2021-2022学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣x（x+1）＝0 B．x2﹣x﹣2＝0
C．ax2+3x+1＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
2．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．2
3．（4分）下列各组线段中，成比例的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
4．（4分）数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签的办法确定一个小组进行展示活动，则第2小组被抽到的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（　　）
A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x+1＝0 C．2x2+2x+1＝0 D．2x2+2x﹣1＝0
6．（4分）袋中有白球3个，红球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数可能是（　　）
A．2个 B．不足3个
C．4个 D．4个或4个以上
7．（4分）根据表的对应值：
x
﹣1
1
1.1
1.2
x2+12x﹣m
﹣26
﹣2
﹣0.59
0.84
可以判断方程x2+12x﹣m＝0必有一个解x满足（　　）
A．﹣1＜x＜1 B．1＜x＜1.1
C．1.1＜x＜1.2 D．﹣0.59＜x＜0.84
8．（4分）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（　　）
A．x+（x+1）x＝36 B．（x+1）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．x+（x+1）2＝36
9．（4分）为了加强视力保护意识，小明班级准备在教室挂一张视力表，由于教室空间较大，他想根据测试距离为3m的小视力表制作一个测试距离为5m的大视力表，如图，如果小视力表中“E”的高度是2.4cm，那么大视力表中相应“E”的高度是（　　）

A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
10．（4分）如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，AM、AN分别与对角线BD交于点E、F，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF，一定成立的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）若＝，则＝　 　．
12．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，AE＝1，则EC＝　 　．

13．（4分）某科研小组为了考查A区域河流中野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河中，经过一段充足的时间后，再从中捕捞出300条，发现有标记的鱼有15条，则估计A区域河流中野生鱼有 　 　条．
14．（4分）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于 　 　．

15．（4分）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1+x2＝　 　．
16．（4分）如图，点E为矩形ABCD的边CD上一点，BE交AC于点F，若DE＝3，CE＝5，∠2＝2∠1，则线段BE的长为 　 　．

三、解答题：本题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：x（5x+3）＝5x+3．
18．（8分）如图（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出ΔOB1C1；
（2）点B的对应点B1的坐标是 　 　，点C的对应点C1的坐标是 　 　．

19．（8分）小丽同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼AB的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离AE＝24米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离CE＝3米，若小丽的眼睛距离地面高度CD＝1.6米，请你帮小丽利用这些数据求出教学楼的高度AB是多少米？

20．（8分）2021年第十四届全国运动会在陕西省西安市举行，吉祥物“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”深受大家的喜欢，现将四张正面分别印有以上4个吉样物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“金金”的概率是 　 　；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
21．（8分）如图，已知∠PAB＝60°，AP＝AB＝2．
（1）尺规作图：作矩形ABCD，使线段AB是矩形的边，顶点C在射线AP上；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求（1）中矩形ABCD的面积．

22．（10分）某商店销售一种进价为80元的台灯，当销售价为120元/台时，平均每天可以卖出20件．为减少库存，扩大销售量，增加总利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每件台灯降价1元，则每天可多售出2件．
（1）求当每件台灯降价多少元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元；
（2）若店长希望销售这种台灯平均每天可盈利1300元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
23．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．

24．（12分）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，AD、BE相交于点F，则△ABF的面积为 　 　．

25．（14分）如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝　 　．



2021-2022学年福建省三明市永安市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣x（x+1）＝0 B．x2﹣x﹣2＝0
C．ax2+3x+1＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
【分析】一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．x2﹣x（x+1）＝0，整理后不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B．x2﹣x﹣2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．ax2+3x+1＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．x2﹣2y﹣1＝0是二元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
2．（4分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．2
【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，
又∵∠DAB＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
则对角线BD的长是2．
故选：C．
3．（4分）下列各组线段中，成比例的是（　　）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm
C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
【解答】解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；
B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；
C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；
D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例．
故选：D．
4．（4分）数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签的办法确定一个小组进行展示活动，则第2小组被抽到的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．
【解答】解：第2个小组被抽到的概率是，
故选：B．
5．（4分）x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（　　）
A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x+1＝0 C．2x2+2x+1＝0 D．2x2+2x﹣1＝0
【分析】根据求根公式得到b＝2，a＝2，c＝﹣1，即可得到结论．
【解答】解：∵x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴b＝2，a＝2，c＝﹣1，
故选：D．
6．（4分）袋中有白球3个，红球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机取出一个球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中红球的个数可能是（　　）
A．2个 B．不足3个
C．4个 D．4个或4个以上
【分析】根据取到白球的可能性较大可以判断出白球的数量大于红球的数量，从而得解．
【解答】解：∵袋中有白球3个，取到白球的可能性较大，
∴袋中的白球数量大于红球数量，
即袋中红球的个数可能不足3个．
故选：B．
7．（4分）根据表的对应值：
x
﹣1
1
1.1
1.2
x2+12x﹣m
﹣26
﹣2
﹣0.59
0.84
可以判断方程x2+12x﹣m＝0必有一个解x满足（　　）
A．﹣1＜x＜1 B．1＜x＜1.1
C．1.1＜x＜1.2 D．﹣0.59＜x＜0.84
【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣m＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣m＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣m＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2．
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣m＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣m＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣m＝0，
即方程x2+12x﹣m＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：C．
8．（4分）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x名同学，则可列方程为（　　）
A．x+（x+1）x＝36 B．（x+1）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．x+（x+1）2＝36
【分析】设平均每节课一人教会x人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．
【解答】解：设平均每节课一人教会x人，根据题意可得：
1+x+x（1+x）＝36，
即：（x+1）2＝36，
故选：B．
9．（4分）为了加强视力保护意识，小明班级准备在教室挂一张视力表，由于教室空间较大，他想根据测试距离为3m的小视力表制作一个测试距离为5m的大视力表，如图，如果小视力表中“E”的高度是2.4cm，那么大视力表中相应“E”的高度是（　　）

A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．
【解答】解：由题意得：CD∥AB，
∴，
∵CD＝2.4cm，BE＝5m，DE＝3m，
∴，
∴CD＝4cm，
故选：C．

10．（4分）如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持∠MAN＝45°，AM、AN分别与对角线BD交于点E、F，连接EN、FM相交于点O，以下结论：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF•DE；④OM＝OF，一定成立的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】由旋转的性质可得AM'＝AM，BM＝DM'，∠BAM＝∠DAM'，∠MAM'＝90°，∠ABM＝∠ADM'＝90°，由“SAS”可证△AMN≌△AM′N，可得MN＝NM′，可得MN＝BM+DN，故①正确；由“SAS”可证△AEF≌△AED'，可得EF＝D'E，由勾股定理可得BE2+DF2＝EF2；故②正确；通过证明△DAE∽△BFA，可得，可证BC2＝DE•DF，故③正确；通过证明点A，点B，点M，点F四点共圆，∠ABM＝∠AFM＝90°，∠AMF＝∠ABF＝45°，∠BAM＝∠BFM，可证MO＝EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④错误，即可求解．
【解答】解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADM′，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，

∴AM'＝AM，BM＝DM'，∠BAM＝∠DAM'，∠MAM'＝90°，∠ABM＝∠ADM'＝90°，
∴∠ADM'+∠ADC＝180°，
∴点M'在直线CD上，
∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠MAB＝45°＝∠DAN+∠DAM'＝∠M'AN，
∴∠M′AN＝∠MAN＝45°，
又∵AN＝AN，AM＝AM'，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN＝NM′，
∴M′N＝M′D+DN＝BM+DN，
∴MN＝BM+DN；故①正确；
∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABD'，
∴AF＝AD'，DF＝D'B，∠ADF＝∠ABD'＝45°，∠DAF＝∠BAD'，
∴∠D'BE＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°＝∠BAD'+∠BAE＝∠D'AE，
∴∠D'AE＝∠EAF＝45°，
又∵AE＝AE，AF＝AD'，
∴△AEF≌△AED'（SAS），
∴EF＝D'E，
∵D'E2＝BE2+D'B2，
∴BE2+DF2＝EF2；故②正确；
∵∠BAF＝∠BAE+∠EAF＝∠BAE+45°，∠AEF＝∠BAE+∠ABE＝45°+∠BAE，
∴∠BAF＝∠AEF，
又∵∠ABF＝∠ADE＝45°，
∴△DAE∽△BFA，
∴，
又∵AB＝AD＝BC，
∴BC2＝DE•DF，故③正确；
∵∠FBM＝∠FAM＝45°，
∴点A，点B，点M，点F四点共圆，
∴∠ABM＝∠AFM＝90°，∠AMF＝∠ABF＝45°，∠BAM＝∠BFM，
同理可求∠AEN＝90°，∠DAN＝∠DEN，
∴∠EOM＝45°＝∠EMO，
∴EO＝EM，
∴MO＝EO，
∵∠BAM≠∠DAN，
∴∠BFM≠∠DEN，
∴EO≠FO，
∴OM≠FO，故④错误，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）若＝，则＝　　．
【分析】根据＝可设a＝2k，b＝3k，再将a，b代入计算可求解．
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，
∴＝，
故答案为．
12．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，AE＝1，则EC＝　2　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，即＝，
解得，AC＝3，
∴EC＝AC﹣AE＝2，
故答案为：2．
13．（4分）某科研小组为了考查A区域河流中野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河中，经过一段充足的时间后，再从中捕捞出300条，发现有标记的鱼有15条，则估计A区域河流中野生鱼有 　4000　条．
【分析】捕捞300条鱼，发现其中15条有标记，即在样本中，有标记的占到，而在总体中，有标记的共有200条，即可得出答案．
【解答】解：∵300条鱼中发现有标记的鱼有15条，
∴有标记的占到，
∵有200条鱼有标记，
∴估计A区域河流中野生鱼有200＝4000（条）；
故答案为：4000．
14．（4分）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于 　5　．

【分析】先求出OB的长，由矩形的性质可得AC＝BO＝5．
【解答】解：如图，连接OB，

∵点B的坐标为（4，3），
∴OB＝＝5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AC＝BD＝5，
故答案为：5．
15．（4分）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x12﹣x1+x2＝　3　．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x12＝2x1+1，则原式可变形为x1+x2+1，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴x12﹣2x1﹣1＝0，
∴x12＝2x1+1，
∴x12﹣x1+x2＝2x1+1﹣x1+x2＝x1+x2+1，
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2，
∴x12﹣x1+x2＝2+1＝3．
故答案为3．
16．（4分）如图，点E为矩形ABCD的边CD上一点，BE交AC于点F，若DE＝3，CE＝5，∠2＝2∠1，则线段BE的长为 　　．

【分析】作BE的垂直平分线MN，交CD于N点，得到∠BNC＝∠2，再根据∠BCN＝∠D得到△BCN∽△CDA，设CN＝y，BC＝x，则BN＝EN＝5﹣y，得到x2＝8y①，再根据Rt△BCN中得到（5﹣y）2＝x2+y2②，联立①②求出x，y．再利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，作BE的垂直平分线MN，交CD于N，交BE于M，连接BN，

∴EN＝BN，
∴∠1＝∠NBE，
∴∠BNC＝∠1+∠NBE＝2∠1＝∠2，
又∵∠D＝∠BCN，
∴△BCN∽△CDA，
∴＝，
设CN＝y，BC＝x，则BN＝EN＝5﹣y，
∵AD＝BC＝x，CD＝DE+CE＝8，
∴，即x2＝8y①，
在Rt△BCN中，BN2＝BC2+CN2，
∴（5﹣y）2＝x2+y2②，
联立①②得：（5﹣y）2＝8y+y2，
解得：y＝，
把y＝代入①得：x＝或﹣（舍去），
∴BC＝，
∴BE＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：x（5x+3）＝5x+3．
【分析】先移项，再把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：移项，得x（5x+3）﹣（5x+3）＝0，
（5x+3）（x﹣1）＝0，
5x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1．
18．（8分）如图（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出ΔOB1C1；
（2）点B的对应点B1的坐标是 　（﹣6，2）　，点C的对应点C1的坐标是 　（﹣4，﹣2）　．

【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可；
（2）根据B1，C1的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△OB1C1即为所求；
（2）观察图象可知，B1（﹣6，2），C1（﹣4，﹣2）．

故答案为：（﹣6，2），（﹣4，﹣2）．
19．（8分）小丽同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼AB的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离AE＝24米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离CE＝3米，若小丽的眼睛距离地面高度CD＝1.6米，请你帮小丽利用这些数据求出教学楼的高度AB是多少米？

【分析】小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度；如图，在水平面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝12米，当她与镜子的距离CE＝2米时，她刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B．已知她的眼睛距地面的高度DC＝1.5米．请你帮助小玲计算出教学楼的高度AB是多少米（根据光的反射定律：反射角等于入射角）
【解答】解：∵由题意得，∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴，即，
∴AB＝12.8（米）．
答：教学大楼的高度AB是12.8米．
20．（8分）2021年第十四届全国运动会在陕西省西安市举行，吉祥物“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”深受大家的喜欢，现将四张正面分别印有以上4个吉样物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“金金”的概率是 　　；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“金金”的概率是，
故答案为：；
（2）把“朱朱”、“熊熊”、“羚羚”、“金金”4个吉样物图案的卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有4种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为＝．
21．（8分）如图，已知∠PAB＝60°，AP＝AB＝2．
（1）尺规作图：作矩形ABCD，使线段AB是矩形的边，顶点C在射线AP上；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求（1）中矩形ABCD的面积．

【分析】（1）在射线AP上截取PC＝AP，连接BP并延长，在BP的延长线上截取PD＝PB，先证明△ABP为等边三角形，则PA＝PB＝PC＝PD，所以四边形ABCD满足条件；
（2）利用含30度的直角三角形三边的关系求出BC，然后计算矩形的面积．
【解答】解：（1）如图，矩形ABCD为所作；

（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠CAB＝60°，
∴BC＝AB＝2，
∴矩形ABCD的面积为2．
22．（10分）某商店销售一种进价为80元的台灯，当销售价为120元/台时，平均每天可以卖出20件．为减少库存，扩大销售量，增加总利润，决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每件台灯降价1元，则每天可多售出2件．
（1）求当每件台灯降价多少元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元；
（2）若店长希望销售这种台灯平均每天可盈利1300元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
【分析】（1）设每件台灯降价x元，则每件的销售利润为（120﹣x﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，利用每天销售这种台灯获得的总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）店长的愿望不能实现，设每件台灯降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，利用每天销售这种台灯获得的总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出该方程无实数根，进而可得出店长的愿望不能实现．
【解答】解：（1）设每件台灯降价x元，则每件的销售利润为（120﹣x﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
答：当每件台灯降价10元或20元时，销售这种台灯平均每天可盈利1200元．
（2）店长的愿望不能实现，理由如下：
设每件台灯降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1300，
整理得：y2﹣30y+250＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数根，
即店长的愿望不能实现．
23．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．

【分析】（1）先证四边形ABEF是平行四边形，再证∠AFE＝90°，即可得出结论；
（2）证平行四边形ABCD是菱形，得AD＝CD＝AB＝5，再由勾股定理求出AF＝4，然后由矩形的性质和勾股定理求出BD＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DF，
∴CE+CF＝DF+CF，
即EF＝CD，
∴AB＝EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AF⊥CD，
∴∠AFE＝90°，
∴平行四边形ABEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴OB＝OD，平行四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝5，
∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴AF＝＝＝4，
由（1）得：四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF＝90°，BE＝AF＝4，
∵CE＝DF＝3，
∴DE＝CD+CE＝8，
∴BD＝＝＝4，
又∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝2．
24．（12分）如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，AD、BE相交于点F，则△ABF的面积为 　　．

【分析】（1）根据相似三角形的判定即可证明结论；
（2）根据垂直平分线的性质可得AB＝AC，由（1）△ACD∽△BCE，可得＝，再根据勾股定理即可求出AB的长；
（3）证明△BDF∽△BEC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得＝（）2＝（）2＝，再根据三角形的面积即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
在Rt△BEC中，
∵CE＝6，BE＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴CD＝BC＝5，
∵△ACD∽△BCE，
∴＝，
∴AD＝＝，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝AC＝；
（3）解：∵∠BDF＝∠BEC＝90°，
∵∠DBF＝∠EBC，
∴△BDF∽△BEC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△BEC＝BE•CE＝8×6＝24，
∴S△BDF＝×24＝，
∵点D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝×BC•AD＝×10×＝，
∴S△ABF＝S△ABD﹣S△BDF＝﹣＝．
故答案为：．
25．（14分）如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝　　．


【分析】（1）由正方形的性质及BE⊥CF可得AB＝BC，∠A＝∠FBC，∠ABE＝∠BCF，则△ABE≌△BCF，即可证明BE＝CF；
（2）①作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，可证明△ONC∽△OME，则，再证明，即可求出的值；
②连接CE、CG，通过证明△BPG∽△OPC、△OPB∽△CPG，推得∠ECG＝90°，再证明△CBG∽△CDE，即可根据相似三角形的对应边成比例求出DE的长．
【解答】（1）证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FBC＝90°，
∵BE⊥CF于点O，
∴∠BOC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝∠BCF，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF．
（2）解：①如图②，作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，则∠OMD＝∠OND＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MDN＝∠A＝∠BCD＝90°，
∴四边形OMDN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵PE⊥CF于点O，
∴∠COE＝90°，
∴∠CON＝∠EOM＝90°﹣∠EON，
∵∠ONC＝∠OME＝90°，
∴△ONC∽△OME，
∴，
∵∠OND＝∠BCD，
∴ON∥BC，
∴△DON∽△DBC，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∵BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，
∴．
②如图3，连接CE、CG，
∵∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠PBG＝∠POC＝90°，
∵∠BPG＝∠OPC，
∴△BPG∽△OPC，
∴，
∴，
∵∠OPB＝∠CPG，
∴△OPB∽△CPG，
∴∠CBD＝∠OGC，
∵，，
∴，
∵∠COE＝∠BOD＝90°，
∴△COE∽△BOD，
∴∠CDB＝∠OEC，
∴∠OGC+∠OEC＝∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠ECG＝90°，
∴∠BCG＝∠DCE＝90°﹣∠BCE，
∵∠CBG＝∠CDE＝90°，
∴△CBG∽△CDE，
∴，
∴DE＝＝＝，
故答案为：．