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2021-2022学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．（3分）已知，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或 D．
3．（3分）下列命题正确的个数有（ ）
①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；
④黄金分割比的值为≈0.618．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（3分）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
5．（3分）下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（ ）
①AC⊥BD②∠BAD＝90° ③AB＝BC④AC＝BD．
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③
6．（3分）根据下列表格的对应值：
x
2.4
2.5
2.6
2.7
ax2+bx+c
5.6
5.7
5.8
5.9
判断方程ax2+bx+c＝5.78（a≠0，a，b，c为常数）的一个近似解是（ ）
A．2.41 B．2.57 C．2.63 D．2.67
7．（3分）初三（1）班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，则AF：CF的值为（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．12 C．9 D．6
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为 ．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共24个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
13．（3分）复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①△ABE≌△AHD；
②HE＝CE；
③H是BF的中点；
④AB＝HF；
其中正确命题的个数为 个．
15．（3分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣19＝0；
（2）（x+1）（2x﹣3）＝2．
17．（9分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交CD于点E，交AB于点F．
若DE＝3，CE＝5，请回答以下问题：
（1）矩形的对角线AC的长为 ．（直接写出结果）
（2）连接AE、CF，四边形AECF是什么特殊四边形？请说明理由，并求出该特殊四边形的面积．
18．（9分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．
（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）
（2）△A′B′C′的面积是： ．
20．（9分）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
21．（10分）新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗，今年七月，国家发布通知，12～17岁未成年人也可接种新冠疫苗、文中社区医院为定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．
（1）已知在文本社区医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种，其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则文丰社区医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支？
（2）随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物现有1条生产线最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
22．（10分）小明同学遇到一个问题：
如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD＝∠QAD，求证：S△APQ＝S矩形ABCD．小明想：可以证△ADQ和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得DQ＝DE，再证出△PCE和△EDA相似，根据相似三角形对应边成比例得到线段关系，进而可得S矩形BFEC＝S△PQE，易证S矩形AFED＝S△AQE，然后根据S△APQ＝S△AQE+S△PQE列式整理即可得证．下面展示的是这种方法的过程，请把内容补充完整．
证明：过点E作EF∥BC交AB于F．
由∠PAD＝∠QAD，
易证△ADQ≌△ADE．
∴DQ＝DE，
∴S矩形AFED＝S△ ．
由∠DAE＝∠EPC，
易证△ADE∽△PCE，
∴．
即 ．
∵S矩形BFEC＝CE•BC＝CE• ，
∴S△PQE＝QE•PC＝ •PC．
∵S△APQ＝S△AQE+S△PQE＝S矩形AFED+ ，
∴S△APQ＝S矩形ABCD．
23．（11分）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）①依题意补全图1；
②若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（2）若设∠PAB＝α，且0°＜α＜90°，求∠ADF的度数（直接写出结果，结果可用含α的代数式表示）
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．
2021-2022学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
【分析】由矩形和菱形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，对角相等，菱形的对角线互相垂直平分，对角相等，
∴矩形具有而菱形不一定具有的是对角线相等，
故选：A．
2．（3分）已知，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或 D．
【分析】分a+b+c＝0和当a+b+c≠0两种情况讨论，再根据比例的性质即可得出答案．
【解答】解：当a+b+c＝0时，
∵b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a＝b＝﹣c，
∴x＝＝＝＝﹣1，
当a+b+c≠0时，
x＝＝．
故选：C．
3．（3分）下列命题正确的个数有（ ）
①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；
④黄金分割比的值为≈0.618．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用完全平方式的定义、平行四边形的判定、中点四边形及黄金分割的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于±10，故错误；
②由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，正确；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形，错误；
④黄金分割比的值为≈0.618，故错误，
正确的只有1个，
故选：B．
4．（3分）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】能构成完全平方式的情况有+，+；﹣，+两种情况，共有的情况为+，+；﹣，﹣；+，﹣；﹣，+共四种情况，利用概率公式求解即可．
【解答】解：能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“﹣”，也可以是“+”，但y2前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，
所以概率是．
故选：D．
5．（3分）下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（ ）
①AC⊥BD②∠BAD＝90° ③AB＝BC④AC＝BD．
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定判断即可．
【解答】解：
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴①错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴②正确；
∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴③错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴④正确；
即正确的有②④．
故选：B．
6．（3分）根据下列表格的对应值：
x
2.4
2.5
2.6
2.7
ax2+bx+c
5.6
5.7
5.8
5.9
判断方程ax2+bx+c＝5.78（a≠0，a，b，c为常数）的一个近似解是（ ）
A．2.41 B．2.57 C．2.63 D．2.67
【分析】从表格中的数据可以看出，当x＝2.5时，ax2+bx+c＝5.7；当x＝2.6时，ax2+bx+c＝5.8，则方程ax2+bx+c＝5.8的一个根应在2.5﹣2.6之间．
【解答】解：∵当x＝2.5时，ax2+bx+c＝5.7；当x＝2.6时，ax2+bx+c＝5.8，
∴方程ax2+bx+c＝5.8的一个根应在2.5﹣2.6之间，
故选：B．
7．（3分）初三（1）班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】画树状图，共有8个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有8个等可能的结果，一次打开教室门的结果有2个，
∴一次打开教室门的概率为：＝，
故选：D．
8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，则AF：CF的值为（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
【分析】作DH∥BF交AC于H，易证FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵DH∥BF，
∴FH＝HC，
∵AE：AD＝1：4，
∴AE：ED＝1：3，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．12 C．9 D．6
【分析】连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．把阴影部分面积分为ADF面积与△ADH面积，根据中位线性质可得DM、DN与正方形边长的关系，最后在△ABC中利用勾股定理，得到AC2+BC2＝9．
【解答】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．
∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC，
∴DM＝AB＝，DN＝AC＝．
∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2，
∴△ADH面积＝×DN＝AH2，
在Rt△ABC中，
∵BC＝6
∴AB2+AC2＝BC2＝36，
∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
【分析】过点M作MF⊥ON于N，过点B作BE⊥x轴于E，由菱形的性质可得AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，由中点坐标公式可求点M坐标，由BN＝2ND，可求BN＝4，即可求解．
【解答】解：如图，过点M作MF⊥ON于N，过点B作BE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，
∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），
∴M（1，1），
∴OF＝1，MF＝1，
∴∠MON＝45°＝∠OMF，
∴∠FMN＝45°＝∠FNM，
∴MF＝FN＝1，
∴MN＝，
∵BN＝2ND，
∴BD＝3DN，BM＝DN，
∴MN＝＝，
∴DN＝2，
∴BN＝4，
∵BE⊥x轴，
∴∠EBN＝∠BNE＝45°，
∴BE＝EN，BN＝BE，
∴BE＝EN＝4，
∴EO＝2，
∴点B（﹣2，4），
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根为0，
∴﹣m2+1＝0且m﹣1≠0，
解得，m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共24个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 9 ．
【分析】设盒子中黄色乒乓球的个数为x，根据“摸到黄色乒乓球的概率为”得出关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：设盒子中黄色乒乓球的个数为x，
根据题意，得：＝，
解得x＝9，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是9，
故答案为：9．
13．（3分）复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为 ：1 ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴＝，则b2＝2a2，
∴＝，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为：1，
故答案为：：1．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①△ABE≌△AHD；
②HE＝CE；
③H是BF的中点；
④AB＝HF；
其中正确命题的个数为 3 个．
【分析】由四边形ABCD是矩形，∠BAD的平分线交BC于点E，得出AD＝BC，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠BAE＝∠DAE＝45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出∠BEH＝45°，AE＝AB，推出AE＝AD＝BC，由AAS证得△ABE≌△AHD，故①正确；
由△ABE≌△AHD，得出∠HDA＝45°，AB＝BE＝DH＝AH，则∠HDF＝45°，AE﹣AH＝BC﹣BE，推出∠BEH＝∠HDF，HE＝CE，故②正确；
由AB＝AH，得出∠ABH＝∠AHB＝∠FHE＝（180°﹣∠BAE）＝67.5°，则∠EBH＝∠ABE﹣∠ABH＝22.5°，∠DHF＝∠DHE﹣∠FHE＝22.5°，推出∠EBH＝∠DHF，由ASA证得△EBH≌△DHF，得出BH＝HF，即H是BF的中点，故③正确；
由AB＝AH，∠BAH＝45°，得出△ABH不是等边三角形，则AB≠BH，推出AB≠HF，故④错误．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AD＝BC，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BEH＝45°，AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD＝BC，
在△ABE和△AHD中，，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正确；
∵△ABE≌△AHD，
∴∠HDA＝45°，AB＝BE＝DH＝AH，
∴∠HDF＝45°，AE﹣AH＝BC﹣BE，
∴∠BEH＝∠HDF，HE＝CE，故②正确；
∵AB＝AH，
∴∠ABH＝∠AHB＝∠FHE＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EBH＝∠ABE﹣∠ABH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DHF＝∠DHE﹣∠FHE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠DHF，
在△EBH和△DHF中，，
∴△EBH≌△DHF（ASA），
∴BH＝HF，
∴H是BF的中点，故③正确；
∵AB＝AH，∠BAH＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴AB≠HF，
故④错误；
综上所述，正确的命题为①②③，
故答案为：3．
15．（3分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 4 ．
【分析】将△BDA绕点D顺时针旋转90°，得△ADM是等腰直角三角形，当AM最大时，AD值最大，在△ACM中，AM≤AC+CM，得AM最大值为8，即可求解．
【解答】解：将△BDA绕点D顺时针旋转90°，
CM＝AB＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝＝AM，
∴当AM最大时，AD值最大，
在△ACM中，AM≤AC+CM，
∴AM≤8，
∴AM最大值为8，
∴AD最大值为×8＝4，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣19＝0；
（2）（x+1）（2x﹣3）＝2．
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理成一般式，利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2+2x＝19，
x2+2x+1＝19+1，即（x+1）2＝20，
∴x+1＝±2，
∴x1＝﹣1+2，x2＝﹣1﹣2；
（4）（x+1）（2x﹣3）＝2，
整理得：2x2﹣x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（9分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交CD于点E，交AB于点F．
若DE＝3，CE＝5，请回答以下问题：
（1）矩形的对角线AC的长为 4 ．（直接写出结果）
（2）连接AE、CF，四边形AECF是什么特殊四边形？请说明理由，并求出该特殊四边形的面积．
【分析】（1）利用基本作图可判断MN垂直平分AC，则AE＝CE＝5，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC；
（2）先这么四边形AFCE是平行四边形，根据AC⊥EF，得四边形AECF是菱形，再利用菱形的面积公式即可求出四边形的面积．
【解答】解：（1）如图，由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝5，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝4．
故答案为4；
（2）四边形AECF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，CD∥AB，
∴∠ECA＝∠FAC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴AB＝AD，
∵AC⊥EF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
∴菱形AECF的面积＝EC•AD＝5×4＝20．
18．（9分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，
∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是＝；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，
则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是＝．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．
（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）
（2）△A′B′C′的面积是： 6 ．
【分析】（1）延长OA到A′，使OA′＝2OA，同法得到其余点的对应点，顺次连接即可；
（2）把所求三角形的面积分割为矩形的面积减去若干直角三角形的面积即可．
【解答】解：（1）
；
（2）△A′B′C′的面积＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6，故答案为6．
20．（9分）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 二、三 不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
【分析】根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，方案一中：利用△ABC∽△EDC，得AB＝1.5BC，再根据△ABF∽△GHF，可求出x的值．
【解答】解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，
选方案一，
∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∴AB＝，
设BC＝xm，
则AB＝1.5xm，
同理可得△ABF∽△GHF，
∴，
∵AB＝1.5xm，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m，
∴，
解得：x＝8，
∴AB＝1.5x＝12（m）．
故答案为：二，三；AB＝12m．
21．（10分）新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗，今年七月，国家发布通知，12～17岁未成年人也可接种新冠疫苗、文中社区医院为定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．
（1）已知在文本社区医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种，其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则文丰社区医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支？
（2）随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物现有1条生产线最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设文丰社区医院每天接种“智飞”疫苗x支，则每天接种“科兴”疫苗（x﹣100）支，根据在文本社区医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出文丰社区医院每天接种“智飞”疫苗的数量，再将其代入（x﹣100）中可求出每天接种“科兴”疫苗的数量；
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（42﹣2y）万支/天，根每天生产疫苗的数量＝每条生产线的最大产能×生产线的数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合既增加产能同时又要节省投入，即可得出应该增加3条生产线．
【解答】解：（1）设文丰社区医院每天接种“智飞”疫苗x支，则每天接种“科兴”疫苗（x﹣100）支，
依题意得：3x+2（x﹣100）＝1800，
解得：x＝400，
∴x﹣100＝400﹣100＝300．
答：文丰社区医院每天接种“智飞”疫苗400支，每天接种“科兴”疫苗300支．
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（42﹣2y）万支/天，
依题意得：（42﹣2y）（1+y）＝144，
整理得：y2﹣20y+51＝0，
解得：y1＝3，y2＝17．
又∵在既增加产能同时又要节省投入，
∴y＝3．
答：应该增加3条生产线．
22．（10分）小明同学遇到一个问题：
如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD＝∠QAD，求证：S△APQ＝S矩形ABCD．小明想：可以证△ADQ和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得DQ＝DE，再证出△PCE和△EDA相似，根据相似三角形对应边成比例得到线段关系，进而可得S矩形BFEC＝S△PQE，易证S矩形AFED＝S△AQE，然后根据S△APQ＝S△AQE+S△PQE列式整理即可得证．下面展示的是这种方法的过程，请把内容补充完整．
证明：过点E作EF∥BC交AB于F．
由∠PAD＝∠QAD，
易证△ADQ≌△ADE．
∴DQ＝DE，
∴S矩形AFED＝S△ AQE ．
由∠DAE＝∠EPC，
易证△ADE∽△PCE，
∴．
即 AD•CE＝PC•DE ．
∵S矩形BFEC＝CE•BC＝CE• AD ，
∴S△PQE＝QE•PC＝ DE •PC．
∵S△APQ＝S△AQE+S△PQE＝S矩形AFED+ S矩形BFEC ，
∴S△APQ＝S矩形ABCD．
【分析】证明DQ＝DE，推出S矩形AFED＝S△AQE．证△ADE∽△PCE，推出．即AD•CE＝PC•CE．因为S矩形BFEC＝CE•BC＝CE•AD，推出S△PQE＝QE•PC＝DE•PC．可得结论．
【解答】证明：过点E作EF∥BC交AB于F．
由∠PAD＝∠QAD，
易证△ADQ≌△ADE．
∴DQ＝DE，
∴S矩形AFED＝S△AQE．
由∠DAE＝∠EPC，
易证△ADE∽△PCE，
∴．
即AD•CE＝PC•CE．
∵S矩形BFEC＝CE•BC＝CE•AD，
∴S△PQE＝QE•PC＝DE•PC．
∵S△APQ＝S△AQE+S△PQE＝S矩形AFED+S矩形BFEC，
∴S△APQ＝S矩形ABCD．
故答案为：AQE，AD•EC＝PC•DE，AD，DE，S矩形BFEC．
23．（11分）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）①依题意补全图1；
②若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（2）若设∠PAB＝α，且0°＜α＜90°，求∠ADF的度数（直接写出结果，结果可用含α的代数式表示）
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据题意直接画出图形得出即可；
②利用对称的性质以及等角对等边的性质，进而得出答案；
（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；
（3）由轴对称的性质可得：，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）①如图1所示：
②如图2，
连接AE，由对称得，
∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAP＝∠BAP＝20°，
∴∠EAD＝130°，
∴∠ADF＝＝25°；
（2）当∠PAB＜45°时，如图2，
连接AE，由对称得
∠PAB＝∠PAE＝α，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAP＝∠BAP＝α，
∴∠EAD＝90°+2α，
∴∠ADF＝＝45°﹣α．
当45°＜∠PAB＜90°时，
如图，
由对称得
∠PAB＝∠PAE＝α，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAP＝∠BAP＝α，
∴∠EAD＝360°﹣（90°+2α）＝270°﹣2α，
∴∠ADF＝＝α﹣45°，
（3）如图3，
连接AE、BF、BD，
由对称可知，EF＝BF，AE＝AB＝AD，
∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
在Rt△BDF中，BF2+FD2＝BD2，
在Rt△ABC中，BD＝AB，
∴EF2+FD2＝2AB2．
2021-2022学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．（3分）已知，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或 D．
3．（3分）下列命题正确的个数有（ ）
①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；
④黄金分割比的值为≈0.618．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（3分）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
5．（3分）下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（ ）
①AC⊥BD②∠BAD＝90° ③AB＝BC④AC＝BD．
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③
6．（3分）根据下列表格的对应值：
x
2.4
2.5
2.6
2.7
ax2+bx+c
5.6
5.7
5.8
5.9
判断方程ax2+bx+c＝5.78（a≠0，a，b，c为常数）的一个近似解是（ ）
A．2.41 B．2.57 C．2.63 D．2.67
7．（3分）初三（1）班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，则AF：CF的值为（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．12 C．9 D．6
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为 ．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共24个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．
13．（3分）复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①△ABE≌△AHD；
②HE＝CE；
③H是BF的中点；
④AB＝HF；
其中正确命题的个数为 个．
15．（3分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣19＝0；
（2）（x+1）（2x﹣3）＝2．
17．（9分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交CD于点E，交AB于点F．
若DE＝3，CE＝5，请回答以下问题：
（1）矩形的对角线AC的长为 ．（直接写出结果）
（2）连接AE、CF，四边形AECF是什么特殊四边形？请说明理由，并求出该特殊四边形的面积．
18．（9分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．
（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）
（2）△A′B′C′的面积是： ．
20．（9分）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
21．（10分）新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗，今年七月，国家发布通知，12～17岁未成年人也可接种新冠疫苗、文中社区医院为定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．
（1）已知在文本社区医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种，其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则文丰社区医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支？
（2）随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物现有1条生产线最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
22．（10分）小明同学遇到一个问题：
如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD＝∠QAD，求证：S△APQ＝S矩形ABCD．小明想：可以证△ADQ和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得DQ＝DE，再证出△PCE和△EDA相似，根据相似三角形对应边成比例得到线段关系，进而可得S矩形BFEC＝S△PQE，易证S矩形AFED＝S△AQE，然后根据S△APQ＝S△AQE+S△PQE列式整理即可得证．下面展示的是这种方法的过程，请把内容补充完整．
证明：过点E作EF∥BC交AB于F．
由∠PAD＝∠QAD，
易证△ADQ≌△ADE．
∴DQ＝DE，
∴S矩形AFED＝S△ ．
由∠DAE＝∠EPC，
易证△ADE∽△PCE，
∴．
即 ．
∵S矩形BFEC＝CE•BC＝CE• ，
∴S△PQE＝QE•PC＝ •PC．
∵S△APQ＝S△AQE+S△PQE＝S矩形AFED+ ，
∴S△APQ＝S矩形ABCD．
23．（11分）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）①依题意补全图1；
②若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（2）若设∠PAB＝α，且0°＜α＜90°，求∠ADF的度数（直接写出结果，结果可用含α的代数式表示）
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．
2021-2022学年河南省郑州市金水区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
【分析】由矩形和菱形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，对角相等，菱形的对角线互相垂直平分，对角相等，
∴矩形具有而菱形不一定具有的是对角线相等，
故选：A．
2．（3分）已知，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或1 C．﹣1或 D．
【分析】分a+b+c＝0和当a+b+c≠0两种情况讨论，再根据比例的性质即可得出答案．
【解答】解：当a+b+c＝0时，
∵b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a＝b＝﹣c，
∴x＝＝＝＝﹣1，
当a+b+c≠0时，
x＝＝．
故选：C．
3．（3分）下列命题正确的个数有（ ）
①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；
④黄金分割比的值为≈0.618．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用完全平方式的定义、平行四边形的判定、中点四边形及黄金分割的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于±10，故错误；
②由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，正确；
③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形，错误；
④黄金分割比的值为≈0.618，故错误，
正确的只有1个，
故选：B．
4．（3分）在x2□2xy□y2的空格□中，分别填上“+”或“﹣”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】能构成完全平方式的情况有+，+；﹣，+两种情况，共有的情况为+，+；﹣，﹣；+，﹣；﹣，+共四种情况，利用概率公式求解即可．
【解答】解：能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“﹣”，也可以是“+”，但y2前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，
所以概率是．
故选：D．
5．（3分）下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（ ）
①AC⊥BD②∠BAD＝90° ③AB＝BC④AC＝BD．
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定判断即可．
【解答】解：
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴①错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴②正确；
∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴③错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴④正确；
即正确的有②④．
故选：B．
6．（3分）根据下列表格的对应值：
x
2.4
2.5
2.6
2.7
ax2+bx+c
5.6
5.7
5.8
5.9
判断方程ax2+bx+c＝5.78（a≠0，a，b，c为常数）的一个近似解是（ ）
A．2.41 B．2.57 C．2.63 D．2.67
【分析】从表格中的数据可以看出，当x＝2.5时，ax2+bx+c＝5.7；当x＝2.6时，ax2+bx+c＝5.8，则方程ax2+bx+c＝5.8的一个根应在2.5﹣2.6之间．
【解答】解：∵当x＝2.5时，ax2+bx+c＝5.7；当x＝2.6时，ax2+bx+c＝5.8，
∴方程ax2+bx+c＝5.8的一个根应在2.5﹣2.6之间，
故选：B．
7．（3分）初三（1）班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】画树状图，共有8个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有8个等可能的结果，一次打开教室门的结果有2个，
∴一次打开教室门的概率为：＝，
故选：D．
8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，则AF：CF的值为（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
【分析】作DH∥BF交AC于H，易证FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵DH∥BF，
∴FH＝HC，
∵AE：AD＝1：4，
∴AE：ED＝1：3，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，连接FD，HD．若BC＝6，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．12 C．9 D．6
【分析】连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．把阴影部分面积分为ADF面积与△ADH面积，根据中位线性质可得DM、DN与正方形边长的关系，最后在△ABC中利用勾股定理，得到AC2+BC2＝9．
【解答】解：连接AD，过D点作DM⊥AC、DN⊥AB．
∵D为AB中点，DM∥AB，DN∥AC，
∴DM＝AB＝，DN＝AC＝．
∴△ADF面积＝AF×DM＝AF2，
∴△ADH面积＝×DN＝AH2，
在Rt△ABC中，
∵BC＝6
∴AB2+AC2＝BC2＝36，
∴阴影部分面积＝△ADF面积+△ADH面积＝AF2+AH2＝AB2+AC2＝×36＝9．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（3，3），C（﹣1，﹣1），对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若BN＝2ND，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，4）
【分析】过点M作MF⊥ON于N，过点B作BE⊥x轴于E，由菱形的性质可得AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，由中点坐标公式可求点M坐标，由BN＝2ND，可求BN＝4，即可求解．
【解答】解：如图，过点M作MF⊥ON于N，过点B作BE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AM＝CM，BM＝DM，
∵点A（3，3），C（﹣1，﹣1），
∴M（1，1），
∴OF＝1，MF＝1，
∴∠MON＝45°＝∠OMF，
∴∠FMN＝45°＝∠FNM，
∴MF＝FN＝1，
∴MN＝，
∵BN＝2ND，
∴BD＝3DN，BM＝DN，
∴MN＝＝，
∴DN＝2，
∴BN＝4，
∵BE⊥x轴，
∴∠EBN＝∠BNE＝45°，
∴BE＝EN，BN＝BE，
∴BE＝EN＝4，
∴EO＝2，
∴点B（﹣2，4），
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根是0，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x＝x2﹣m2+1有一个根为0，
∴﹣m2+1＝0且m﹣1≠0，
解得，m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
12．（3分）在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共24个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 9 ．
【分析】设盒子中黄色乒乓球的个数为x，根据“摸到黄色乒乓球的概率为”得出关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：设盒子中黄色乒乓球的个数为x，
根据题意，得：＝，
解得x＝9，
∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是9，
故答案为：9．
13．（3分）复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为 ：1 ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴＝，则b2＝2a2，
∴＝，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为：1，
故答案为：：1．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①△ABE≌△AHD；
②HE＝CE；
③H是BF的中点；
④AB＝HF；
其中正确命题的个数为 3 个．
【分析】由四边形ABCD是矩形，∠BAD的平分线交BC于点E，得出AD＝BC，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠BAE＝∠DAE＝45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出∠BEH＝45°，AE＝AB，推出AE＝AD＝BC，由AAS证得△ABE≌△AHD，故①正确；
由△ABE≌△AHD，得出∠HDA＝45°，AB＝BE＝DH＝AH，则∠HDF＝45°，AE﹣AH＝BC﹣BE，推出∠BEH＝∠HDF，HE＝CE，故②正确；
由AB＝AH，得出∠ABH＝∠AHB＝∠FHE＝（180°﹣∠BAE）＝67.5°，则∠EBH＝∠ABE﹣∠ABH＝22.5°，∠DHF＝∠DHE﹣∠FHE＝22.5°，推出∠EBH＝∠DHF，由ASA证得△EBH≌△DHF，得出BH＝HF，即H是BF的中点，故③正确；
由AB＝AH，∠BAH＝45°，得出△ABH不是等边三角形，则AB≠BH，推出AB≠HF，故④错误．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AD＝BC，∠ABE＝∠ADC＝90°，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BEH＝45°，AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD＝BC，
在△ABE和△AHD中，，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故①正确；
∵△ABE≌△AHD，
∴∠HDA＝45°，AB＝BE＝DH＝AH，
∴∠HDF＝45°，AE﹣AH＝BC﹣BE，
∴∠BEH＝∠HDF，HE＝CE，故②正确；
∵AB＝AH，
∴∠ABH＝∠AHB＝∠FHE＝（180°﹣∠BAE）＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠EBH＝∠ABE﹣∠ABH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DHF＝∠DHE﹣∠FHE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠DHF，
在△EBH和△DHF中，，
∴△EBH≌△DHF（ASA），
∴BH＝HF，
∴H是BF的中点，故③正确；
∵AB＝AH，∠BAH＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴AB≠HF，
故④错误；
综上所述，正确的命题为①②③，
故答案为：3．
15．（3分）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是 4 ．
【分析】将△BDA绕点D顺时针旋转90°，得△ADM是等腰直角三角形，当AM最大时，AD值最大，在△ACM中，AM≤AC+CM，得AM最大值为8，即可求解．
【解答】解：将△BDA绕点D顺时针旋转90°，
CM＝AB＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝＝AM，
∴当AM最大时，AD值最大，
在△ACM中，AM≤AC+CM，
∴AM≤8，
∴AM最大值为8，
∴AD最大值为×8＝4，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣19＝0；
（2）（x+1）（2x﹣3）＝2．
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理成一般式，利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）x2+2x＝19，
x2+2x+1＝19+1，即（x+1）2＝20，
∴x+1＝±2，
∴x1＝﹣1+2，x2＝﹣1﹣2；
（4）（x+1）（2x﹣3）＝2，
整理得：2x2﹣x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
17．（9分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交CD于点E，交AB于点F．
若DE＝3，CE＝5，请回答以下问题：
（1）矩形的对角线AC的长为 4 ．（直接写出结果）
（2）连接AE、CF，四边形AECF是什么特殊四边形？请说明理由，并求出该特殊四边形的面积．
【分析】（1）利用基本作图可判断MN垂直平分AC，则AE＝CE＝5，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC；
（2）先这么四边形AFCE是平行四边形，根据AC⊥EF，得四边形AECF是菱形，再利用菱形的面积公式即可求出四边形的面积．
【解答】解：（1）如图，由作法得MN垂直平分AC，
∴AE＝CE＝5，
在Rt△ADE中，AD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝4．
故答案为4；
（2）四边形AECF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，CD∥AB，
∴∠ECA＝∠FAC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴AB＝AD，
∵AC⊥EF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
∴菱形AECF的面积＝EC•AD＝5×4＝20．
18．（9分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，
∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是＝；
（2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，
则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是＝．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．
（1）在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′；（不要求写画法）
（2）△A′B′C′的面积是： 6 ．
【分析】（1）延长OA到A′，使OA′＝2OA，同法得到其余点的对应点，顺次连接即可；
（2）把所求三角形的面积分割为矩形的面积减去若干直角三角形的面积即可．
【解答】解：（1）
；
（2）△A′B′C′的面积＝4×4﹣×2×2﹣×2×4﹣×2×4＝6，故答案为6．
20．（9分）河南省实验中学指路灯，一直陪伴着我校航空班、足球队、田径队日夜奋战、不断训练的同学们．一数学兴趣小组为了测量灯柱AB的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退1m到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m（即FC＝4m）放在F处．从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度ED、GH为1.5m、已知点B，C、D，F、H在同一水平线上，且GH⊥FH，ED⊥CD，AB⊥BH．（平面镜的大小忽略不计）
方案二：利用标杆CD测量灯柱的高度．已知标杆CD高1.5m，测得DE＝2m，CE＝2.5m．
方案三：利用三角板的斜边CE保持水平，并且边CE与点M在同一直线上．已知两条边CE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边CE离地面距离DC＝1.5m．
三种方案中，方案 二、三 不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度．
【分析】根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，方案一中：利用△ABC∽△EDC，得AB＝1.5BC，再根据△ABF∽△GHF，可求出x的值．
【解答】解：根据相似三角形的知识可知方案二中△ABE缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中△AMC缺少边长的条件，故方案三不可行，
选方案一，
∵∠ECD＝∠ACB，∠EDC＝∠ABC，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
∴AB＝，
设BC＝xm，
则AB＝1.5xm，
同理可得△ABF∽△GHF，
∴，
∵AB＝1.5xm，BF＝BC+CF＝（4+x）m，GH＝1.5m，FH＝1.5m，
∴，
解得：x＝8，
∴AB＝1.5x＝12（m）．
故答案为：二，三；AB＝12m．
21．（10分）新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗，今年七月，国家发布通知，12～17岁未成年人也可接种新冠疫苗、文中社区医院为定点疫苗接种医院，第一批未成年人接种疫苗时间定为8月1日至8月3日．
（1）已知在文本社区医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，两种疫苗每天按定量接种，其中，“智飞”疫苗可供接种3天；“科兴”疫苗可供接种2天，“智飞”疫苗每天接种比“科兴”多100支，则文丰社区医院每天接种“智飞”和“科兴”疫苗各多少支？
（2）随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物现有1条生产线最大产能是42万支/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支/天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】（1）设文丰社区医院每天接种“智飞”疫苗x支，则每天接种“科兴”疫苗（x﹣100）支，根据在文本社区医院投放第一批“智飞”和“科兴”两种疫苗共1800支，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出文丰社区医院每天接种“智飞”疫苗的数量，再将其代入（x﹣100）中可求出每天接种“科兴”疫苗的数量；
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（42﹣2y）万支/天，根每天生产疫苗的数量＝每条生产线的最大产能×生产线的数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合既增加产能同时又要节省投入，即可得出应该增加3条生产线．
【解答】解：（1）设文丰社区医院每天接种“智飞”疫苗x支，则每天接种“科兴”疫苗（x﹣100）支，
依题意得：3x+2（x﹣100）＝1800，
解得：x＝400，
∴x﹣100＝400﹣100＝300．
答：文丰社区医院每天接种“智飞”疫苗400支，每天接种“科兴”疫苗300支．
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（42﹣2y）万支/天，
依题意得：（42﹣2y）（1+y）＝144，
整理得：y2﹣20y+51＝0，
解得：y1＝3，y2＝17．
又∵在既增加产能同时又要节省投入，
∴y＝3．
答：应该增加3条生产线．
22．（10分）小明同学遇到一个问题：
如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD＝∠QAD，求证：S△APQ＝S矩形ABCD．小明想：可以证△ADQ和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等可得DQ＝DE，再证出△PCE和△EDA相似，根据相似三角形对应边成比例得到线段关系，进而可得S矩形BFEC＝S△PQE，易证S矩形AFED＝S△AQE，然后根据S△APQ＝S△AQE+S△PQE列式整理即可得证．下面展示的是这种方法的过程，请把内容补充完整．
证明：过点E作EF∥BC交AB于F．
由∠PAD＝∠QAD，
易证△ADQ≌△ADE．
∴DQ＝DE，
∴S矩形AFED＝S△ AQE ．
由∠DAE＝∠EPC，
易证△ADE∽△PCE，
∴．
即 AD•CE＝PC•DE ．
∵S矩形BFEC＝CE•BC＝CE• AD ，
∴S△PQE＝QE•PC＝ DE •PC．
∵S△APQ＝S△AQE+S△PQE＝S矩形AFED+ S矩形BFEC ，
∴S△APQ＝S矩形ABCD．
【分析】证明DQ＝DE，推出S矩形AFED＝S△AQE．证△ADE∽△PCE，推出．即AD•CE＝PC•CE．因为S矩形BFEC＝CE•BC＝CE•AD，推出S△PQE＝QE•PC＝DE•PC．可得结论．
【解答】证明：过点E作EF∥BC交AB于F．
由∠PAD＝∠QAD，
易证△ADQ≌△ADE．
∴DQ＝DE，
∴S矩形AFED＝S△AQE．
由∠DAE＝∠EPC，
易证△ADE∽△PCE，
∴．
即AD•CE＝PC•CE．
∵S矩形BFEC＝CE•BC＝CE•AD，
∴S△PQE＝QE•PC＝DE•PC．
∵S△APQ＝S△AQE+S△PQE＝S矩形AFED+S矩形BFEC，
∴S△APQ＝S矩形ABCD．
故答案为：AQE，AD•EC＝PC•DE，AD，DE，S矩形BFEC．
23．（11分）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）①依题意补全图1；
②若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（2）若设∠PAB＝α，且0°＜α＜90°，求∠ADF的度数（直接写出结果，结果可用含α的代数式表示）
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据题意直接画出图形得出即可；
②利用对称的性质以及等角对等边的性质，进而得出答案；
（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；
（3）由轴对称的性质可得：，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）①如图1所示：
②如图2，
连接AE，由对称得，
∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAP＝∠BAP＝20°，
∴∠EAD＝130°，
∴∠ADF＝＝25°；
（2）当∠PAB＜45°时，如图2，
连接AE，由对称得
∠PAB＝∠PAE＝α，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAP＝∠BAP＝α，
∴∠EAD＝90°+2α，
∴∠ADF＝＝45°﹣α．
当45°＜∠PAB＜90°时，
如图，
由对称得
∠PAB＝∠PAE＝α，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠EAP＝∠BAP＝α，
∴∠EAD＝360°﹣（90°+2α）＝270°﹣2α，
∴∠ADF＝＝α﹣45°，
（3）如图3，
连接AE、BF、BD，
由对称可知，EF＝BF，AE＝AB＝AD，
∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
在Rt△BDF中，BF2+FD2＝BD2，
在Rt△ABC中，BD＝AB，
∴EF2+FD2＝2AB2．
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