∽△AEC，
∴MN：AC＝ME：AE＝1：3，
∵AC＝6，
∴MN＝2，
故答案为：2．
16．（4分）如图，已知在半径为1的半⊙O中，CD为直径，A为半圆上一动点，连结OA，作OB平分∠AOC交圆于点B，连结BD，分别与AC，AO交于点N，M．若AM＝AN，则△AMD的面积为 ．
【分析】由垂径定理可得OB⊥AC，＝，则∠ADM＝∠BDC，易证△OMD∽△AND，则∠AOD＝90°，且DM：DN＝OD：AD＝1：．
【解答】解：如图，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠COB，
∴＝，
∴∠ADB＝∠BDC，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN，
又∵∠AMN＝∠OMD，
∴∠ANM＝∠OMD，
∴△OMD∽△AND，
∴＝＝，∠MOD＝∠NAD，
∵CD是直径，
∴∠NAD＝90°，
∴∠MOD＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝45°，
∴AD＝OD＝，
∴＝＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴S△ADM＝×1×1×＝．
故答案为：．
三、解答题（共66分）
17．（6分）（1）计算．
（2）解方程：＝1．
【分析】（1）分别对立方、绝对值、立方根、二次根式进行运算即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，即可求解．
【解答】解：（1）
＝﹣1++3﹣2
＝；
（2）＝1，
方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+x+2＝（x+2）（x﹣2），
去括号，得x2﹣2x+x+2＝x2﹣4，
移项，合并同类项得，﹣x＝﹣6，
解得x＝6，
经检验，x＝6是方程的根，
∴原方程的解是x＝6．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣4，1），C（﹣2，2）．
（1）直接写出点B关于原点对称的点B′的坐标： （4，﹣1） ；
（2）平移△ABC，使平移后点A的对应点A1的坐标为（2，1），请画出平移后的△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）根据关于原点对称的两点的横纵坐标均与原来点的横纵坐标互为相反数，据此可得答案；
（2）将三个点分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，继而首尾顺次连接即可；
（3）将三个点分别绕原点O逆时针旋转90°后得到对应点，再首尾顺次连接即可．
【解答】解：（1）点B关于原点对称的点B′的坐标为（4，﹣1），
故答案为：（4，﹣1）；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
19．（6分）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，求两次抽取的数字之和为3的倍数的概率（用列表或树状图来表示所有可能结果）．
【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出两次抽取的数字之和为3的倍数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：列表如下：
第一次
第二次
1
2
3
4
5
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
由表知共有25种等可能的情况数，其中两次抽取的数字之和为3的倍数的有9种，
则两次抽取的数字之和为3的倍数的概率是．
20．（8分）如图，二次函数y2＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C，C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数y1＝mx+n的图象经过B、D两点．
（1）求a、b的值及点D的坐标；
（2）根据图象写出y2＞y1时，x的取值范围．
【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则设交点式y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，所以b＝﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再求出C点坐标为（0，3），然后根据对称的性质确定D点坐标为（﹣2，3）；
（2）观察函数图象得到当﹣2＜x＜1时，抛物线都在直线y＝mx+n的上方，即y2＞y1．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，
则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
所以b＝﹣2，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝0时，y2＝ax2+bx+3＝0，则C点坐标为（0，3），
由于C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D点坐标为（﹣2，3）；
（2）当﹣2＜x＜1时，y2＞y1．
21．（8分）如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作DE∥AC，过点C作CE⊥CD，两线相交于点E．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
【分析】（1）由CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，DE∥AC，CE⊥CD，可得CD＝AD，即∠ACD＝∠CAD，进而可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AB的长，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解．
【解答】（1）证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
又∵DE∥AC，
∴∠CDE＝∠ACD，且CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
即∠ACD＝∠CAD，
∴∠CDE＝∠DAC，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
即CD＝5，
∴AB：DE＝AC：CD，
即10：DE＝8：5，
∴DE＝．
22．（10分）如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB＝DC；
（2）设⊙O的半径为r，则AB＝2r，CE＝2r﹣2，根据勾股定理得到（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，解方程即可得解．
【解答】解：（1）DE＝DC，理由如下：
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，
∴＝，
∴DE＝BD，
∴DE＝DC；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝2，
设⊙O的半径为r，
则AB＝2r，CE＝2r﹣2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
在Rt△CBE中，BE2＝BC2﹣CE2，
∴AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，
∵BD＝2，BC＝2BD，
∴BC＝4，
∴（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣3（舍去），
∴2r＝8，
即⊙O的直径为8．
23．（10分）国庆期间，某商场销售一种商品，进货价为20元/件，当售价为24元/件时，每天的销售量为200件，在销售的过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（x≥24），每天销售利润为y（元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式为： y＝﹣10x2+640x﹣8800 ；
（2）若要使每天销售利润为1400元，求此时的销售单价；
（3）若每件小商品的售价不超过31元，求该商场每天销售此商品的最大利润．
【分析】（1）根据销售问题的数量关系单件利润乘以销售量等于月利润即可求解；
（2）根据（1）中求得的函数解析式，代入1400，利用一元二次方程即可求解；
（3）根据销售单价不超过31元确定自变量的取值进而求得最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得
y＝（x﹣20）[200﹣10（x﹣24）]
＝﹣10x2+640x﹣8800．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣10x2+640x﹣8800；
故答案为：y＝﹣10x2+640x﹣8800；
（2）当y＝1400时，1400＝﹣10x2+640x﹣8800．
解得x1＝34，x2＝30．
答：该商品的销售单价应定为每件34元或30元．
（3）y＝﹣10x2+640x﹣8800；
＝﹣10（x﹣32）2+1440，
因为商品的销售单价不超过31元，
∴当x＝31时，该商场每天销售此商品的利润为最大，最大值为1430；
答：该商场每天销售此商品的最大利润为1430元．
24．（12分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，则∠CBE的度数为 15° ；
（2）如图2，当AB＝6，且AF•FD＝12时，求BC的长；并判断此时△BFE与△FDE是否相似，说明理由．
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．
【分析】（1）由折叠的性质得出BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB＝30°，可求出答案；
（2）根据相似三角形的判定解答即可；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，，设AN＝x，设FG＝y，则AF＝2y，由勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解出y＝x，则可求出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE＝∠FBC＝15°；
故答案为：15°．
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF•DF＝AB•DE，
∵AF•DF＝12，AB＝6，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝6﹣2＝4，
∴EF＝4，
∴DF＝，
∴AF＝，
∴BC＝AD＝AF+DF＝；
∴BF＝4，
∴，
又∵∠BFE＝∠D＝90°，
∴△BFE∽△FDE．
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD，
∴NF＝AD＝BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y＝x，
∴BF＝BG+GF＝，
∴
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